目录
栈的定义
在我们软件应用中，栈这种后进先出数据结构的应用是非常普遍的。比如你用浏览器上网时，不管什么浏览器都有一个“后退”键，你点击后可以按访问顺序的逆序加载浏览过的网页。比如你本来在看着小说好好的，突然弹出到一个窗口，具体内容自己想象，你毫不犹豫点击它，跳转进去一看，这都是啥呀，具体内容我也就不说了。此时你还想回去继续看小说，就可以点击左上角的后退键。即使你从一个网页开始，连续点了几十个链接跳转，你点“后退时，还是可以像历史倒退一样，回到之前浏览过的某个页面。
很多类似的软件，比如Word、画图等文档或图像编辑软件中，都有撤销(undo)的操作，也是用栈这种方式来实现的，当然不同的软件具体实现代码会有很大差异，不过原理其实都是一样的。
栈(stack)是限定仅在表尾进行插入和删除操作的线性表。我们把允许插入和删除的一端称为栈顶(top)，另一端称为栈底(bottom)，不含任何数据元素的栈称为空栈。栈又称为后进先出的线性表，简称 LIFO （Last In First 0ut)结构。
理解栈的时候需要注意：
首先它是一个线性表，也就是说，栈元素具有线性关系，即前驱后继关系。只不过它是一种特殊的线性表而已。定义中说是在线性表的表尾进行插入和删除操作，这里表尾是指栈顶，而不是栈底。
它的特殊之处就在于限制了这个线性表的插入和删除位置，它始终只在栈顶进行。这也就使得，栈底是固定的，最先进栈的只能在栈底。栈的主要操作：
- 栈的插入操作，叫作进栈，也称压栈、入栈。类似子弹压入弹夹
- 栈的删除操作，叫作出栈，也有的叫作弹栈。如同弹夹中的子弹出夹
现在我要问问大家，这个最先进栈的元素，是不是就只能是最后出栈呢？答案是不一定，要看什么情况。栈对线性表的插入和删除的位置进行了限制，并没有对元素进出的时间进行限制，也就是说，在不是所有元素都进栈的情况下，事先进去的元素也可以出栈，只要保证是栈顶元素出栈就可以。
举例来说，如果我们现在是有3个整型数字元素1、2、3依次进栈，会有哪些出栈次序呢?
- 第一种:1、2、3进，再3、2、1出。这是最简单的最好理解的一种，出栈次序为 321。
- 第二种:1进，1出，2进，2出，3进，3出。也就是进一个就出一个，出栈次序为123。
- 第三种:1进，2进，2出，1出，3进，3出。出栈次序为213。
对于栈来讲，理论上线性表的操作特性它都具备，可由于它的特殊性，所以针对它在操作上会有些变化。特别是插入和删除操作，我们改名为push和pop（对齐C++STL)，英文直译的话是压和弹，更容易理解。你就把它当成是弹夹的子弹压入和弹出就好记忆了，我们一般叫进栈和出栈。
栈的存储结构及实现
由于栈本身就是-个线性表，那么上一章我们讨论了线性表的顺序存储和链式存储，对于栈来说，也是同样适用的。本文主要利用线性表的顺序存储结构实现栈！！！
既然栈是线性表的特例，那么栈的顺序存储其实也是线性表顺序存储的简化，我们简称为顺序栈。线性表是用数组来实现的，想想看，对于栈这种只能一头插入删除的线性表来说，用数组哪一端来作为栈顶和栈底比较好？对，没错，下标为0的一端作为栈底比较好，因为首元素都存在栈底，变化最小，所以让它作栈底。
我们定义一个 top 变量来指示栈顶元素在数组中的位置，这 top 就如同中学物理学过的游标卡尺的游标，它可以来回移动，意味着栈顶的top可以变大变小，但无论如何游标不能超出尺的长度。同理，若存储栈的长度为capacity，则栈顶位置 top必须小于capacity。当栈存在一个元素时，top等于0，因此通常把空栈的判定条件定为 top 等于-1。
来看栈的结构定义：
typedef int StDataType;
typedef struct Stack
{
StDataType* arr;
int top;//栈顶
int capacity;
}Stack;- top：代表栈顶所在的位置
- capacity：代表栈所能存储的最大元素个数
若现在有一个栈，capacity是5，则栈普通情况、空栈和栈满的情况示意图如图所示。
入栈
在对栈进行入栈之前。我们需要将栈顶top 和 容量capacity进行初始化，使top = -1， capacity任意指定即可。代码如下所示：
void StackInit(Stack* st)
{
st->arr = (StDataType*)malloc(sizeof(StDataType) * 5);
st->capacity = 5;
st->top = -1;
}对于入栈操作，需要判断当前栈顶位置是否超过capacity -1，即top == capacity -1；如果没有超过栈的capacity，那么就执行下图的操作；
代码实现如下：
int StackPush(Stack* st, StDataType e)
{
assert(st);
if (st->top >= st->capacity -1)
{
return -1;
}
st->arr[++ st->top] = e;
return 1;
}出栈
出栈的时候要注意当前的栈是否为空栈，即top == -1；如果不是空栈，则将栈顶的元素返回
反之，返回-1；
代码实现：
int StackPop(Stack* st)
{
assert(st);
if (st->top == -1)
return -1;
StDataType tmp = st->arr[st->top --];
return tmp;
}栈的两个核心操作，不涉及任何循环所以时间复杂度均为O(1)；
两栈共享空间（了解)
其实栈的顺序存储还是很方便的，因为它只准栈顶进出元素，所以不存在线性表插入和删除时需要移动元素的问题。不过它有一个很大的缺陷，就是必须事先确定数组存储空间大小，万一不够用了，就需要编程手段来扩展数组的容量，非常麻烦。对于一个栈，我们也只能尽量考虑周全，设计出合适大小的数组来处理，但对于两个相同类型的栈，我们却可以做到最大限度地利用其事先开辟的存储空间来进行操作。
我们的做法：数组有两个端点，两个栈有两个栈底，让一个栈的栈底为数组的始端，即下标为 0处，另一个栈为栈的末端，即下标为数组长度 n-1 处。这样，两个栈如果增加元素，就是两端点向中间延伸。
其实关键思路是：它们是在数组的两端，向中间靠拢。top1和top2是栈1和栈2的栈顶指针，可以想象，只要它们俩不见面，两个栈就可以一直使用。
从这里也就可以分析出来，栈1为空时，就是top1等于-1时；而当top2等于n 时，即是栈2为空时，那什么时候栈满呢？想想极端的情况，若栈2是空栈，栈1的top1等于n-1时，就是栈1满了。反之，当栈1为空栈时，top2等于0时，为栈2满了。但更多的情况，其实就是我刚才说的，两个栈见面之时，也就是两个指针之间相差1时，即top1+1==top2 为栈满。
栈的应用
有的同学可能会觉得，用数组或链表直接实现功能不就行了吗？干吗要引入栈这样的数据结构呢?这个问题问得好。我当时也很疑惑！主要i原因就是当前我们的知识还是积累的太少了，无法认识到栈的重要性。
其实这和我们明明有两只脚可以走路，干吗还要乘汽车、火车、飞机一样。理论上，陆地上的任何地方，你都是可以靠双脚走到的，可那需要多少时间和精力呢?我们更关注的是到达而不是如何去的过程。
栈的引入简化了程序设计的问题，划分了不同关注层次，使得思考范围缩小，更加聚焦于我们要解决的问题核心。反之，像数组等，因为要分散精力去考虑数组的下标增减等细节问题，反而掩盖了问题的本质。
接下来我们正式认识一下栈的重要用途：递归、逆波兰表达式...
递归
在大学里面，大家学习的第一门编程语言大部分都是C语言，那么应该对函数递归这个概念多多少少有的印象！函数递归简单理解就是函数本身调用自己！那个入门的经典例题！大家一定都见过或听过、斐波那契数 ，函数表达形式如下：
所以，很容易写出下述代码：
int fbi(int n)
{
if(n < 2)
return n == 0 ? 0 : 1;
return fbi(n -1) + fbi(n -2);
}能用递归书写的代码，也能用迭代来实现；不过迭代相较于递归，代码会更加简洁。不过要弄懂它得费点脑！我们来在纸上模拟代码中的 fbi(n)函数当n=5 的执行过程，我们可发现有多次重复计算！如果n稍微大一点，那么就可能需要运行很久，有没有什么优化的方式？提示一下，采用空间换时间的方式，将之前计算的值，记录下来，反复利用。
当然，写递归程序最怕的就是陷入永不结束的无穷递归中，所以，每个递归定义必须至少有一个条件，满足时递归不再进行，即不再引用自身而是返回值退出。比如刚才的例子，总有一次递归会使得n<2的，这样就可以执行return的语句而不用继续递归了。
那么我们讲了这么多递归的内容，和栈有什么关系呢？这得从计算机系统的内部说起。
前面我们已经看到递归是如何执行它的前行和退回阶段的。递归过程退回的顺序是它前行顺序的逆序。在退回过程中，可能要执行某些动作，包括恢复在前行过程中存储起来的某些数据。这种存储某些数据，并在后面又以存储的逆序恢复这些数据，以提供之后使用的需求，显然很符合栈这样的数据结构，因此，编译器使用栈实现递归就没什么好惊讶的了。
简单的说，就是在前行阶段，对于每一层递归，函数的局部变量、参数值以及返回地址都被压入栈中。在退回阶段，位于栈顶的局部变量、参数值和返回地址被弹出，用于返回调用层次中执行代码的其余部分，也就是恢复了调用的状态。当然，对于现在的高级语言，这样的递归问题是不需要用户来管理这个栈的，一切都由操作系统代劳了。
逆波兰表达式
栈的现实应用也很多，我们再来重点讲一个比较常见的应用：数学表达式的求值。我们小学学数学的时候，有一句话是老师反复强调的，“先乘除，后加减，从左算到右，先括号内后括号外"。这个大家都不陌生。对于我们人来说这很好理解！甚至如果数不大的情况下，直接口算就可以了，但是计算机不一样，它是靠指令来执行的，我们要怎么实现呢？
这里面的困难就在于乘除在加减的后面，却要先运算，而加入了括号后，就变得更加复杂。不知道该如何处理。
但仔细观察后发现，括号都是成对出现的，有左括号就一定会有右括号，对于多重括号，最终也是完全嵌套匹配的。这用栈结构正好合适，只有碰到左括号，就将此左括号进栈，不管表达式有多少重括号，反正遇到左括号就进栈，而后面出现右括号时，就让栈顶的左括号出栈，期间让数字运算，这样，最终有括号的表达式从左到右巡查一遍，栈应该是由空到有元素，最终再因全部匹配成功后成为空栈的结果。
但对于四则运算，括号也只是当中的一部分，先乘除后加减使得问题依然复杂如何有效地处理它们呢?我们伟大的科学家想到了好办法。
20世纪50年代，波兰逻辑学家Jantukasiewicz，当时也和我们现在的同学们一样，困惑于如何才可以搞定这个四则运算，他灵感突现，想到了一种不需要括号的后缀表达法，我们也把它称为逆波兰(ReversePolishNotaton，RPN)表示。这种后缀表示法，是表达式的一种新的显示方式，非常巧妙地解决了程序实现四则运算的难题。
我们先来看看，对于“9+(3-1)x3+10÷2"，如果要用后缀表示法应该是什么样子:“931-3*+102/+”，这样的表达式称为后缀表达式。后缀的原因在于有的符号都是在要运算数字的后面出现。显然，这里没有了括号。对于从来没有接触过后缀表达式的同学来讲，这样的表述是很难受的。
逆波兰表达式求值过程
为了解释后缀表达式的好处，我们先来看看，计算机如何应用后缀表达式计算出最终的结果 20 的。后缀表达式：931-3*+102/+
规则：
- 从左到右遍历表达式的每个数字和符号，
- 遇到是数字就进栈，
- 遇到是符号，就将处于栈顶两个数字出栈，进行运算，运算结果进栈，一直到最终获得结果。
1、初始化一个空栈。此栈用来对要运算的数字进出使用。如左图所示·
2、后缀表达式中前三个都是数字，所以 9、3、1 进栈，如右图所示
3、接下来是“-”，所以将栈中的1出栈作为减数，3 出栈作为被减数，并运算 3-1得到2，再将2进栈，如左图所示。(注意减数、被减数的顺序)
4、接着是数字3进栈，如右图所示。
5、后面是“*”，也就意味着栈中3和2出栈，2与3相乘，得到6，并将6进栈，如左图所示。
6、下面是“+”，所以栈中6和9出栈，9与6相加，得到15，将15 进栈，如右图所示。
7、接着是10与2两数字进栈，如图4-9-4的左图所示。
8、接下来是符号“/”，因此，栈顶的2与10出栈，10与2相除（除数、被除数的顺序！！！一定要注意)，得到5，将5进栈，如右图所示。
9、最后一个是符号“+”，所以15与5出栈并相加，得到20，将20进栈，如左图所示。
10、结果是 20 出栈，栈变为空，如右图所示。
果然，后缀表达法可以很顺利解决计算的问题。那么现在问题就是这个后缀表达式“931-3*+102/+”是怎么出来的？这个问题不搞清楚，等于没有解决。所以下面，我们就来推导如何让“9+(3-1)x3+10+2”转化为“931-3*+102/+”。
中缀表达式转换成后缀表达式
我们把平时所用的标准四则运算表达式，即“9+(3-1)x3+10-2”叫做中缀表达式。因为所有的运算符号都在两数字的中间，现在我们的问题就是中缀到后缀的转化。中缀表达式“9+(3-1)x3+10÷2”转化为后缀表达式“931-3*+102/+”。
规则:
- 从左到右遍历中缀表达式的每个数字和符号，
- 若是数字就输出，即成为后缀表达式的一部分;
- 若是符号，则判断其与栈顶符号的优先级，是右括号或优先级低于或等于栈顶符号(乘除优先加减)则栈顶元素依次出栈并输出，并将当前符号进栈，一直到最终输出后缀表达式为止。
| 运算符优先级 | |||
| (、[ | +、- | *、/ | )、] |
我们默认左括号优先级最低，只要是遇到左括号直接入栈、右括号优先级最高，直到它匹配到对于 左括号之前。
1、初始化一空栈，用来对符号进出栈使用。如左图所示。
2、第一个字符是数字 9，输出 9，后面是符号“+”，进栈。如右图所示
3、第三个字符是“(”，依然是符号，因其只是左括号，还未配对，故进栈。如左图所示。
4、第四个字符是数字 3，输出，总表达式为93，接着是“-”，进栈。如右图所示。
5、接下来是数字1，输出1，总表达式为931，如左图所示；后面是符号“)”，此时，我们需要去匹配此前的“(”，所以栈顶依次出栈，并输出，直到“(”出栈为止。此时左括号上方只有“-”，因此输出“-”。总的输出表达式为931-。如右图所示。
6、接着是数字3，输出3，总的表达式为931-3。紧接着是符号“x”，因为此时的栈顶符号为“+”号，优先级低于“x"，因此不输出，“*”进栈。如右图所示。
7、之后是符号“+”，此时当前栈顶元素“*”比这个“+”的优先级高，因此栈顶元素出栈并输出(没有比“+”号更低的优先级，所以全部出栈)，总输出表达式为931-3*+。然后将当前这个符号“+”进栈。
8、紧接着数字10，输出10，总表达式变为931-3*+10。后是符号“÷”，所以“/”进栈。如右图所示
9、最后一个数字2，输出，总的表达式为931-3*+10 2。如左图所示。
10、因已经到最后，所以将栈中符号全部出栈并输出。最终输出的后缀表达式结果为931-3*+10 2 / +。如右图所示。
到此就将一个中缀表达式转化成一个后缀表达式；无论是利用后缀表达式求值、转化成后缀表达式都是利用栈的特性来实现。理解了栈的这两个应用就理解了栈这个数据结构！！