Bootstrap

不定积分-换元法

换元法最重要的作用是打开局面,在做积分题时,只要我们选择恰当的换元,就可以将复杂的积分变得非常简洁,尤其是在处理带有根式的积分时,常常会使用换元法。


两类换元法:

(1)整体换元

(2)三角换元

(1)整体换元

886d17e725db43b8bf04ca3d6584e81e.jpg

 例题(1)

3573a8a4d752489a817c817d0370d945.jpg

 使用整体换元。

578d5ce44c3d42cca6c9241450bc8891.jpg

 注意✨ (红线)本题换元之后,不需要将dx解出来,而应该直接分部积分。

例题(2)

13d9765cd1b843389adb0d03a2b10d52.jpg

 

例题(3)

d95909cfcdc14ba6a6bd170acf9e4149.jpg

解法二 🌈:之前在三角函数不定积分中提到过,我们宁愿分子很多项,也不愿分母很多项,因为分子很多项可以拆开。所以这个题可以进行分子有理化。

6e529e65c4f941b3945de92460d24b8a.jpg

 例题(4)

8f948c05e51740908908a2864b96edf8.jpg

解法一: 遇到这个题目,可以直接从加号处拆开,然后分别计算。

解法二🌈:但是效率可能比较低。所以可以用分子有理化的方法打开局面。

5fd46501fe434adf979f549ca2e25cae.jpg

 

 

 例题(5)

976ad8ee2f8749c7880043f9d6197c1b.jpg

 注意😵‍💫😵‍💫😶‍🌫️!!求导!(第一次错了!)

f1960b99a6ed421ab4e36ffdf2f12435.jpg

 (2)三角换元

若被积函数中出现了“√二次函数”,则一般采用三角换元,具体分为一下两种。

(1)若括号内没有一次项,只有常数项和平方项,则直接换元。

注意!😝😝不一定非要出现根号才三角换元。出现1/(1+x²)²的积分,可用x=tant,再用二倍角处理!

(2)若根号内含有一次函数,则需要对根号内的二次函数配方,消去一次项后,便转化为了上买的👆情况,然后换元即可!

例题(1)

4c128c387ea4461b8ba3f6fc57c6a0e5.jpg

 例题(2)

2ab1dd485c834f4cadfa54eec7209230.jpg

例题(3)

ab4d842cac0042b2ad53fd842ff8c9d0.jpg

 最后化简:

04f6c1efa4d24cf998f25a63b7ee77c3.jpg

 

 

;