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- 第一节 差分方程的基本概念
- 一、差分的概念
- 1.差分的定义
- 2.一阶差分的性质
- (1) △ ( C ) = 0 \triangle (C) = 0 △(C)=0(C为常数);
- (2) △ ( C y x ) = C △ y x \triangle(Cy_x)=C\triangle y_x △(Cyx)=C△yx(C为常数);
- (3) △ ( a y x ± b z x ) = a △ y x ± b △ z x \triangle(ay_x\pm bz_x)=a\triangle y_x \pm b \triangle z_x △(ayx±bzx)=a△yx±b△zx(a,b为常数);
- (4) △ ( y x ⋅ z x ) = y x + 1 △ z x + z x △ y x = y x △ z x + z x + 1 △ y x \triangle(y_x \cdot z_x)=y_{x+1}\triangle z_x+z_x\triangle y_x = y_x\triangle z_x + z_{x+1} \triangle y_x △(yx⋅zx)=yx+1△zx+zx△yx=yx△zx+zx+1△yx;
- (5) △ ⟮ y x z x ⟯ = z x △ y x − y x △ z x z x z x + 1 = z x + 1 △ y x − y x + 1 △ z x z x z x + 1 , z x ≠ 0. \triangle \lgroup \frac{y_x}{z_x} \rgroup = \frac{z_x\triangle y_x-y_x\triangle z_x}{z_x z_{x+1}}=\frac{z_{x+1}\triangle y_x-y_{x+1}\triangle z_x}{z_x z_{x+1}}, z_x \neq 0. △⟮zxyx⟯=zxzx+1zx△yx−yx△zx=zxzx+1zx+1△yx−yx+1△zx,zx=0.
- 3.高阶差分方程的定义
- 二、差分方程的概念
- 三、常系数线性差分方程解的结构
- 第二节 一阶常系数线性差分方程
- 第三节 二阶常系数线性差分方程
- 总结
第一节 差分方程的基本概念
一、差分的概念
1.差分的定义
△ y x = y x + 1 − y x \bigtriangleup y_x=y_{x+1}-y_x △yx=yx+1−yx
2.一阶差分的性质
(1) △ ( C ) = 0 \triangle (C) = 0 △(C)=0(C为常数);
(2) △ ( C y x ) = C △ y x \triangle(Cy_x)=C\triangle y_x △(Cyx)=C△yx(C为常数);
(3) △ ( a y x ± b z x ) = a △ y x ± b △ z x \triangle(ay_x\pm bz_x)=a\triangle y_x \pm b \triangle z_x △(ayx±bzx)=a△yx±b△zx(a,b为常数);
(4) △ ( y x ⋅ z x ) = y x + 1 △ z x + z x △ y x = y x △ z x + z x + 1 △ y x \triangle(y_x \cdot z_x)=y_{x+1}\triangle z_x+z_x\triangle y_x = y_x\triangle z_x + z_{x+1} \triangle y_x △(yx⋅zx)=yx+1△zx+zx△yx=yx△zx+zx+1△yx;
(5) △ ⟮ y x z x ⟯ = z x △ y x − y x △ z x z x z x + 1 = z x + 1 △ y x − y x + 1 △ z x z x z x + 1 , z x ≠ 0. \triangle \lgroup \frac{y_x}{z_x} \rgroup = \frac{z_x\triangle y_x-y_x\triangle z_x}{z_x z_{x+1}}=\frac{z_{x+1}\triangle y_x-y_{x+1}\triangle z_x}{z_x z_{x+1}}, z_x \neq 0. △⟮zxyx⟯=zxzx+1zx△yx−yx△zx=zxzx+1zx+1△yx−yx+1△zx,zx=0.
3.高阶差分方程的定义
二阶差分方程
△ 2 y x = y x + 2 − 2 y x + 1 + y x . \triangle^{2}y_x=y_{x+2}-2y_{x+1}+y_x. △2yx=yx+2−2yx+1+yx.
三阶差分方程
△ 3 y x = y x + 3 − 3 y x + 2 + 3 y x + 1 − y x . \triangle^3y_x=y_{x+3}-3y_{x+2}+3y_{x+1}-y_x. △3yx=yx+3−3yx+2+3yx+1−yx.
n n n阶差分方程
△ n y x = △ ( △ n − 1 y x ) . \triangle ^ny_x=\triangle(\triangle^{n-1}y_x). △nyx=△(△n−1yx).
二、差分方程的概念
定义 10.3
含有未知函数差分或表未知函数几个时期值的方程称为差分方程
F
(
x
,
y
x
,
△
y
x
,
△
2
y
x
,
⋯
,
△
n
y
x
)
=
0
,
F(x, y_x, \triangle y_x, \triangle^2y_x, \cdots,\triangle^ny_x)=0,
F(x,yx,△yx,△2yx,⋯,△nyx)=0,
或
G
(
x
,
y
x
,
y
x
+
1
,
y
x
+
2
,
⋯
,
y
x
+
n
)
=
0
,
G(x, y_x, y_{x+1}, y_{x+2}, \cdots, y_{x+n})=0,
G(x,yx,yx+1,yx+2,⋯,yx+n)=0,
或
H
(
x
,
y
x
,
y
x
−
1
,
⋯
,
y
x
−
n
)
=
0
(
其中
x
≥
n
)
.
H(x,y_x,y_{x-1},\cdots,y_{x-n})=0(其中x\ge n).
H(x,yx,yx−1,⋯,yx−n)=0(其中x≥n).
定义 10.4
差分方程中未知函数最大下标与最小下标的差数称为差分方程的阶.
定义 10.5
满足差分方程的函数，称为差分方程的解.
定义 10.6
所含任意独立常数的个数等于差分方程的阶数的解，称为差分方程的通解.
定义 10.7
差分方程附加的定解条件，称为差分方程的初始条件.通解中的任意常数由初始条件确定后的解称为差分方程的特解.
三、常系数线性差分方程解的结构
定义 10.8
如果未知函数和未知函数的各阶差分都是一次，则称方程为线性差分方程.
定理 10.1
若函数
y
x
(
1
)
,
y
x
(
2
)
,
⋯
,
y
x
(
k
)
{y_x}^{(1)},{y_x}^{(2)},\cdots,{y_x}^{(k)}
yx(1),yx(2),⋯,yx(k)均是齐次线性差分方程的解，则这
k
k
k个函数的线性组合
y
x
=
C
1
y
x
(
1
)
+
C
1
y
x
(
2
)
+
⋯
+
C
k
y
x
(
k
)
y_x=C_1{y_x}^{(1)}+C_1{y_x}^{(2)}+\cdots+C_k{y_x}^{(k)}
yx=C1yx(1)+C1yx(2)+⋯+Ckyx(k)
也是齐次差分方程(10-2)的解，其中
C
k
C_k
Ck为任意常数.
定理 10.2
若函数
y
x
(
1
)
,
y
x
(
2
)
,
⋯
,
y
x
(
k
)
{y_x}^{(1)},{y_x}^{(2)},\cdots,{y_x}^{(k)}
yx(1),yx(2),⋯,yx(k)是齐次线性差分方程的
n
n
n个线性无关的特解，则他们的线性组合
y
x
=
C
1
y
x
(
1
)
+
C
1
y
x
(
2
)
+
⋯
+
C
k
y
x
(
k
)
y_x=C_1{y_x}^{(1)}+C_1{y_x}^{(2)}+\cdots+C_k{y_x}^{(k)}
yx=C1yx(1)+C1yx(2)+⋯+Ckyx(k)
是齐次差分方程(10-2)的通解，其中
C
k
C_k
Ck为任意常数.
定理 10.3
若
y
x
∗
{y_x}^*
yx∗是非齐次线性差分方程(10-1)的一个特解，
Y
x
Y_x
Yx是其对应的齐次线性差分方程的通解，则非齐次线性差分方程的通解为
y
x
=
Y
+
y
x
∗
y_x=Y+{y_x}^*
yx=Y+yx∗
定理 10.4
若函数
y
x
1
∗
{y_{x1}}^*
yx1∗和
y
x
2
∗
{y_{x2}}^*
yx2∗分别是非齐次线性差分方程
y
x
+
n
+
a
1
y
x
+
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
1
y
x
+
1
+
a
n
y
x
=
f
1
(
x
)
,
y
x
+
n
+
a
1
y
x
+
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
1
y
x
+
1
+
a
n
y
x
=
f
2
(
x
)
y_{x+n}+a_1y_{x+n-1}+\cdots+a_{n-1}y_{x+1}+a_ny_x=f_1(x),\\ y_{x+n}+a_1y_{x+n-1}+\cdots+a_{n-1}y_{x+1}+a_ny_x=f_2(x)
yx+n+a1yx+n−1+⋯+an−1yx+1+anyx=f1(x),yx+n+a1yx+n−1+⋯+an−1yx+1+anyx=f2(x)
的特解，则
y
x
∗
=
y
x
1
∗
+
y
x
2
∗
{y_x}^*={y_{x1}}^{*}+{{y_{x2}}^*}
yx∗=yx1∗+yx2∗就是方程
y
x
+
n
+
a
1
y
x
+
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
1
y
x
+
1
+
a
n
y
x
=
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
y_{x+n}+a_1y_{x+n-1}+\cdots+a_{n-1}y_{x+1}+a_ny_x=f_1(x)+f_2(x)
yx+n+a1yx+n−1+⋯+an−1yx+1+anyx=f1(x)+f2(x)
的特解.
第二节 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数齐次线性差分方程
y x + 1 − p y x = 0 y_{x+1}-py_x=0 yx+1−pyx=0
一阶常系数非齐次线性差分方程
y x + 1 − p y x = f ( x ) y_{x+1}-py_x=f(x) yx+1−pyx=f(x)
一、一阶常系数齐次差分方程
由此可见，一阶常系数齐次线性差分方程的通解是指数函数型.
1.迭代法
通解为：
y
x
=
C
p
x
y_x=Cp^x
yx=Cpx
2.特征根法
设
y
x
=
r
x
y_x=r^x
yx=rx
r
x
+
1
−
p
r
x
=
0
r
x
(
r
−
p
)
=
0
r
−
p
=
0
r
=
p
r^{x+1}-pr^x=0\\ r^x(r-p)=0\\ r-p=0\\ r=p
rx+1−prx=0rx(r−p)=0r−p=0r=p
二、一阶常系数非齐次线性差分方程
y x + 1 − p y x = P n ( x ) b x . y_{x+1}-py_x=P_n(x)b^x. yx+1−pyx=Pn(x)bx.
设
y
x
∗
=
Q
(
x
)
b
x
{y_x}^*=Q(x)b^x
yx∗=Q(x)bx
带入得到
b
△
Q
(
x
)
+
(
b
−
p
)
Q
x
=
P
n
(
x
)
.
b\triangle Q(x)+(b-p)Q_x=P_n(x).
b△Q(x)+(b−p)Qx=Pn(x).
(1) b不是特征方程 r − p = 0 r-p=0 r−p=0的根
设
y
x
∗
=
Q
(
x
)
b
x
{y_x}^*=Q(x)b^x
yx∗=Q(x)bx
(2) b是特征方程 r − p = 0 r-p=0 r−p=0的根
设
y
x
∗
=
x
Q
(
x
)
b
x
{y_x}^*=xQ(x)b^x
yx∗=xQ(x)bx
综上所述，解题步骤为
| 步骤 | 过程 |
|---|---|
| 第一步 | 计算齐次方程特征根 r r r的值 |
| 第二步 | 根据非齐次方程 P n ( x ) b x P_n(x)b^x Pn(x)bx中的 b b b是否等于 r r r来判断 s s s |
| 如果 s = r s=r s=r | y x ∗ = x Q ( x ) b x {y_x}^*=xQ(x)b^x yx∗=xQ(x)bx |
| 如果 s ≠ r s\neq r s=r | y x ∗ = Q ( x ) b x {y_x}^*=Q(x)b^x yx∗=Q(x)bx |
第三节 二阶常系数线性差分方程
二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式：
y
x
+
2
+
p
y
x
+
1
+
q
y
x
=
f
(
x
)
.
y_{x+2}+py_{x+1}+qy_x=f(x).
yx+2+pyx+1+qyx=f(x).
二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式：
y
x
+
2
+
p
y
x
+
1
+
q
y
x
=
0.
y_{x+2}+py_{x+1}+qy_x=0.
yx+2+pyx+1+qyx=0.
一、二阶常系数齐次线性差分方程
设
y
x
=
r
x
y_x=r^x
yx=rx
带入方程得
r
x
+
2
+
p
r
x
+
1
+
q
r
x
=
0
r^{x+2}+pr^{x+1}+qr^x=0
rx+2+prx+1+qrx=0
即特征方程为：
r
2
+
p
r
+
q
=
0
r^2+pr+q=0
r2+pr+q=0
它的根就叫做特征根
r
1
,
2
=
−
p
±
p
2
−
4
q
2
.
r_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}.
r1,2=2−p±p2−4q.
(1) 相异实根
y x = C 1 r 1 x + C 2 r 2 x y_x=C_1r_1^x+C_2r_2^x yx=C1r1x+C2r2x
(2) 相同实根
y x = ( C 1 + C 2 x ) ( − p 2 ) x y_x=(C_1+C_2x)(-\frac{p}{2})^x yx=(C1+C2x)(−2p)x
(3) 共轭复根
r 1 = α + i β , r 2 = α − i β α = − p 2 , β = 4 q − p 2 2 r_1=\alpha+i\beta, r_2=\alpha-i\beta\\ \alpha=-\frac{p}{2},\beta=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2} r1=α+iβ,r2=α−iβα=−2p,β=24q−p2
通解为:
y
1
=
λ
x
(
cos
θ
x
+
sin
θ
x
)
.
y_1=\lambda^x(\cos \theta x+\sin \theta x).
y1=λx(cosθx+sinθx).
综上所述，解题步骤如下：
-
第一步
写出差分方程 y x + 2 + p y x + 1 + q y x y_{x+2}+py_{x+1}+qy_x yx+2+pyx+1+qyx的特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0;
-
第二步
求出特征方程的两个根 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2;
-
第三步
根据情况写出通解.
| 特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的根 | 差分方程 y x + 2 + p y x + 1 + q y x = 0 y_{x+2}+py_{x+1}+qy_x=0 yx+2+pyx+1+qyx=0的通解 |
|---|---|
| 两个不相等的实根 r 1 ≠ r 2 r_1\neq r_2 r1=r2 | y x = C 1 r 1 x + C 2 r 2 x y_x=C_1r_1^x+C_2r_2^x yx=C1r1x+C2r2x |
| 两个相等的实根 r 1 = r 2 r_1=r_2 r1=r2 | y x = ( C 1 + C 2 x ) r 1 x y_x=(C_1+C_2x)r_1^x yx=(C1+C2x)r1x |
| 一对共轭复根 r 1 , 2 = α + β r_{1,2}=\alpha+\beta r1,2=α+β | y 1 = λ x ( cos θ x + sin θ x ) y_1=\lambda^x(\cos \theta x+\sin \theta x) y1=λx(cosθx+sinθx),其中 λ = α 2 + β 2 \lambda=\sqrt{{\alpha}^2+{\beta}^2} λ=α2+β2, tan θ = β α , θ ∈ ( 0 , π ) \tan\theta=\frac{\beta}{\alpha}, \theta\in (0, \pi) tanθ=αβ,θ∈(0,π) |
二、二阶常系数非齐次线性差分方程
其形式如下：
y
x
+
2
+
p
y
x
+
1
+
q
y
x
=
P
n
(
x
)
b
x
.
y_{x+2}+py_{x+1}+qy_x=P_n(x)b^x.
yx+2+pyx+1+qyx=Pn(x)bx.
因此，设
y
x
∗
=
Q
(
x
)
b
x
y_x^*=Q(x)b^x
yx∗=Q(x)bx
带入方程得
b
2
△
2
Q
x
+
b
(
p
+
2
b
)
△
Q
x
+
(
b
2
+
p
b
+
q
)
Q
x
=
P
n
(
x
)
b^2\triangle^2Qx+b(p+2b)\triangle Qx+(b^2+pb+q)Q_x=P_n(x)
b2△2Qx+b(p+2b)△Qx+(b2+pb+q)Qx=Pn(x)
(1). b不是特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的根，
y x ∗ = Q n ( x ) b x . y_x^*=Q_n(x)b^x. yx∗=Qn(x)bx.
(2). 如果b是特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的单根，
y x ∗ = x Q n ( x ) b x . y_x^*=xQ_n(x)b^x. yx∗=xQn(x)bx.
(3). 如果b是特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的重根，
y x ∗ = x 2 Q n ( x ) b x . y_x^*=x^2Q_n(x)b^x. yx∗=x2Qn(x)bx.
总结
一、二阶的常系数齐次差分方程和微分方程的对比
| 特征方程的根 | 微分方程的通解 | 差分方程的通解 |
|---|---|---|
| r 1 ≠ r 2 r_1\neq r_2 r1=r2 | y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} y=C1er1x+C2er2x | y x = C 1 r 1 x + C 2 r 2 x y_x=C_1r_1^x+C_2r_2^x yx=C1r1x+C2r2x |
| r 1 = r 2 r_1=r_2 r1=r2 | y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x y=(C_1+C_2x)e^{r_1x} y=(C1+C2x)er1x | y x = ( C 1 + C 2 x ) r 1 x y_x=(C_1+C_2x)r_1^x yx=(C1+C2x)r1x |
| 共轭复根 r 1 , 2 = α ± i β 共轭复根 r_{1,2}=\alpha\pm i\beta 共轭复根r1,2=α±iβ | y = e α x ( C 1 c o s β x + C 2 s i n β x ) y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x) y=eαx(C1cosβx+C2sinβx) | y 1 = λ x ( cos θ x + sin θ x ) y_1=\lambda^x(\cos \theta x+\sin \theta x) y1=λx(cosθx+sinθx),其中 λ = α 2 + β 2 \lambda=\sqrt{{\alpha}^2+{\beta}^2} λ=α2+β2, tan θ = β α , θ ∈ ( 0 , π ) \tan\theta=\frac{\beta}{\alpha}, \theta\in (0, \pi) tanθ=αβ,θ∈(0,π) |
二、二阶的常系数非齐次差分方程和微分方程的对比
| 特征根情况 | 微分方程 | 特征根情况 | 差分方程 |
|---|---|---|---|
| λ ≠ r 1 , 2 \lambda \neq r_{1,2} λ=r1,2 | y ∗ = R ( x ) e λ x y^* = R(x)e^{\lambda x} y∗=R(x)eλx | b ≠ r 1 , 2 b\neq r_{1,2} b=r1,2 | y x ∗ = Q n ( x ) b x . y_x^*=Q_n(x)b^x. yx∗=Qn(x)bx. |
| λ = r 1 \lambda = r_1 λ=r1 or λ = r 2 \lambda =r_2 λ=r2 | y ∗ = x R ( x ) e λ x y^* = xR(x)e^{\lambda x} y∗=xR(x)eλx | b = r 1 b=r_1 b=r1 or b = r 2 b=r_2 b=r2 | y x ∗ = x Q n ( x ) b x . y_x^*=xQ_n(x)b^x. yx∗=xQn(x)bx. |
| λ = r 1 = r 2 \lambda = r_1 = r_2 λ=r1=r2 | y ∗ = x 2 R ( x ) e λ x y^* = x^2R(x)e^{\lambda x} y∗=x2R(x)eλx | b = r 1 = r 2 b=r_1=r_2 b=r1=r2 | y x ∗ = x 2 Q n ( x ) b x . y_x^*=x^2Q_n(x)b^x. yx∗=x2Qn(x)bx. |