定理16：若(G,o)是一个群，对于G中每一个元素x，都有x^2 = e，则(G,o)是交换群。

证：对任意的a,b∈G，证a o b = b o a——

由前提条件可知，a^2 = e，b^2 = e，因为(a o b)∈G，所以(a o b)^2 = (a o b) o (a o b)  = e，

而(a o b) o (b o a) = a o (b o b) o a = a o b^2 o a = a o e o a = a^2 = e，

因此(a o b) o (a o b) = (a o b) o (b o a)，由上一篇文章的定理15我们知道群的乘法满足左消去律，因此可得：a o b = b o a，

由此可得(G,o)是一个交换群。

定理17：在一个有限群中，阶大于2的元的个数一定是偶数。

证：假设(G,o)是一个有限群，那么首先e是阶为1的元；

若a是阶为2的元，则有a^2 = e，即a = a^(-1)【a等于它的逆】；

对于G中任意m(＞2)阶元b，由上一篇的定理14我们可知b的阶和它的逆元b^(-1)的阶相等，即|b| = |b^(-1)|，因此b^(-1)也是一个m阶元，因此群(G,o)中任意一个阶大于2的元总是成对出现的，

因此在一个有限群中，阶大于2的元的个数一定是偶数。

定理18：设(G,o)是一个阶为偶数（G中的元素个数为偶数）的有限群，在群(G,o)中阶为2的元的个数为奇数。

证：首先在群(G,o)中，阶为1的元素仅有单位元e一个，

而由上面定理17的证明，我们可知阶大于2的元的个数是偶数个（假设是2k个），

而G中含有偶数个元素（假设是2n个），

那么阶等于2的元素的个数为：2n-2k-1=2(n-k)-1，显然2(n-k)-1是一个奇数，因此得证。

定理19：在一个有限群中，每一个元素的阶都是有限的。

证：设(G,o)是一个有限群，那么G中含有有限多个元素，对于任意的a∈G，由于群公理1的封闭性，可知a,a^2(a o a),a^3(a^2 o a),...∈G。

（1）如果存在正整数m，使得a^m = e，那么a的阶是有限的，且小于等于m。

（2）若a,a^2,a^3,...中不存在等于e的项：

①如果a,a^2,a^3,...中任意两个都不相等，那么集合{a,a^2,a^3,...}中包含无限多个元素，而{a,a^2,a^3,...}是G的子集，因此可推出G中也含有无穷多个元素，这与(G,o)是一个有限群矛盾；

②因此，在集合{a,a^2,a^3,...}中，必然存在a^i = a^j(i ≠ j，不妨设i＞j)，

那么将等式两端同时右乘以a^j的逆元(a^j)^(-1)，而由前面第09篇文章的定理10，我们有(a^j)^(-1) = a^(-j)，因此等式的两端右乘a^j的逆元后，可得：a^i o a^(-j) = a^j o a^(-j) ⇉(同定理10)⇉ a^(i-j) = a^(j-j) ⇉ a^(i-j) = a^0 = e，

因为i,j均为正整数，且i＞j，因此(i-j)也是正整数，

因此存在正整数(i-j)，使得a^(i-j) = e，因此a的阶有限，且小于等于i-j。

综上所述，在一个有限群中，每一个元素的阶都是有限的。

群的第三定义：

假设G是一个非空有限集合，o是定义在G上的一个映射，若满足以下几条公理：

公理1：对任意的a,b∈G，都有a o b∈G；

公理2：对于任意的a,b,c∈G，都有(a o b) o c = a o (b o c)；

公理3'：若由a o x = a o x1可以推导出x = x1、由y o a = y1 o a可以推导出y = y1，即o适合左右消去律。

则称G关于o做成一个有限群。

定理20：假设G是一个有限集，o是G上的映射，若o适合群公理1(封闭性)、公理2(结合律)、公理3'(消去律)，那么o也适合群公理3(a o x = b,y o a = b在G上有解)。

证：对任意的a,b∈G，需证a o x = b与y o a = b在G上有解。

设G = {a1,a2,...,an}(群中各元素互异，即对任意的i ≠ j，有ai ≠ aj)，

构造一个集合G' = {a o a1,a o a2,...,a o an}，

假设存在i,j∈{1,2,...,n}且i ≠ j，使得a o ai = a o aj，那么因为o适合群公理3'的左右消去律，我们可得ai = aj，这与上面设定的{a1,a2,...,an}中各项互异相矛盾，

因此不存在i,j∈{1,2,...,n}且i ≠ j，使得a o ai = a o aj，即G'中各元素也是互异的；

对于任意的(a o ai)∈G'，因为a,ai∈G，且o是G上的映射，所以(a o ai)∈G，

所以G'是G的子集，又因为G'与G的元素个数相同，因此可得G' = G，

因此对于任意的b∈G，都存在(a o ai)∈G'，使得a o ai = b，

这个ai(∈G)即为方程a o x = b的解，因此对任意的a,b∈G，方程a o x = b在G中都有解；

同理，我们可以构造另一个集合G'' = {a1 o a,a2 o a,...,an o a}，并且用同样的方法证明对任意的a,b∈G，方程y o a = b在G中都有解，这样我们便推导出了公理3，定理得证。

（待续……）