高阶线性微分方程解的结构

基本概念

• 二阶线性非齐次微分方程
  $$\boxed{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)\ne 0}$$

• 二阶线性齐次微分方程

$$\boxed{y^{{}^{\prime \prime }}+P(x)y^{{}^{\prime }}+Q(x)y=0}$$

线性微分方程解的结构

$$\boxed{y^{{}^{\prime \prime }}+P(x)y^{{}^{\prime }}+Q(x)y=0}$$

定理1.

$$y_1(x),y_2(x)是解,\boxed{C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)}也是解.$$

误区：
$$\boxed{C_1{y}_1+C_2{y}_2}是通解？(❌)$$
证明过程：
$$y_1=x,y_2=2x$$

$$C_{1}x+C_{2}2x=\boxed{(C_1+2C_2)}x$$

函数值的相关与无关

• 相关

$$如果{\alpha }_1\dots {\alpha }_s是线性相关的$$

$$存在一组不全为0的K_1\dots K_s,使得\boxed{K_1{\alpha }_1+\cdots +K_s{\alpha }_s=0}$$

• 无关

$$若只有K_1{\alpha }_1+\cdots +K_s{\alpha }_s=0,K_1=\cdots =0$$

定理2.

$$y_1,y_2是无关的解，那么C_1{y}_1+C_2{y}_2是齐次方程的通解.$$

定理3.

$$y^{{}^{\prime \prime }}+P(x)y^{{}^{\prime }}+Q(x)y=f(x),非齐次.y^{\ast }是特解$$

$$y^{{}^{\prime \prime }}+P(x)y^{{}^{\prime }}+Q(x)y=0,齐次.Y是通解$$

$$\boxed{Y+y^{\ast }}是非齐次方程的通解$$

定理4.

$$Y_1,Y_2是非齐次方程的特解，Y_1-Y_2是齐次方程的特解$$

定理5.（解的叠加原理）

$$y^{{}^{\prime \prime }}+P(x)y^{{}^{\prime }}+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$$

$$y_1^{\ast }是\boxed{y^{{}^{\prime \prime }}+P(x)y^{{}^{\prime }}+Q(x)y=f_1(x)}的特解$$

$$y_2^{\ast }是\boxed{y^{{}^{\prime \prime }}+P(x)y^{{}^{\prime }}+Q(x)y=f_2(x)}的特解$$

$$那么y_1^{\ast }+y_2^{\ast }就是原方程的特解$$

常系数齐次线性微分方程

$$y^{{}^{\prime \prime }}+P{y}^{{}^{\prime }}+qy=0$$

$$r^2+Pr+q=0,特征方程$$

(1). $r_1\ne r_2$ 实根

$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$$

(2).$r_1=r_2$ 实根

$$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}$$

(3). $\alpha \pm \beta i$

$$y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x)$$

常系数非齐次线性微分方程

$$y^{{}^{\prime \prime }}+p{y}^{{}^{\prime }}+qy=f(x)=\boxed{e^{\lambda x}{P}_m(x)}$$

$$假设:y^{\ast }=R(x)e^{\lambda x}$$

$${y^{\ast }}^{{}^{\prime }}=R^{{}^{\prime }}(x)e^{\lambda x}+\lambda R(x)e^{\lambda x},{y^{\ast }}^{{}^{\prime \prime }}=e^{\lambda x}[{\lambda }^{2}R(x)+2\lambda R^{{}^{\prime }}(x)+R^{{}^{\prime \prime }}(x)]$$

$$R^{{}^{\prime \prime }}(x)+\boxed{(2\lambda +p)}{R}^{{}^{\prime }}(x)+\boxed{({\lambda }^2+p\lambda +q)}R(x)=P_m(x)$$

(1). $\lambda$不是$r^2+pr+q=0$的根, ${\lambda }^2+p\lambda +q\ne 0$

$R(x)$是$m$次的多项式, $\boxed{R(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\dots }$

(2). $\lambda$是$r^2+pr+q=0$单根, ${\lambda }^2+p\lambda +q=0,2\lambda +p\ne 0$

$R^{{}^{\prime }}(x)$是$m$次的多项式, $\boxed{R(x)=x(b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\dots )}$

(3). $\lambda$是${\lambda }^2+p\lambda +q=0$的重根

$R^{{}^{\prime \prime }}x$是$m$次的多项式, $\boxed{R(x)=x^2(b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\dots )}$

(4). 特殊地：$y^{{}^{\prime \prime }}+p{y}^{{}^{\prime }}+qy=e^{\lambda x}[R_m(x)cos\omega x+P_n(x)sin\omega x]$

可以设
$$y^{\ast }=x^s{e}^{\lambda x}[H_l(x)cos\omega x+Q_l(x)sin\omega x]$$

• 如果$\lambda +i\omega$或者$\lambda -i\omega$为特征方程的特征根$s=1$

  如果不是特征方程的特征根，$s=0$

例题

1. $y^{{}^{\prime \prime }}-2y^{{}^{\prime }}-3y=3x+1$

原式为
$$y^{{}^{\prime \prime }}-2y^{{}^{\prime }}-3y=3x+1=e^{0x}(3x+1)$$
特征方程
$$y^{{}^{\prime \prime }}-2y^{{}^{\prime }}-3y=0,\boxed{r^2-2r-3=0}$$

$$(r-3)(r+1)=0$$

$\lambda =0$不是特征方程$r^2-2r-3=0$的解，$R(x)$是$m$次的多项式:
$$R(x)=b_{0}x+b_1$$

$$y^{\ast }=e^{0x}R(x),{y^{\ast }}^{{}^{\prime }}=b_0,{y^{\ast }}^{{}^{\prime \prime }}=0$$

带入原式得
$$\{\begin{array}{l}-3b_0=3\\ -2b_0-3b_1=1\end{array}$$

$$b_0=-1,b_1=\frac{1}{3}$$

$$y^{\ast }=-x+\frac{1}{3}$$

可降价的二阶微分方程

(1). $y^{{}^{\prime \prime }}=f(x)$ 型微分方程

直接反复积分即可

(2). $y^{{}^{\prime \prime }}=f(x,y^{{}^{\prime }})$ 型微分方程

设$p=y^{{}^{\prime }}$即可

(3). $y^{{}^{\prime \prime }}=f(y,y^{{}^{\prime }})$ 型微分方程

设$p=y^{{}^{\prime }}$
$$y^{{}^{\prime \prime }}=\frac{dp}{dx}$$

$$y^{{}^{\prime \prime }}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}$$

$$y^{{}^{\prime \prime }}=\frac{dp}{dy}\cdot p$$