数据结构-栈

ADT Stack{

数据对象：

D：{ ai | ai ∈ ElemSet, i = 1, 2, ...,n, n >= 0  }

数据关系：

R1 = { < ai - 1, ai >｜ai - 1, ai ∈ D, i = 2, ..., n }

约定 aₙ 端为栈顶， a₁端为栈底

基本操作：

InitStack(*S)

        操作结果：初始化操作，构造一个空栈S

        DestroyStack(*S)

        初始条件：栈S已存在

        操作结果：栈S被销毁

        ClearStack(*S)

        初始条件：栈S已存在

        操作结果：将S清为空栈

        StackEmpty(S)

        初始条件：栈S已存在

        操作结果：若栈S为空栈，则返回TRUE, 否则FALSE

        GetTop(S, *e)

        初始条件：栈S已存在且非空

        操作结果：用e返回S的栈顶元素

        Push(*S, e)

        初始条件：栈S已存在

        操作结果：插入元素e为新的栈顶元素

        Pop（*S, *e）

        初始条件：栈S已存在且非空

        操作结果：删除S的栈顶元素aₙ，并用e返回其值

        StackLength(S)

        初始条件：栈S已存在

        操作结果：返回S的元素个数，即栈的长度

}ADT Stack

顺序栈的表示和实现

存储方式：同一般线性表的顺序存储结构完全相同
利用一组地址连续的存储单元一次存放自栈底到栈顶的数据元素。栈底一般在低地址端
- 附设top指针，指示栈顶元素在顺序栈中的位置（为了方便操作，通常top指示真正的栈顶元素之上的下标位置）
- 另设base指针，指示栈底元素在顺序栈中的位置
- 用stacksize表示栈可使用的最大容量

空栈和栈满

base == top 是栈空的标志
top - base == stacksize 是栈满的标志
栈满时的操作
报错，返回操作系统
分配更大的空间，作为栈的存储空间，将原栈的内容移入新栈（操作费时）

使用数组作为顺序栈存储方式的特点

简单、方便、但易产生溢出（数组大小固定）
- 上溢（overflow）：栈已经满，又要压入元素
- 下溢（underflow）：栈已经空，还要弹出元素
上溢是一种错误，使问题的处理无法进行；而下溢一般认为是一种结束条件可，即问题处理结束

顺序栈类型定义

typedef int SElemType;
#define MAXSIZE 100

typedef struct
{
	SElemType* base; // 栈底指针
	SElemType* top; // 栈顶指针
	int stacksize; // 栈可用最大容量
}SqStack;

顺序栈的入栈

/* 顺序栈的入栈 */
Status Push(SqStack* S, SElemType e)
{
	// 栈满
	if (S->top - S->base == S->stacksize) return ERROR;

	/* 将新元素e赋值给栈顶空间，然后top指针指向下一空间 */
	*S->top = e;
	S->top++;
	// 等同于：*S.top++ = e;

	return OK;
}

顺序栈的出栈

Status Pop(SqStack* S, SElemType* e)
{
	if (S->top == S->base) return ERROR;// 判断是否栈空

	/* 将top指针下移，然后将指的元素复制给变量e */
	S->top--;
	e = *S->top;
	// 等于：e = *--S->top

	return OK;
}

链栈的表示和实现

链栈是运算受限的单链表，只能在链表头部进行操作

链栈的类型定义

/*  
StackNode：栈的结点类型 
*LinkStack：指向这个结点的指针类型
*/

typedef struct StackNode
{
	SElemType data;  // 数据域，存放元素
	struct StackNode* next;  // 指针域，指向下一元素，类型仍为struct
}StackNode, *LinkStack;
链栈中的指针的方向是反过来的
指针域中存放的是前驱元素
链表的头指针就是栈顶
不需要头结点
基本不存在栈满的情况
空栈相当于头指针指向空
插入和删除仅在栈顶处执行

链栈的入栈

Status Push(LinkStack* S, SElemType e)
{
	// 生成新结点p
	LinkStackPtr p = (LinkStackPtr)malloc(sizeof(StackNode));
	
	// 将元素放入新结点数据域
	p->data = e;

	/*
	将当前栈顶元素赋值给新结点的直接后继
	即，让新结点指向当前栈顶元素
	*/
	p->next = S->top;  

	// 让栈顶指针指向新结点
	S->top = p;
	S->cnt++;

	return OK;
}

链栈的出栈

Status Pop(LinkStack* S, SElemType* e)
{
	LinkStackPtr p;

	/*
	S == NULL 检查链栈对象是否存在。
	S->top == NULL 检查链栈是否为空。
	*/
	if (S == NULL || S->top == NULL) return ERROR; // 检查栈是否为空
	
	*e = S->top->data;
	
	/* 将栈顶结点赋值给p */
	p = S->top;

	/* 让栈顶指针后移，指向后一结点 */
	S->top = S->top->next;

	/* 释放结点 */
	free(p);

	S->cnt--;

	return OK;
}

递归

若一个对象部分地包含它自己，或用它自己给自己定义，则成这更对象是递归的
若一个过程直接地或间接地调用自己，则称这个过程是递归的过程
每个递归定义必须至少有一个条件，满足时递归不在进行，即不再引用自身而是返回值退

递归问题（用分治法求解）

分治法：对于一个较为复杂的问题，能够分解成几个相对简单且解法相同或类似的子问题来求解
必备的三个条件
- 能将一个胃转变成一个新问题，而新问题与原问题的解法相同或类同，不同的仅是处理的对象，且这些处理对象是变化有规律的
- 可以通过上述转化而使问题简化
- 必须有一个明确的递归出口，或称递归的边界

函数调用过程

调用前，系统完成
- 将实参、返回地址等传递给被调用函数
- 为被调用函数的局部变量分配存储区
- 将控制转移到被调用函数的入口
调用后，系统完成
- 保存被调用函数的计算结果
- 释放被调用函数的数据
- 依照被调用函数保存的返回地址，将控制转移到调用函数

求解阶乘n!的过程

递归函数调用的实现

例：进行fact(4)系统栈的变化状态

递归
- 优点：结构清晰，程序易读
- 缺点：每次调用要生成工作记录，保存状态信息，入栈；返回时要出栈，恢复状态信息。时间开销大

递归→非递归

递归时间开销大，对时间效率要求高时，要将递归→非递归
方法
- 尾递归、单向递归→循环结构
- 自用栈模拟系统的运行时栈

尾递归

单向递归

虽然有一处以上的递归调用语句，但各次递归调用语句的参数只和主调函数有关，相互之间参数无关，并且这些递归调用语句处于算法的最后

案例引入

进制转换

十进制整数 N 向其他进制数d（二、八、十六）转换
转换法则：除以 d 倒取余

使用栈

括号匹配的检验

假设表达式中允许包含两种括号：圆括号和方括号
其嵌套的顺序随意，即：
- ( [ ] ( ) ) 或 [ ( [ ] [] ) ] 为正确格式
- [ ( ] ) 为错误格式，交叉了，只能嵌套
- ( [ ( ) ) 或 ( ( ) ] ) 为错误格式，数量不对

遇到左括号，就放进栈中，遇到右括号，就与左括号匹配，然后把左括号出栈

最后进入右方括号，无法匹配左方括号

表达式求值

表达式的组成
- 操作数（operand）：常数、变量
- 运算符（operator）：算术运算符、关系运算符和逻辑运算符
- 界限符（delimiter）：左右括弧和表达式结束符

任何一个算术表达式都由操作数（常数、变量）、算术运算符（+ - * /）和界限符（括号、表达式结束符#、虚设的表达式符#）组成
- 如：# 3 * (7 - 2) #

为了实现表达式求值。需要设置两个栈：
- 一个是算法栈OPTR，用于寄存运算符
- 另一个称为操作数栈OPND，用于寄存运算数和运算结果

求值的处理过程是自左至右扫描表达式的每一个字符
- 当扫描到的是运算数，则将其压入栈OPND
- 当扫描到的是运算符时
  - 若这个运算符比OPTR栈顶运算符的优先级高，则入栈OPTR，继续向后处理
  - 若这个运算符比OPTR栈顶运算符有限级低，则从OPND栈中弹出两个运算数，从栈OPTN中弹出栈顶运算符进行运算，并将运算结果压入栈OPND
- 继续处理当前字符，直到遇到结束符为止

舞伴问题

假设在舞会上，男士和女士各自排成一队。舞会开始时，依次从男队和女队的队头各自出一个配成舞伴。如果两对初始人数不相同，则较长的那一队中未配对者等待下一轮舞曲
- 要求写算法模拟上述舞伴配对问题

思路：

先入队的男士或女士先出队配成舞伴。因此该问题具有典型的先进先出特性，可以用队列作为算法的数据结构
- 首先构造两个队列
- 依次将队头元素出队配成舞伴
- 某队为空，则另外一队等待着则是下一舞曲第一个可获得舞伴的人

数据结构-栈

栈

栈的示意图

入栈、出栈的操作示图

先进栈不一定最后出栈

栈的抽象数据类型定义

顺序栈的表示和实现

空栈和栈满

使用数组作为顺序栈存储方式的特点

顺序栈类型定义

顺序栈的入栈

顺序栈的出栈

链栈的表示和实现

链栈的类型定义

链栈的入栈

链栈的出栈

递归

递归问题（用分治法求解）

函数调用过程

求解阶乘n!的过程

递归函数调用的实现

例：进行fact(4)系统栈的变化状态

递归→非递归

尾递归

单向递归

案例引入

进制转换

括号匹配的检验

表达式求值

舞伴问题

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