题目一
小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M月N日，2人都知道张老师的生日是下列10组中的一天，张老师把M值告诉了小明，把N值告诉了小强，张老师问他们知道他的生日是那一天吗?
3月4日 3月5日 3月8日
6月4日 6月7日
9月1日 9月5日
12月1日 12月2日 12月8日
小明说:如果我不知道的话，小强肯定也不知道.
小强说:本来我也不知道，但是现在我知道了.
小明说:哦，那我也知道了.
请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天?
正确思路
排除法：
- 小明肯定小强不知道是哪天，排除所有月份里有单独日的月份：6月和12月<因为如果小强的M是2或者7的话，小强就知道了，所以把6月7日与12月2日排除>，所以 小明拿到的是3或者9。
- 小强本来不知道，所以小强拿到的不是2或者7，但是小强现在知道了，说明把6月与12月排除后，小强拿到的是1,4,8中的一个<这里小强肯定没拿到5，否则他不会知道是哪天的>
- 小明现在也知道了，说明小明拿到的不是3，否则他不会知道是3月4日还是3月8日的，所以 小明拿到的是9才能唯一确定生日
答案：9月1日
题目二
小明和小强是赵老师的学生，张老师的生日是M月N日，张老师把M值告诉小明，N值告诉小强，给他们六个选项：
3月1日 3月3日
7月3日 7月5日
9月1日
11月7日
小明说:我猜不出来
小强说:本来我也猜不出来，但是现在我知道了
请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天?
正确思路
排除法：
-
小明说猜不出来，说明小明拿到的不是单独出现的9或者11，说明老师生日只能是3月或者7月
-
小强原本不知道，说明小强拿到的不是单独出现的5或者7，说明老是生日是1日或3日
-
小强现在知道了，说明小强拿到的是1，因为如果拿到的是3，那么小强就不知道是3月3日还是7月3日了
答案：3月1日
题目三
已知两个1~30之间的数字，甲知道两数之和，乙知道两数之积。 甲问乙："你知道是哪两个数吗？"乙说：“不知道”； 乙问甲："你知道是哪两个数吗？"甲说：“也不知道”； 于是，乙说：“那我知道了”； 随后甲也说：“那我也知道了”； 这两个数是什么？
正确思路
允许两数重复的情况下
- 答案为x=1，y=4；甲知道和A=x+y=5，乙知道积B=x*y=4
不允许两数重复的情况下有两种答案
- 答案1：为x=1，y=6；甲知道和A=x+y=7，乙知道积B=x*y=6
- 答案2：为x=1，y=8；甲知道和A=x+y=9，乙知道积B=x*y=8
解：
设这两个数为x，y。 甲知道两数之和 A=x+y； 乙知道两数之积 B=x*y；
该题分两种情况 ：
- 允许重复， 有(1 <= x <= y <= 30)；
- 不允许重复，有(1 <= x < y <= 30)；
由题设条件：
- 乙不知道答案 <=> B=x * y 解不唯一 => B=x * y 为非质数
当不允许重复时：
结论1：B=x * y 非质数且 B ≠ k * k (其中k∈N) 即：B ∈(6，8，10，12，14，15，18，20…)
- 甲不知道答案 <=> A=x+y 解不唯一 => A >= 5；
分两种情况：
- A=5，A=6时x，y有双解
- A>=7 时x，y有三重及三重以上解
假设 A=x+y=5 则有双解
- x1=1，y1=4；
- x2=2，y2=3
代入公式B=x*y：
- B1=x1y1=14=4；(不满足推论1，舍去)
- B2=x2y2=23=6；
得到唯一解x=2，y=3即甲知道答案。 与题设条件："甲不知道答案"相矛盾，故假设不成立，A=x+y≠5 。
假设 A=x+y=6 则有双解
- x1=1，y1=5；
- x2=2，y2=4
代入公式B=x*y：
- B1=x1y1=15=5；(不满足推论1，舍去)
- B2=x2y2=24=8；
得到唯一解x=2，y=4 即甲知道答案 。与题设条件："甲不知道答案"相矛盾，故假设不成立，A=x+y≠6 。
当A>=7时 ，x、y的解至少存在两种满足推论1的解
- B1=x1 * y1=2 * (A-2)
- B2=x2 * y2=3 * (A-3)
符合条件:结论(推论2)：A >= 7
- 乙说"那我知道了" =>乙通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解即：
- A=x+y， A >= 7
- B=x*y， B ∈(6，8，10，12，14，15，16，18，20…)
1 <= x < y <= 30 ；x，y存在唯一解
- 当 B=6 时：有两组解
x1=1，y1=6
x2=2，y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合题意，舍去)
得到唯一解 x=1，y=6 - 当 B=8 时：有两组解
x1=1，y1=8
x2=2，y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合题意，舍去)
得到唯一解 x=1，y=8 - 当 B>8 时：容易证明均为多重解
结论（3）： 当B=6时有唯一解 x=1，y=6；当B=8时有唯一解 x=1，y=8
- 甲说"那我也知道了" => 甲通过已知条件A=x+y及推论(3)可以得出唯一解
综上所述，原题所求有两组解：
- x1=1，y1=6
- x2=1，y2=8
当允许重复时：
同理可得唯一解 x=1，y=4
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