摘要
本文深入解析灰色系统理论中的灰色预测方法，涵盖GM(1,1)模型构建、数据检验、误差分析及交变预测技术。通过降雨量异常值预测与交通噪声动态建模案例，详细阐述累加生成、参数估计、白化方程求解及残差检验全流程，并结合MATLAB代码实现模型参数优化与预测值还原，为处理小样本、非平稳序列的预测问题提供系统解决方案。
关键词：灰色预测 GM(1,1)模型 累加生成 白化方程 残差检验

1. 灰色预测概述

灰色预测是灰色系统理论的核心方法之一，通过有限数据建模揭示系统动态规律，适用于小样本、非典型分布场景。其核心思想是将随机序列视为灰色过程，利用**累加生成（AGO）**弱化随机性，构建微分方程模型（如GM(1,1)）进行预测。主要应用领域包括：

• 经济指标趋势分析
• 灾害预警（如早灾、疫情）
• 工业设备寿命预测

2. 灰色预测方法流程

2.1 数据预处理与检验

2.1.1 级比检验

对原始序列 $x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),\dots ,x^{(0)}(n))$，计算级比：
$$\lambda (k)=\frac{x^{(0)}(k-1)}{x^{(0)}(k)},k=2,3,\dots ,n$$
要求所有 $\lambda (k)$ 落在可容覆盖区间 $\Theta =(e^{-2/(n+1)},e^{2/(n+1)})$ 内。若未通过检验，需进行平移变换：
$$y^{(0)}(k)=x^{(0)}(k)+c$$

示例：交通噪声数据检验

某城市1986–1992年噪声数据为：
$$x^{(0)}=(71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6)$$
计算级比：
$$\lambda =(0.982,1.0,1.0042,1.0098,0.9917,1.0056)$$
所有 $\lambda (k)\in [0.982,1.0098]$，符合 $\Theta =(e^{-2/8},e^{2/8})\approx (0.7788,1.284)$，可通过检验。

2.2 建立GM(1,1)模型

2.2.1 累加生成与均值序列

1. 累加序列：
   $$x^{(1)}(k)=\sum _{i=1}^k{x}^{(0)}(i),k=1,2,\dots ,n$$
2. 紧邻均值序列：
   $$z^{(1)}(k)=0.5x^{(1)}(k)+0.5x^{(1)}(k-1),k=2,3,\dots ,n$$

示例：噪声数据累加生成

• 原始序列：$x^{(0)}=(71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6)$
• 累加序列：
  $$x^{(1)}=(71.1,143.5,215.9,288.0,359.4,431.4,503.0)$$
• 紧邻均值序列：
  $$z^{(1)}=(107.3,179.7,251.95,323.7,395.4,467.2)$$

2.2.2 灰微分方程与参数估计

GM(1,1)模型方程为：
$$x^{(0)}(k)+a{z}^{(1)}(k)=b$$
构造矩阵 $B$ 与向量 $Y$：
$$B=\left[\begin{array}{cc}-z^{(1)}(2)& 1\\ -z^{(1)}(3)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -z^{(1)}(n)& 1\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{c}{x}^{(0)}(2)\\ x^{(0)}(3)\\ ⋮\\ x^{(0)}(n)\end{array}\right]$$
最小二乘法求解参数：
$$\hat{u}=(a,b{)}^T=(B^{T}B{)}^{-1}{B}^{T}Y$$

示例：噪声模型参数

$$\hat{a}=0.0023,\hat{b}=72.6573$$

2.2.3 白化方程与预测

白化方程为：
$$\frac{d{x}^{(1)}}{dt}+a{x}^{(1)}=b$$
时间响应式：
$${\hat{x}}^{(1)}(k+1)=\left(x^{(0)}(1)-\frac{b}{a}\right)e^{-ak}+\frac{b}{a}$$
还原预测值：
$${\hat{x}}^{(0)}(k+1)={\hat{x}}^{(1)}(k+1)-{\hat{x}}^{(1)}(k)$$

示例：噪声预测结果

$${\hat{x}}^{(1)}(k+1)=-30929e^{-0.0023k}+31000$$
预测值与残差如下表：

3. 预测精度检验

3.1 残差检验

残差与相对误差计算：
$$\epsilon (k)=x^{(0)}(k)-{\hat{x}}^{(0)}(k),\Delta (k)=\left|\frac{\epsilon (k)}{x^{(0)}(k)}\right|$$

• 一般要求：$\Delta (k)<0.2$
• 高精度要求：$\Delta (k)<0.1$

3.2 级比偏差检验

根据发展系数 $a$ 计算级比偏差：
$$\rho (k)=1-\left(\frac{1-0.5a}{1+0.5a}\right)\lambda (k)$$

• 一般要求：$\rho (k)<0.2$
• 高精度要求：$\rho (k)<0.1$

4. 交变预测：异常值时间预测

4.1 定义与应用场景

交变预测不直接预测数值大小，而是预测异常值出现的时间，适用于灾害预警（如早灾、疫情爆发）。

示例：早灾预测

某地区年平均降雨量数据：
$$x^{(0)}=(390.6,412,320,559.2,380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5)$$
设定阈值 $\zeta =320$，筛选异常时刻：

• 异常时刻序列：$t=(3,8,10,14,17)$
• 累加生成：$t^{(1)}=(3,11,21,35,52)$
• 建立GM(1,1)模型预测下次早灾时间：${\hat{t}}^{(0)}(6)=22.034$，即5年后。

5. MATLAB代码实战

5.1 GM(1,1)建模与预测

clc, clear  
x0 = [71.1, 72.4, 72.4, 72.1, 71.4, 72.0, 71.6];  
n = length(x0);  

% 累加生成  
x1 = cumsum(x0);  

% 构建数据矩阵B和Y  
B = [-0.5*(x1(1:end-1) + x1(2:end))', ones(n-1,1)];  
Y = x0(2:end)';  

% 参数估计  
u = B \ Y;  
a = u(1); b = u(2);  

% 白化方程求解  
syms t;  
x = dsolve('Dx + a*x = b', 'x(0) = x0(1)');  
x_model = subs(x, {'a', 'b'}, {u(1), u(2)});  

% 预测值计算  
k = 0:n-1;  
x1_hat = double(subs(x_model, 't', k));  
x0_hat = [x1_hat(1), diff(x1_hat)];  

% 残差与误差分析  
epsilon = x0 - x0_hat;  
delta = abs(epsilon ./ x0);  
disp('平均相对误差: ');  
disp(mean(delta(2:end)));  

5.2 交变预测实现

clc, clear  
a = [390.6, 412, 320, 559.2, 380.8, 542.4, 553, 310, 561, 300, 632, 540, 406.2, 313.8, 576, 587.6, 318.5];  
t0 = find(a <= 320);  % 筛选异常时刻  
n = length(t0);  

% 累加生成异常时刻序列  
t1 = cumsum(t0);  

% 构建GM(1,1)模型  
B = [-0.5*(t1(1:end-1) + t1(2:end))', ones(n-1,1)];  
Y = t0(2:end)';  
u = B \ Y;  

% 预测下次异常时间  
syms k;  
t_hat = (t0(1) - u(2)/u(1)) * exp(-u(1)*k) + u(2)/u(1);  
next_t = floor(double(subs(t_hat, 'k', n)));  
disp(['下次早灾发生在第 ', num2str(next_t), ' 年']);  

6. 总结

灰色预测通过累加生成与微分方程建模，有效解决了小样本、非平稳序列的预测难题。核心步骤包括数据检验、参数估计、白化方程求解及残差分析，结合MATLAB实现可快速完成模型构建与验证。实际应用中需注意数据预处理的合理性及模型精度的多维度检验，后续可进一步研究GM(2,1)、Verhulst等复杂模型以应对更复杂系统。