2022NOIP比赛总结

种花

1.本题是一道前缀和优化加上枚举的问题。先考虑 C 因为 F 是 C 下边随便加一个点，所以只要求出 C 就求出了 F 。

注意到，并没有要求上下行一样，唯一的要求是 C 的两个横要隔一行，这就是问题的突破点，这题很明显的计数，计数则用到乘法原理和加法原理。

假设上边的有 a 个合法的横，那考虑这一行每一个合法的横（这里说的不同是长度不同）给答案的贡献是什么？是不是每一个贡献 a ，那这一行有 b 个不同的合法的横，那么答案就增加了 a×b，那每一行都这么处理，然后处理完一样就加上上一行的合法的方案数（因为他要求两个横之间至少隔一行）。当遇到土坑的时候就把记录数组清零即可。

想要求出 F ，只要求出这一列上有多少合法的 C 就行了（因为 F 是由 C 下边加上一个竖构成的），所所以我们只要复制过来记录 C 的公式然后把他存在另一个数组里到时候每找到一个能种花的地方 F 的答案加上这个数组就好了。

要想快速查询每一行有多少个合法的横，只需要预处理就可以了。

2.整体思路就是这样，接下来是代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1010,mod=998244353;
ll ac,af,c,f;
int n,m,id,t;
int d[N][N],ji,jif,jis;
char ma[N][N];
int main(){
	cin>>t>>id;
	while(t--){
		memset(d,0,sizeof(d));
		cin>>n>>m>>c>>f;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				cin>>ma[i][j];
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=m-1;j>=1;j--){
				if(ma[i][j]=='1') d[i][j]=-1;
				else if(ma[i][j+1]=='0') d[i][j]=d[i][j+1]+1;
			}
		}
		for(int j=1;j<m;j++){
			ji=jif=jis=0;
			for(int i=1;i<=n;i++){
				if(d[i][j]==-1){
					ji=jif=jis=0;
					continue;
				}
				ac=ac%mod+(1ll*d[i][j]*(ji%mod))%mod;
				af=(af%mod+jif%mod)%mod;
				jif=(jif+(1ll*d[i][j]*(ji%mod)))%mod%mod;
				ji+=max(0,d[i-1][j]);
			}
		}
		cout<<(c*ac)%mod<<' '<<(f*af)%mod<<endl;
		ac=af=0;
	}
	return 0;
}

建造军营

（边没乘二，悲）

1.一道图论+dp题。只有 B 国炸毁了图的割边，才会使得图不连通，进而可能会导致军营不连通。也就是说，A 国可以随意地看守或不看守不是割边的边。因此想到边双缩点后用树形DP。

题目保证了给定的图连通，那么缩点后的图也必然连通，如果有多个双连通分量构成了环，就不符合双连通分量的定义，即这些首尾相连构成环的“双连通分量”应该被划在同一个双连通分量中。因此，缩点后形成的图连通且无环，也就形成了一棵树。设Vu表示双连通分量u中的点数，Eu表示双连通分量中u的边数，如果有n个双连通分量，则问题可以转化为：有一棵无根树，每个节点有 $2^{E_{u}}$ 种不建造军营的方案和 $2^{E_{u}+V_{u}}-2^{E_{u}}$ 种建造军营的方案。

以1为根节点，令 f(u,0/1) 表示以 u 为根的子树中没有/有军营的方案数。

发现每种状态所涵盖的情况过多，不好转移。可以对状态添加限制

令 f(u,0/1) 表示以 u 为根的子树中没有/有军营的方案数，若有军营，则所有的军营必须通过已经派兵看守的边与 u 连通。

先想想该如何统计答案：

对于每个结点u，令u子树外的所有点都不建军营，同时强制不选 fau→u 的边，再累加方案数。

考虑转移：

显然地， $f(u,0)=2^{E_{u}}*\prod_{v\in son(u)}2f(v,0)$ ，难点在 f(u,1) 的转移上。

考虑每新增一个子节点 v 对 f(u,1) 产生的贡献。

若到新增前都还未建造一个军营，则以 v 为根的子树中必须有军营，即 f(u,1)←f(u,0)×f(v,1)。

若到新增前已经建造过军营，则以 v 为根的子树中有没有军营皆可，且当以 v 为根的子树中没有军营时，v 点是否与 u 点连通皆可，即 f(u,1)←f(u,1)×[2f(v,0)+f(v,1)]。

综上，f(u,1)←f(u,0)×f(v,1)+f(u,1)×[2f(v,0)+f(v,1)]。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+10,M=1e6+10,MOD=1e9+7;
int n,m,p;
int tot,tot2,head[N],head2[N];
int cnt,top,stk[N],dfn[N],low[N],bel[N];
int deg[N],V[N],E[N],s[N];
bool ins[N];
ll ans,f[N][2];
struct edge{
	int to,nxt;
}e[M<<1],e2[M<<1];
void add(int u,int v){
	e[++tot]=edge{v,head[u]};
	head[u]=tot;
}
void add2(int u,int v){
	e2[++tot2]=edge{v,head2[u]};
	head2[u]=tot2;
}
void tarjan(int u,int fa){
	dfn[u]=low[u]=++cnt,ins[stk[++top]=u]=1;
	for (int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;
		if(!dfn[v]) tarjan(v,u),low[u]=min(low[u],low[v]);
		else if(ins[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		p++;
		int x;
		do{
			ins[x=stk[top--]]=0,bel[x]=p;
			V[p]++;
		}while(x!=u);
	}
}
ll qp(ll base,int e){
	ll res=1;
	while(e){
		if(e&1) res=res*base%MOD;
		base=base*base%MOD;
		e>>=1;
	}
	return res;
}
void dfs(int u,int fa){
	s[u]=E[u];
	for(int i=head2[u];i;i=e2[i].nxt){
		int v=e2[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u);
		s[u]+=s[v]+1;
	}
}
void dp(int u,int fa){
	for (int i=head2[u];i;i=e2[i].nxt){
		int v=e2[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dp(v,u);
		f[u][1]=(f[u][1]*(((f[v][0]<<1)+f[v][1])%MOD)%MOD+f[u][0]*f[v][1]%MOD)%MOD;
		f[u][0]=f[u][0]*((f[v][0]<<1)%MOD)%MOD;
	}
	if(u==1) ans=(ans+f[u][1])%MOD;
	else ans=(ans+f[u][1]*qp(2,s[1]-s[u]-1))%MOD;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	while(m--){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		add(u,v),add(v,u);
	}
	tarjan(1,0);
	for(int u=1;u<=n;u++){
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].to;
			if(bel[u]!=bel[v]) add2(bel[u],bel[v]);
			else E[bel[u]]++;
		}
	}
	for(int i=1;i<=p;i++){
		E[i]>>=1;
		f[i][0]=qp(2,E[i]);
		f[i][1]=qp(2,V[i]+E[i])-f[i][0];
	}
	dfs(1,0);
	dp(1,0);
	cout<<ans;
	return 0;
}

比赛

1.20分：暴力

大体思路：将所有询问按照右端点排序，按照r从大到小处理两个数组的最大值。

f[i]对于每个r,x[i]*y[i]的累加和,相当于固定左端点是i,右端点是[i,r]任意数的贡献和。答案为 $\sum _{i=l}^{r}f_i$ ，转化为固定p，移动q，时间复杂度为O(n*n+n*q)，应该只能过前两个测试点。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N=3e5+10;
struct Node{
	int l,id;
};
vector<Node> d[N];
LL a[N],b[N];
LL f[N];
LL x[N],y[N];
LL ans[N];
int main(){
	int t;
	int n,q;
	cin>>t>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>b[i];
	}
	cin>>q;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int l,r;
		cin>>l>>r;
		d[r].push_back({l,i});
	}
	for(int r=1;r<=n;r++){
		for(int i=1;i<=r;i++){
			x[i]=max(x[i],a[r]);
			y[i]=max(y[i],b[r]);
			f[i]+=x[i]*y[i];
		}
		for(auto [l,id]:d[r]){
			for(int i=l;i<=r;i++)
				ans[id]+=f[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=q;i++){
		printf("%lld\n", ans[i]);
	}
	return 0;
}

只会写暴力……

喵了个喵

1.一道模拟题。

当k=2n-2时，有3种操作：

插入（ins）：把不等于栈顶的数入栈。

删除（del）：把等于栈顶的数入栈，与栈顶消除。

连接（con）：把数放到备用栈（一个钦定的空栈），再与某个栈底进行消除。插入时，如果有高度为1的栈，就任选一个插入；否则就插到高度为0的栈中。显然这样的栈总是存在。

实现时，可以用set，也可以维护一个栈，删除时用栈顶替换。

当k=2n-1时，这样的栈不总是存在了，此时除了将要放入的数（原数），其他数都已存在。我们先忽略这个数，继续往后做。有几种情况：

等于原数：如果执行到这里，则不会出现连接操作而使用备用栈。把它们都放入备用栈中对消，结束循环。

连接：如果执行这种操作，只有可能上面的数被放入偶数次。因此预先放入原数，可以让后面偶数个数对消，不会有影响。结束循环。

删除：如果删除后栈为空，可以把原数放入备用栈，这个栈变成新的备用栈，结束循环。否则继续。

插入：直接插入。（注意插入的地方要和之前保持一致，不能放到别处）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=310,M=2e6+10,K=N*2;
int T,n,m,k,a[M];
int o[M],p[M],b,c[K],c2[K];
int s[N][2],t[N];
int f[N],e[N],z,e2[N],z2;
void ins(int x){
	if(t[x]==1) e2[f[x]=z2++]=x;
	else if(!t[x]) e[f[x]=z++]=x;
}
void del(int x){
	if(t[x]==1) f[e2[--z2]]=f[x],e2[f[x]]=e2[z2];
	else if(!t[x]) f[e[--z]]=f[x],e[f[x]]=e[z];
}
void ins(int y,int i){
	int x=a[i];
	del(y);
	o[i]=0;
	p[i]=y;
	c[x]=y;
	s[y][t[y]++]=x;
	ins(y);
}
void del(int y,int i){
	int x=a[i];
	del(y);
	o[i]=0;
	p[i]=y;
	c[x]=0;
	--t[y];
	ins(y);
}
void con(int y,int i){
	int x=a[i];
	del(y);
	o[i]=e[0];
	p[i]=y;
	c[x]=0;
	++b;
	s[y][0]=s[y][1];
	--t[y];
	ins(y);
}
int main(){
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n>>m>>k;
		b=m;
		memset(c,0,(k+5)<<2);
		memset(t,0,(n+5)<<2);
		memset(f,0,(n+5)<<2);
		z=z2=0;
		for(int i=n;i;--i)ins(i);
		for(int i=1;i<=m;++i) cin>>a[i];
		for(int i=1,j=1;i<=m;i=++j){
			int x=a[i];
			if(int y=c[x]){
				if(s[y][t[y]-1]==x)del(y,i);
				else con(y,i);
			}
			else if(z2||z>1)ins(z2?e2[z2-1]:e[z-1],i);
			else for(j=i+1;;++j){
				if(x==a[j]){
					int y=e[0];
					ins(y,i);
					del(y,j);
					break;
				}
				if(int y=c[a[j]]){
					if(s[y][t[y]-1]==a[j]){
						del(y,j);
						if(!t[y]){
							ins(e[0],i);
							break;
						}
						c2[a[j]]=y;
					}
					else{
						con(y,j);
						ins(y,i);
						break;
					}
				}
				else ins(c2[a[j]],j);
			}
		}
		printf("%d\n",b);
		for(int i=1;i<=m;++i){
			if(o[i]) printf("1 %d\n2 %d %d\n",o[i],p[i],o[i]);
			else printf("1 %d\n",p[i]);
		}
	}
}