内容摘要：
本文详细解析聚类分析的核心方法，涵盖样本与类间相似性度量（欧氏距离、马氏距离、类平均法等）及层次聚类流程。通过销售员业绩案例，逐步演示MATLAB中 pdist、linkage、cluster 函数的实战应用，包括数据标准化、距离矩阵计算、聚类树生成与结果划分。结合代码示例与可视化解读，帮助读者掌握多维数据分群的核心技能。
关键词：聚类分析 相似性度量 层次聚类 MATLAB函数 距离矩阵
1. 聚类分析概述
聚类分析（Cluster Analysis）是一种无监督学习方法，旨在将数据集中的对象划分为若干组（簇），使得同一簇内的对象相似性较高，不同簇间差异显著。其核心步骤包括相似性度量与聚类算法设计。本节重点介绍样本与类间相似性度量方法，以及基于层次聚类的系统聚类法（Hierarchical Clustering），并结合MATLAB函数pdist、linkage、cluster进行实战演示。
2. 相似性度量方法
| 方法 | 公式 | 特点 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 欧氏距离 | d ( x , y ) = ∑ k = 1 p ( x k − y k ) 2 d(x,y) = \sqrt{\sum_{k=1}^{p} (x_k - y_k)^2} d(x,y)=∑k=1p(xk−yk)2 | 对量纲敏感，需标准化；坐标旋转后距离不变。 | 空间直线距离计算 |
| 马氏距离 | d ( x , y ) = ( x − y ) T Σ − 1 ( x − y ) d(x,y) = \sqrt{(x-y)^T \Sigma^{-1}(x-y)} d(x,y)=(x−y)TΣ−1(x−y) | 解决变量相关性与量纲影响；计算复杂度高。 | 高相关性变量 |
| 绝对值距离 | d ( x , y ) = ∑ k = 1 p ∣ x k − y k ∣ d(x,y) = \sum_{k=1}^{p} |x_k - y_k| d(x,y)=∑k=1p∣xk−yk∣ | 适用于网格状路径数据（如城市街区）。 | 网格数据、城市街区距离 |
| Chebyshev距离 | d ∞ ( x , y ) = max 1 ≤ k ≤ p ∣ x k − y k ∣ d_{\infty}(x,y) = \max_{1 \leq k \leq p} |x_k - y_k| d∞(x,y)=max1≤k≤p∣xk−yk∣ | 适用于棋盘距离计算。 | 棋盘距离、最大差异度量 |
| 最短距离法 | D ( G 1 , G 2 ) = min x i ∈ G 1 , y j ∈ G 2 d ( x i , y j ) D(G_1, G_2) = \min_{x_i \in G_1, y_j \in G_2} d(x_i, y_j) D(G1,G2)=minxi∈G1,yj∈G2d(xi,yj) | 易形成链状结构，对噪声敏感。 | 噪声较少的数据 |
| 最长距离法 | D ( G 1 , G 2 ) = max x i ∈ G 1 , y j ∈ G 2 d ( x i , y j ) D(G_1, G_2) = \max_{x_i \in G_1, y_j \in G_2} d(x_i, y_j) D(G1,G2)=maxxi∈G1,yj∈G2d(xi,yj) | 倾向于生成紧凑簇，抗噪声能力强。 | 噪声较多的数据 |
| 类平均法 | D ( G 1 , G 2 ) = 1 n 1 n 2 ∑ x i ∈ G 1 ∑ y j ∈ G 2 d ( x i , y j ) D(G_1, G_2) = \frac{1}{n_1 n_2} \sum_{x_i \in G_1} \sum_{y_j \in G_2} d(x_i, y_j) D(G1,G2)=n1n21∑xi∈G1∑yj∈G2d(xi,yj) | 平衡最短与最长距离，鲁棒性较好。 | 一般数据 |
| Ward法 | D ( G 1 , G 2 ) = D 12 − D 1 − D 2 D(G_1, G_2) = D_{12} - D_1 - D_2 D(G1,G2)=D12−D1−D2 | 倾向于生成方差小的簇。 | 方差较小的簇 |
3. 系统聚类法（层次聚类）
3.1 算法流程
- 初始化：每个样本自成一类，计算距离矩阵 D D D。
- 迭代合并：
- 找到距离最小的两类 G p G_p Gp 和 G q G_q Gq，合并为新类 G r G_r Gr。
- 更新距离矩阵，重新计算 G r G_r Gr 与其他类的距离。
- 终止条件：所有样本聚为一类，生成聚类树（Dendrogram）。
3.2 MATLAB核心函数详解
| 函数 | 功能 | 语法 | 参数说明 | 输出 |
|---|---|---|---|---|
pdist | 计算样本间距离 | Y = pdist(X, 'metric', '参数') | - X：
m
×
n
m \times n
m×n 数据矩阵，每行为一个样本。- 'metric'：距离类型，如 'euclidean'、'cityblock'。 | Y：长度为
(
m
−
1
)
⋅
m
/
2
(m-1)\cdot m/2
(m−1)⋅m/2 的距离向量。 |
linkage | 生成层次聚类树 | Z = linkage(Y, 'method') | - Y：pdist 输出的距离向量。- 'method'：类间距离方法，如 'single'、'complete'。 | Z：
(
m
−
1
)
×
3
(m-1) \times 3
(m−1)×3 矩阵，记录聚类过程。 |
cluster | 从聚类树中划分指定数量的簇 | T = cluster(Z, 'maxclust', K) | - Z：linkage 输出的聚类树。- 'maxclust', K：指定最终簇的数量
K
K
K。 | T：
m
×
1
m \times 1
m×1 向量，元素表示对应样本所属的簇编号。 |
dendrogram | 绘制聚类树 | dendrogram(Z) | - Z：linkage 输出的聚类树。 | 生成聚类树状图。 |
squareform | 将距离向量转换为方阵 | D = squareform(Y) | - Y：pdist 输出的距离向量。 | D：
m
×
m
m \times m
m×m 对称距离矩阵。 |
MATLAB核心函数示例
| 函数 | 示例代码 | 功能说明 |
|---|---|---|
pdist | dist = pdist(data, 'cityblock'); | 计算数据矩阵 data 中样本间的绝对值距离。 |
linkage | Z = linkage(dist, 'average'); | 使用类平均法生成层次聚类树。 |
cluster | T = cluster(Z, 'maxclust', 3); | 将数据划分为3个簇。 |
dendrogram | dendrogram(Z); | 绘制聚类树状图。 |
squareform | dist_matrix = squareform(dist); | 将距离向量转换为对称距离矩阵。 |
3.3 完整案例：销售员业绩聚类
数据准备
5名销售员的销售业绩如下：
| 销售员 | 销售量（百件） | 回款额（万元） |
|---|---|---|
| w 1 w_1 w1 | 1 | 0 |
| w 2 w_2 w2 | 1 | 1 |
| w 3 w_3 w3 | 3 | 2 |
| w 4 w_4 w4 | 4 | 3 |
| w 5 w_5 w5 | 2 | 5 |
步骤详解
-
计算绝对值距离矩阵：
data = [1,0; 1,1; 3,2; 4,3; 2,5]; dist = pdist(data, 'cityblock'); % 绝对值距离 dist_matrix = squareform(dist); % 转换为方阵输出距离矩阵：
[ 0 1 4 6 6 1 0 3 5 5 4 3 0 2 4 6 5 2 0 6 6 5 4 6 0 ] \begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 & 6 & 6 \\ 1 & 0 & 3 & 5 & 5 \\ 4 & 3 & 0 & 2 & 4 \\ 6 & 5 & 2 & 0 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 6 & 0 \\ \end{bmatrix} 0146610355430246520665460 -
生成聚类树：
Z = linkage(dist, 'single'); % 最短距离法 dendrogram(Z); % 绘制聚类树 -
划分3个簇：
T = cluster(Z, 'maxclust', 3); disp(T'); % 输出：[1, 1, 2, 2, 3]结果解读：
- 第1类： w 1 , w 2 w_1, w_2 w1,w2（业绩较差）
- 第2类： w 3 , w 4 w_3, w_4 w3,w4（业绩中等）
- 第3类： w 5 w_5 w5（业绩最佳）
4. 总结
- 相似性度量：欧氏、马氏距离适用于不同场景，需结合数据特性选择。
- 层次聚类流程：
pdist→linkage→dendrogram→cluster四步完成分析。 - MATLAB优势：函数简洁高效，支持多种距离与聚类方法，适合快速验证算法。
核心代码模板：
data = [样本数据矩阵];
dist = pdist(data, 'metric'); % 计算距离
Z = linkage(dist, 'method'); % 生成聚类树
dendrogram(Z); % 可视化
T = cluster(Z, 'maxclust', K); % 划分K个簇
掌握上述方法，可灵活应用于客户分群、图像分割、生物分类等场景，为数据分析提供有力支持。