迭代加深：
迭代加深搜索（Iterative Deepening Search，IDS）是一种结合了深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）优点的搜索算法，常用于在状态空间较大且目标节点深度未知的情况下寻找最优解。
基本思想
迭代加深搜索本质上是一种有深度限制的深度优先搜索。它通过逐步增加搜索的深度限制，重复进行深度优先搜索，直到找到目标节点为止。每次搜索时，只探索深度不超过当前深度限制的节点。这样既避免了深度优先搜索可能陷入无限深度分支的问题，又不像广度优先搜索那样需要大量的内存来存储所有待扩展的节点。
算法步骤
1初始化深度限制：将初始深度限制 depth_limit 设置为 0。
2进行深度优先搜索：在当前深度限制下，从起始节点开始进行深度优先搜索。搜索过程中，若节点的深度超过当前深度限制，则不再继续扩展该节点。
3检查是否找到目标节点：如果在当前深度限制下找到了目标节点，则搜索结束，返回解；否则，增加深度限制（通常是将 depth_limit 加 1），并重复步骤 2。
适用场景
状态空间较大且目标节点深度未知/比较浅的位置：当搜索空间非常大，无法使用广度优先搜索存储所有待扩展的节点，且不知道目标节点的深度时，迭代加深搜索是一个很好的选择。
需要找到最优解：由于迭代加深搜索是按照深度从小到大的顺序进行搜索的，因此它可以保证找到的解是最优解（即最短路径）。
迭代加深搜索是一种实用的搜索算法，在很多情况下可以平衡时间和空间复杂度，有效地解决搜索问题。
习题1（加成序列）：
分析：
这是一道关于序列构造的算法问题，关键在于根据给定的 “加成序列” 条件，构造出以1开始，以指定整数n结束，且长度m最小的序列，同时满足序列递增以及每个元素可由前面元素相加得到的要求。
迭代加深搜索（IDS）：由于直接使用 DFS 可能会陷入过深的分支，导致效率低下。迭代加深搜索可以逐步增加搜索深度（即序列长度的上限），每次在限定深度内进行 DFS。当找到满足条件的序列时，即可停止搜索，这样能在一定程度上优化搜索效率，避免不必要的深度搜索
优化策略
剪枝：
单调性剪枝：若通过前面元素相加得到的新数小于或等于序列中最后一个数，不满足递增条件，直接跳过，无需加入序列继续搜索。
最优性剪枝：记录当前找到的最短序列长度，当正在构造的序列长度超过该最短长度时，直接回溯，不再继续构造后续元素。
记忆化：使用一个数据结构（如哈希表）记录已经尝试过的序列状态及其对应的结果。若再次遇到相同状态，直接获取结果，避免重复计算。例如，记录已经构造到特定长度且序列内容相同的情况，后续遇到时不再重复搜索。
伪代码：
双向dfs：
双向深度优先搜索（Bidirectional Depth First Search，简称双向 DFS）是对传统深度优先搜索算法的一种优化改进，通过从起始点和目标点同时进行深度优先搜索，在两者相遇时找到路径，以此来提高搜索效率。
基本原理
传统的深度优先搜索从起始节点出发，沿着一条路径尽可能深地探索，直到找到目标节点或者无法继续探索为止。而双向 DFS 分别从起始节点和目标节点出发，同时进行深度优先搜索。当两个搜索方向的路径在某个节点相遇时，就找到了从起始点到目标点的路径。由于搜索空间是从两端向中间扩展，相比于单向搜索，理论上可以减少搜索的节点数量，从而加快搜索速度。
算法步骤
初始化：分别创建两个搜索队列（或栈，在 DFS 中常用栈实现），一个用于从起始节点开始搜索，另一个用于从目标节点开始搜索；同时创建两个记录节点访问状态的集合，分别记录两个搜索方向已经访问过的节点。
正向搜索：从起始节点开始，按照深度优先搜索的规则，将相邻未访问的节点加入队列，并标记为已访问。
反向搜索：从目标节点开始，同样按照深度优先搜索的规则，将相邻未访问的节点加入队列，并标记为已访问。
检查相遇：每次扩展完一个方向的节点后，检查另一个方向是否已经访问过当前扩展的节点。如果相遇，则说明找到了一条从起始点到目标点的路径，计算路径长度并返回结果。
继续搜索：如果没有相遇，则继续进行正向和反向搜索，直到队列为空（表示没有找到路径）。
适用场景
状态空间较大：当搜索的状态空间非常大时，双向 DFS 可以显著减少搜索的节点数量，提高搜索效率。比如大型地图中的路径搜索、复杂的状态转移问题等。
目标明确：问题中明确知道起始点和目标点，并且从起始点和目标点进行搜索都是可行的情况，适合使用双向 DFS。 但如果目标点不明确或者难以从目标点进行反向搜索，则不适用。
习题2（送礼物）：
分析：
在达达送礼物问题中，需要在不超过最大搬运重量 (W) 的限制下，从 (N) 个礼物中选取若干个，使得选取礼物的重量总和最大。
双向 DFS 思路分析
基本思想
双向 DFS 的核心思想是将 (N) 个礼物分成两部分，分别对这两部分进行 DFS 搜索，然后将两部分的结果进行合并，从而减少搜索空间，提高效率。
具体步骤
1,将所有的物品按照从大到小的顺序排序
2，将前k个物品进行搜索，并存储在表中
3，将剩下的nk个物品进行搜索，每一个搜索的结果在表中进行二分查找，找到最大的满足s<=W当前搜索结果 的结果
伪代码：
IDA*算法
IDA（Iterative Deepening A）算法是一种结合了迭代加深搜索（Iterative Deepening Search，IDS）和 A 搜索算法思想的启发式搜索算法。它在状态空间搜索问题中表现出色，常用于解决路径规划、拼图游戏等问题。
基本思想
迭代加深搜索：迭代加深搜索是一种逐步增加搜索深度限制的搜索策略。它从一个较小的深度限制开始，进行深度优先搜索，若未找到目标节点，则增加深度限制，再次进行深度优先搜索，重复这个过程直到找到目标节点。这种策略避免了深度优先搜索可能陷入无限深度分支的问题，同时空间复杂度与深度优先搜索相同，相对较低。
A 算法：A 算法是一种启发式搜索算法，它使用一个启发式函数 (h(n)) 来估计从节点 (n) 到目标节点的代价，结合从起始节点到节点 (n) 的实际代价 (g(n))，得到一个评估函数 (f(n)=g(n)+h(n))。A 算法优先扩展 (f(n)) 值最小的节点，从而引导搜索朝着最有希望的方向进行。 IDA 算法将迭代加深搜索和 A 算法的思想结合起来，在每次迭代加深的深度优先搜索中，使用评估函数 (f(n)) 来判断是否继续扩展节点，若 (f(n)) 超过当前的深度限制，则剪枝。
算法步骤
1. 初始化深度限制：将初始深度限制 (depth_limit) 设置为起始节点的评估函数值 (f(start)=g(start)+h(start))，通常 (g(start) = 0)。
2. 进行深度优先搜索：从起始节点开始进行深度优先搜索，对于每个节点 (n)，计算其评估函数值 (f(n)=g(n)+h(n))。 若 (f(n)) 超过当前深度限制 (depth_limit)，则剪枝，不再继续扩展该节点。 若 (f(n)) 未超过深度限制，且节点 (n) 为目标节点，则搜索结束，返回路径。 若 (f(n)) 未超过深度限制，且节点 (n) 不是目标节点，则扩展该节点的所有子节点，继续递归搜索。
3. 更新深度限制：若在当前深度限制下未找到目标节点，记录所有被剪枝节点的最小 (f(n)) 值作为新的深度限制 (depth_limit)，然后重复步骤 2。
适用场景
状态空间较大：当搜索的状态空间非常大，无法使用广度优先搜索存储所有待扩展的节点时，IDA 算法是一个很好的选择。
需要找到最优解：IDA 算法可以保证找到的解是最优解（即最短路径），适用于对解的质量有较高要求的问题。
启发式信息可用：当问题存在有效的启发式函数时，IDA 算法可以利用启发式信息引导搜索，提高搜索效率。例如在路径规划问题中，可以使用曼哈顿距离、欧几里得距离等作为启发式函数。
习题3（排书）
分析：
迭代加深搜索（IDA*）思路
状态表示：同 BFS，用列表表示书的排列顺序，同时记录当前操作次数。
初始状态：初始乱序排列的书的列表，操作次数为 0。
状态转移：与 BFS 类似，枚举抽取和插入的情况得到新状态，但在每次转移时增加操作次数。
深度限制与剪枝：设定一个深度限制（即操作次数上限），每次搜索从较小的深度限制开始。若在当前深度限制内搜索到目标状态，则返回结果；若超过深度限制还未找到，则增加深度限制重新搜索。此外，可设计启发式函数，如计算当前排列与目标排列中位置不匹配的书的数量，若当前状态的操作次数加上启发式函数值大于深度限制，则进行剪枝，不再继续搜索该分支。
终止条件：找到目标状态或尝试了足够大的深度限制后仍未找到（可设定一个最大深度限制）。
伪代码：
习题4（回转游戏）：
分析：
这是一个基于特定操作规则的状态搜索优化问题，目标是通过最少次数的给定操作，使 “#” 形棋盘最中间的 8 个格子数字相同。
迭代加深搜索（IDA*）思路
状态表示：将 “#” 形棋盘的当前数字分布看作一个状态，用一个合适的数据结构（如二维数组或一维数组展开形式）来存储。同时记录达到该状态所使用的操作序列和操作次数。
另外增加一个启发式函数值。
初始状态：初始棋盘状态，操作序列为空，操作次数为 0，启发式函数初始化为根据当前状态计算的值（如中间 8 个格子中不同数字的种类数等，种类数越少说明越接近目标状态）。
状态转移：在当前深度限制下，对当前状态依次应用 8 种操作，生成新状态，并更新操作序列和操作次数，同时重新计算新状态的启发式函数值。
深度限制与剪枝：设定初始深度限制（如 1），每次搜索从这个深度限制开始。若在当前深度限制内找到满足条件的状态，则返回结果；若当前状态的操作次数加上启发式函数值大于深度限制，或者达到了深度限制仍未找到目标状态，则进行剪枝，不再继续搜索该分支。若未找到目标状态，则增加深度限制（如加 1），重新进行搜索。
终止条件：找到目标状态，或者达到一个预先设定的最大深度限制后仍未找到。
