极限的概念
无限接近但是不等于
函数的极限
1. 在 x = x 0 x=x_{0} x=x0的极限
设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_{0} x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 A A A，对于 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0，总 ∃ δ > 0 \exists\delta>0 ∃δ>0。当 x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ ) x\in(x_{0}-\delta ,x_{0})\cup(x_{0},x_{0}+\delta) x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)时，有 ∣ f ( x ) − A ∣ < ε |f(x)-A|<\varepsilon ∣f(x)−A∣<ε，则称 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_{0} x0处的极限值为 A A A，记作 lim x → x 0 f ( x ) = A \lim_{ x \to x_{0} }f(x) = A limx→x0f(x)=A.
邻域：
x
0
x_{0}
x0的邻域就是它的父集，包含
x
0
x_{0}
x0这个点
去心邻域，就是不要
x
0
x_{0}
x0这个点
ε
\varepsilon
ε是大于0的数，可以任意大，也可以任意小
∣
f
(
x
)
−
A
∣
|f(x)-A|
∣f(x)−A∣表示
f
(
x
)
f(x)
f(x)和
A
A
A的距离，比任意的
ε
\varepsilon
ε要小，就说明这个距离已经无限接近
当
x
x
x无限接近但不等于
x
0
x_{0}
x0时，
f
(
0
)
f(0)
f(0)无限接近与
A
A
A
2. 左极限和右极限
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
x
0
x_{0}
x0的某一左邻域内有定义，如果存在常数
A
A
A，对于
∀
ε
>
0
\forall\varepsilon>0
∀ε>0，总
∃
δ
>
0
\exists\delta>0
∃δ>0。当
x
∈
(
x
0
−
δ
,
x
0
)
x\in(x_{0}-\delta ,x_{0})
x∈(x0−δ,x0)时，有
∣
f
(
x
)
−
A
∣
<
ε
|f(x)-A|<\varepsilon
∣f(x)−A∣<ε，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_{0}
x0处的左极限为
A
A
A，记作
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
=
A
\lim_{ x \to x_{0}^{-} }f(x) = A
limx→x0−f(x)=A或
f
(
x
0
−
)
=
A
f(x_{0}^{-})=A
f(x0−)=A，或
f
(
x
0
−
0
)
=
A
f(x_{0}-0)=A
f(x0−0)=A
类似地，可以定义右极限，记作
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
=
A
\lim_{ x \to x_{0}^{+} }f(x) = A
limx→x0+f(x)=A或
f
(
x
0
+
)
=
A
f(x_{0}^{+})=A
f(x0+)=A，或
f
(
x
0
+
0
)
=
A
f(x_{0}+0)=A
f(x0+0)=A
左极限和右极限统称为单侧极限
3. 在 x → ∞ x\to\infty x→∞时的极限
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在
(
−
∞
,
−
X
)
∪
(
X
,
+
∞
)
(-\infty,-X)\cup(X,+\infty)
(−∞,−X)∪(X,+∞)上有定义，如果存在常数
A
A
A，对于
∀
ε
>
0
\forall\varepsilon>0
∀ε>0，总
∃
M
>
0
\exists M>0
∃M>0。当
∣
x
∣
>
M
|x|>M
∣x∣>M时，有
∣
f
(
x
)
−
A
∣
<
ε
|f(x)-A|<\varepsilon
∣f(x)−A∣<ε，则称当
x
→
∞
x\to \infty
x→∞时
f
(
x
)
f(x)
f(x)的极限值为
A
A
A，记作
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
A
\lim_{ x \to \infty }f(x) = A
limx→∞f(x)=A.
类似地，可以定义当
x
→
−
∞
x \to -\infty
x→−∞时
f
(
x
)
f(x)
f(x)的极限
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
\lim_{ x \to -\infty }f(x)
limx→−∞f(x)，以及当
x
→
+
∞
x \to +\infty
x→+∞时
f
(
x
)
f(x)
f(x)的极限
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
\lim_{ x \to +\infty }f(x)
limx→+∞f(x)
4.左右极限与极限的关系
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
\lim_{ x \to x_{0} }f(x)
limx→x0f(x)存在当且仅当
lim
x
→
x
0
−
f
(
x
)
\lim_{ x \to x_{0}^{-} }f(x)
limx→x0−f(x)与
lim
x
→
x
0
+
f
(
x
)
\lim_{ x \to x_{0}^{+} }f(x)
limx→x0+f(x)都存在且相等
lim
x
→
∞
f
(
x
)
\lim_{ x \to \infty }f(x)
limx→∞f(x)存在当且仅当
lim
x
→
−
∞
f
(
x
)
\lim_{ x \to -\infty }f(x)
limx→−∞f(x)与
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
\lim_{ x \to +\infty }f(x)
limx→+∞f(x)都存在且相等
数列极限
在 x → ∞ x\to\infty x→∞时的极限
对于数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {xn}，如果存在常数 a a a，对于 ∀ ε > 0 \forall\varepsilon>0 ∀ε>0，总存在正整数 N > 0 N>0 N>0，当 n > N n>N n>N时，有 ∣ x n − a ∣ < ε |x_{n}-a|<\varepsilon ∣xn−a∣<ε，则称数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {xn}收敛于 a a a，记作 lim n → ∞ x n = a \lim_{ n \to \infty }x_{n}=a limn→∞xn=a
数列的下标是正整数
n
n
n只能有一种情况，趋向于
+
∞
+\infty
+∞这种
约定
n
→
∞
n \to \infty
n→∞代表
n
→
+
∞
n \to +\infty
n→+∞
无穷小量与无穷大量
1. 无穷小量与无穷大量的概念
无穷小量
在前面的七种极限过程中
函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的极限值为0，也即
lim
x
→
□
f
(
x
)
=
0
\lim_{ x \to \Box }f(x)=0
limx→□f(x)=0，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x)为当
x
→
□
x \to \Box
x→□时的无穷小量
0一定是无穷小量，但无穷小量不一定是0
无穷小量是一个动态变化的过程，与极限过程有关
无穷大量
在前面的七种极限过程中
函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的绝对值无限增大，也即
lim
x
→
□
f
(
x
)
=
∞
\lim_{ x \to \Box }f(x)=\infty
limx→□f(x)=∞，则称
f
(
x
)
f(x)
f(x)为当
x
→
□
x \to \Box
x→□时的无穷大量
无穷大量实际上是极限不存在的情况，但是极限不存在的量不一定都是无穷大量
与无穷小量类似，无穷大量也是一个动态变化的过程，而不是一个实际存在的数
2. 无穷小量与无穷大量的关系
如果
x
→
□
x \to \Box
x→□时，
f
(
x
)
f(x)
f(x)为无穷大量，则
1
f
(
x
)
\frac{1}{f(x)}
f(x)1在同一极限过程中为无穷小量
如果
x
→
□
x \to \Box
x→□时，
f
(
x
)
f(x)
f(x)为无穷小量，且
f
(
x
)
≠
0
f(x) \ne 0
f(x)=0，则
1
f
(
x
)
\frac{1}{f(x)}
f(x)1在同一极限过程中为无穷大量
3.无穷小量与无穷大量比较
作商
设在某极限过程 x → □ x \to \Box x→□ 中，函数 α ( x ) , β ( x ) \alpha(x),\beta(x) α(x),β(x)都为无穷小量，并且都不为0
- 如果 lim x → □ α ( x ) β ( x ) = 0 \lim_{ x \to \Box }\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0 limx→□β(x)α(x)=0，则称当 x → □ x \to \Box x→□时， α ( x ) \alpha(x) α(x)为 β ( x ) \beta(x) β(x)的高阶无穷小量，或 β ( x ) \beta(x) β(x)为 α ( x ) \alpha(x) α(x)的低阶无穷小量， α ( x ) = o ( β ( x ) ) \alpha(x)=o(\beta(x)) α(x)=o(β(x))
- 如果 lim x → □ α ( x ) β ( x ) = C ≠ 0 \lim_{ x \to \Box }\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C \ne 0 limx→□β(x)α(x)=C=0，则称当 x → □ x \to \Box x→□时， α ( x ) \alpha(x) α(x)与 β ( x ) \beta(x) β(x)为同阶无穷小量
- 若 lim x → □ α ( x ) β ( x ) = 1 \lim_{ x \to \Box }\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1 limx→□β(x)α(x)=1，则称当 x → □ x \to \Box x→□时， α ( x ) \alpha(x) α(x)与 β ( x ) \beta(x) β(x)为等阶无穷小量，记作 α ( x ) ∼ β ( x ) \alpha(x)\sim\beta(x) α(x)∼β(x)
4. k阶无穷小量的概念
设在某极限过程 x → □ x \to \Box x→□ 中，函数 α ( x ) , β ( x ) \alpha(x),\beta(x) α(x),β(x)都为无穷小量，并且都不为0
如果 lim x → □ α ( x ) [ β ( x ) ] k = C ≠ 0 \lim_{ x \to \Box }\frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^{k}}=C \ne 0 limx→□[β(x)]kα(x)=C=0，则称当 x → □ x \to \Box x→□时， α ( x ) \alpha(x) α(x)是 β ( x ) \beta(x) β(x)的 k k k阶无穷小量
在同一极限过程下， α ( x ) \alpha(x) α(x)是 β ( x ) \beta(x) β(x)的 k k k阶无穷小量也就是说 α ( x ) \alpha(x) α(x)与 β k ( x ) \beta^{k}(x) βk(x)， ( k > 0 ) (k>0) (k>0)是同阶无穷小量
极限的性质
函数极限的性质
- 唯一性：假设函数极限 lim x → x 0 f ( x ) \lim_{ x \to x_{0} }f(x) limx→x0f(x)存在，则其极限值为一
- 局部有界性：假设函数极限 lim x → x 0 f ( x ) \lim_{ x \to x_{0} }f(x) limx→x0f(x)存在，则存在 δ > 0 \delta>0 δ>0，使得函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_{0} x0的去心邻域 ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ ) (x_{0}-\delta ,x_{0})\cup(x_{0},x_{0}+\delta) (x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)内有界
- 保号性
假设 lim x → x 0 f ( x ) > 0 \lim_{ x \to x_{0} }f(x)>0 limx→x0f(x)>0，则 ∃ δ > 0 \exists\delta>0 ∃δ>0，使得当 x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ ) x\in(x_{0}-\delta ,x_{0})\cup(x_{0},x_{0}+\delta) x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)时，有 f ( x ) > 0 f(x)>0 f(x)>0
假设 ∃ δ > 0 \exists\delta>0 ∃δ>0，使得当 x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ ) x\in(x_{0}-\delta ,x_{0})\cup(x_{0},x_{0}+\delta) x∈(x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ)时，有 f ( x ) ≥ 0 f(x)\ge0 f(x)≥0，并且 lim x → x 0 f ( x ) \lim_{ x \to x_{0} }f(x) limx→x0f(x)存在，则 lim x → x 0 f ( x ) ≥ 0 \lim_{ x \to x_{0} }f(x)\ge0 limx→x0f(x)≥0
数列极限的性质
- 唯一性：假设数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {xn}的极限存在，则其极限值唯一
- 整体有界性：假设数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {xn}的极限存在，则数列 { x n } \left \{ x_{n} \right \} {xn}有界
- 保号性：
假设 lim n → ∞ x n > 0 \lim_{ n \to \infty }x_{n}>0 limn→∞xn>0，则存在正整数 N > 0 N>0 N>0，使得当 n > N n>N n>N时，有 x n > 0 x_{n}>0 xn>0
假设 lim n → ∞ x n < 0 \lim_{ n \to \infty }x_{n}<0 limn→∞xn<0，则存在正整数 N > 0 N>0 N>0，使得当 n > N n>N n>N时，有 x n < 0 x_{n}<0 xn<0
假设 lim n → ∞ x n = 0 \lim_{ n \to \infty }x_{n}=0 limn→∞xn=0， x n x_{n} xn的符号无法判断
假设存在正整数 N > 0 N>0 N>0，使得当 n > N n>N n>N时， x n ≥ 0 x_{n}\ge0 xn≥0，并且 lim n → ∞ x n \lim_{ n \to \infty }x_{n} limn→∞xn存在，则 lim n → ∞ x n ≥ 0 \lim_{ n \to \infty }x_{n}\ge0 limn→∞xn≥0
函数极限的计算
计算极限的基本思路：能带入的就代入
不能带入的利用四种方法，化成能带入的再直接代入
1. 四则运算
设
lim
x
→
□
f
(
x
)
=
A
,
lim
x
→
□
g
(
x
)
=
B
\lim_{ x \to \Box }f(x)=A,\lim_{ x \to \Box }g(x)=B
limx→□f(x)=A,limx→□g(x)=B，则有
lim
x
→
□
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
=
A
±
B
lim
x
→
□
f
(
x
)
g
(
x
)
=
A
B
lim
x
→
□
f
(
x
)
g
(
x
)
=
A
B
(
B
≠
0
)
\begin{array}{} \lim_{ x \to \Box }(f(x)\pm g(x))=A \pm B \\ \lim_{ x \to \Box }f(x)g(x)=AB \\ \lim_{ x \to \Box }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B \ne 0) \end{array}
limx→□(f(x)±g(x))=A±Blimx→□f(x)g(x)=ABlimx→□g(x)f(x)=BA(B=0)
和差积商的极限等于极限的和差积商
什么情况下可以使用四则运算
- A和B，这两个极限都存在
- 四则运算只适用于有限次计算的情形，对无限次运算不一定适用
- 数列极限的四则运算法则和函数极限的四则运算完全类似
- 四则运算不能直接用于 0 0 , ∞ ∞ , ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞ , 1 ∞ , ∞ 0 , 0 0 \frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},\infty-\infty,0\cdot \infty,1^{\infty},\infty^{0},0^{0} 00,∞∞,∞−∞,0⋅∞,1∞,∞0,00未定式
当
A
,
B
A,B
A,B均为一个数时，四则运算显然适用
当
A
,
B
A,B
A,B为
∞
\infty
∞或
0
0
0时
+
∞
+
(
+
∞
)
=
+
∞
+
∞
−
(
−
∞
)
=
+
∞
−
∞
−
(
+
∞
)
=
−
(
+
∞
+
∞
)
=
−
(
+
∞
)
=
−
∞
+
∞
+
C
=
+
∞
+
∞
⋅
(
−
∞
)
=
−
∞
+
∞
⋅
+
∞
=
+
∞
−
∞
⋅
(
−
∞
)
=
+
∞
0
⋅
C
1
=
0
C
1
∞
=
C
1
⋅
0
=
0
C
2
0
=
∞
(
C
2
≠
0
)
C
2
⋅
∞
=
∞
(
C
2
≠
0
)
a
+
∞
=
{
+
∞
,
a
>
1
0
,
0
<
a
≤
1
\begin{array}{} +\infty+(+\infty)=+\infty \\ +\infty-(-\infty)=+\infty \\ -\infty-(+\infty)=-(+\infty+\infty)=-(+\infty)=-\infty \\ +\infty+C=+\infty \\ +\infty \cdot(-\infty)=-\infty \\ +\infty \cdot+\infty=+\infty \\ -\infty \cdot(-\infty)=+\infty \\ 0\cdot C_{1}=0 \\ \frac{C_{1}}{\infty}=C_{1}\cdot0=0 \\ \frac{C_{2}}{0}=\infty(C_{2} \ne 0) \\ C_{2}\cdot \infty=\infty(C_{2} \ne 0) \\ a^{+\infty}=\left\{\begin{matrix} +\infty, \qquad a>1 \\ 0, \qquad 0<a\le1 \end{matrix}\right. \end{array}
+∞+(+∞)=+∞+∞−(−∞)=+∞−∞−(+∞)=−(+∞+∞)=−(+∞)=−∞+∞+C=+∞+∞⋅(−∞)=−∞+∞⋅+∞=+∞−∞⋅(−∞)=+∞0⋅C1=0∞C1=C1⋅0=00C2=∞(C2=0)C2⋅∞=∞(C2=0)a+∞={+∞,a>10,0<a≤1
无穷比无穷 抓大头
例1
lim
x
→
∞
x
3
+
a
1
x
2
+
a
2
x
+
a
3
x
3
+
b
1
x
2
+
b
2
x
+
b
3
=
lim
x
→
∞
1
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
1
+
b
1
x
+
b
2
x
2
+
b
3
x
3
=
lim
x
→
∞
1
+
lim
x
→
∞
a
1
x
+
lim
x
→
∞
a
2
x
2
+
lim
x
→
∞
a
3
x
3
lim
x
→
∞
1
+
lim
x
→
∞
b
1
x
+
lim
x
→
∞
b
2
x
2
+
lim
x
→
∞
b
3
x
3
=
1
+
0
+
0
+
0
1
+
0
+
0
+
0
=
1
\begin{array}{} \lim_{ x \to \infty }\frac{x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}}{x^{3}+b_{1}x^{2}+b_{2}x+b_{3}} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{1+ \frac{a_{1}}{x}+ \frac{a_{2}}{x^{2}}+ \frac{a_{3}}{x^{3}}}{1+ \frac{b_{1}}{x}+ \frac{b_{2}}{x^{2}}+ \frac{b_{3}}{x^{3}}} \\ =\frac{\lim_{ x \to \infty }1+\lim_{ x \to \infty } \frac{a_{1}}{x}+\lim_{ x \to \infty } \frac{a_{2}}{x^{2}}+\lim_{ x \to \infty } \frac{a_{3}}{x^{3}} }{\lim_{ x \to \infty }1+ \lim_{ x \to \infty } \frac{b_{1}}{x}+\lim_{ x \to \infty } \frac{b_{2}}{x^{2}}+\lim_{ x \to \infty } \frac{b_{3}}{x^{3}}} \\ =\frac{1+0+0+0}{1+0+0+0}=1 \end{array}
limx→∞x3+b1x2+b2x+b3x3+a1x2+a2x+a3=limx→∞1+xb1+x2b2+x3b31+xa1+x2a2+x3a3=limx→∞1+limx→∞xb1+limx→∞x2b2+limx→∞x3b3limx→∞1+limx→∞xa1+limx→∞x2a2+limx→∞x3a3=1+0+0+01+0+0+0=1
例2
lim
x
→
∞
x
2
+
10000
!
x
+
1
0
8
x
2
x
2
+
1
0
200
=
lim
x
→
∞
1
+
10000
!
x
+
1
0
8
x
2
+
1
0
200
x
2
=
1
2
\begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } \frac{x^{2}+10000!x+10^{8}x}{2x^{2}+10^{200}} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{1+\frac{10000!}{x}+\frac{10^8}{x}}{2+\frac{10^{200}}{x^2}} \\ =\frac{1}{2} \end{array}
limx→∞2x2+10200x2+10000!x+108x=limx→∞2+x2102001+x10000!+x108=21
抓大头，当求
∞
∞
\frac{\infty}{\infty}
∞∞型极限时，分子分母中只保留最高次即可
例3
lim
x
→
∞
(
x
4
+
1
)
3
(
2
x
2
+
x
+
3
)
4
(
x
+
1
)
20
=
lim
x
→
∞
(
x
4
+
1
x
4
)
3
(
2
x
2
+
x
+
3
x
2
)
4
(
x
+
1
x
)
20
=
lim
x
→
∞
(
1
+
1
x
4
)
3
(
2
+
1
x
+
3
x
2
)
4
(
1
+
1
x
)
20
=
16
\begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } \frac{(x^4+1)^3(2x^2+x+3)^4}{(x+1)^{20}} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{\left( \frac{x^4+1}{x^4} \right)^3\left( \frac{2x^2+x+3}{x^2} \right)^4}{\left( \frac{x+1}{x} \right)^{20}} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{\left( 1+\frac{1}{x^4} \right)^3\left(2+\frac{1}{x}+ \frac{3}{x^2} \right)^4}{\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{20}} \\ =16 \end{array}
limx→∞(x+1)20(x4+1)3(2x2+x+3)4=limx→∞(xx+1)20(x4x4+1)3(x22x2+x+3)4=limx→∞(1+x1)20(1+x41)3(2+x1+x23)4=16
或
lim
x
→
∞
(
x
4
+
1
)
3
(
2
x
2
+
x
+
3
)
4
(
x
+
1
)
20
=
lim
x
→
∞
(
x
4
)
3
(
2
x
2
)
4
(
x
)
20
=
16
\begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } \frac{(x^4+1)^3(2x^2+x+3)^4}{(x+1)^{20}} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{(x^4)^3(2x^2)^4}{(x)^{20}} \\ =16 \end{array}
limx→∞(x+1)20(x4+1)3(2x2+x+3)4=limx→∞(x)20(x4)3(2x2)4=16
例4
lim
x
→
−
∞
x
x
2
+
100
−
x
=
lim
x
→
−
∞
x
x
2
−
x
=
lim
x
→
−
∞
x
∣
x
∣
−
x
=
lim
x
→
−
∞
x
−
x
−
x
=
−
1
2
\begin{array}{} \lim_{ x \to -\infty } \frac{x}{\sqrt{ x^2+100 }-x} \\ = \lim_{ x \to -\infty } \frac{x}{\sqrt{ x^2 }-x} \\ =\lim_{ x \to -\infty } \frac{x}{|x|-x} \\ =\lim_{ x \to -\infty } \frac{x}{-x-x} \\ =-\frac{1}{2} \end{array}
limx→−∞x2+100−xx=limx→−∞x2−xx=limx→−∞∣x∣−xx=limx→−∞−x−xx=−21
在抓大头中，当
x
→
−
∞
x \to -\infty
x→−∞中，要注意
x
2
=
−
x
\sqrt{ x^2 }=-x
x2=−x
零比零 分解因式 根式有理化
例5
lim
x
→
1
x
2
−
4
x
+
3
x
2
−
3
x
+
2
=
lim
x
→
1
(
x
−
1
)
(
x
−
3
)
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
=
lim
x
→
1
x
−
3
x
−
2
=
2
\begin{array}{} \lim_{ x \to 1 } \frac{x^2-4x+3}{x^2-3x+2} \\ =\lim_{ x \to 1 } \frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-2)} \\ =\lim_{ x \to 1 } \frac{x-3}{x-2} \\ =2 \end{array}
limx→1x2−3x+2x2−4x+3=limx→1(x−1)(x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x−2x−3=2
例6
lim
x
→
0
x
2
+
3
x
+
1
−
x
2
−
3
x
+
1
x
=
lim
x
→
0
(
x
2
+
3
x
+
1
−
x
2
−
3
x
+
1
)
(
x
2
+
3
x
+
1
+
x
2
−
3
x
+
1
)
x
(
x
2
+
3
x
+
1
+
x
2
−
3
x
+
1
)
=
lim
x
→
0
(
x
2
+
3
x
+
1
)
−
(
x
2
−
3
x
+
1
)
x
⋅
lim
x
→
0
1
x
2
+
3
x
+
1
+
x
2
−
3
x
+
1
=
lim
x
→
0
6
x
x
⋅
1
2
=
3
\begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{\sqrt{ x^2+3x+1 }-\sqrt{ x^2-3x+1 }}{x} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{(\sqrt{ x^2+3x+1 }-\sqrt{ x^2-3x+1 })(\sqrt{ x^2+3x+1 }+\sqrt{ x^2-3x+1 })}{x(\sqrt{ x^2+3x+1 }+\sqrt{ x^2-3x+1 })} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{(x^2+3x+1)-(x^2-3x+1)}{x} \\ \cdot\lim_{ x \to 0 } \frac{1}{\sqrt{ x^2+3x+1 }+\sqrt{ x^2-3x+1 }} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{6x}{x} \cdot \frac{1}{2} \\ =3 \end{array}
limx→0xx2+3x+1−x2−3x+1=limx→0x(x2+3x+1+x2−3x+1)(x2+3x+1−x2−3x+1)(x2+3x+1+x2−3x+1)=limx→0x(x2+3x+1)−(x2−3x+1)⋅limx→0x2+3x+1+x2−3x+11=limx→0x6x⋅21=3
对于
0
0
\frac{0}{0}
00型未定式的基本解题思路是通过约掉零因式将其化为定式，常用方法为因式分解或有理化
2. 等价无穷小替换
两个基本公式
- 夹逼准则
lim x → 0 sin x x = 1 \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x}{x}=1 x→0limxsinx=1 - 单调有界收敛准则
lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \lim_{ x \to 0 } (1+x)^{\frac{1}{x}}=e x→0lim(1+x)x1=e
六个拓展公式
-
x
→
0
x\to 0
x→0，
x
∼
arcsin
x
∼
tan
x
∼
arctan
x
∼
ln
(
1
+
x
)
∼
e
x
−
1
x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x\sim \ln(1+x)\sim e^x-1
x∼arcsinx∼tanx∼arctanx∼ln(1+x)∼ex−1
lim x → 0 sin x x = lim t → 0 t arcsin t = 1 \lim_{ x \to 0 }\frac{\sin x}{x}=\lim_{ t \to 0 } \frac{t}{\arcsin t} = 1 x→0limxsinx=t→0limarcsintt=1
lim x → 0 sin x cos x x cos x = lim x → 0 tan x x ⋅ cos x = lim x → 0 tan x x ⋅ lim x → 0 cos x = 1 \lim_{ x \to 0 } \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{x}{\cos x}}=\lim_{ x \to 0 } \frac{\tan x}{x}\cdot \cos x=\lim_{ x \to 0 } \frac{\tan x}{x}\cdot \lim_{ x \to 0 } \cos x=1 x→0limcosxxcosxsinx=x→0limxtanx⋅cosx=x→0limxtanx⋅x→0limcosx=1
lim x → 0 tan x x = lim t → 0 t arctan t = 1 \lim_{ x \to 0 } \frac{\tan x}{x}=\lim_{ t \to 0 } \frac{t}{\arctan t} = 1 x→0limxtanx=t→0limarctantt=1
ln lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = ln e = 1 lim x → 0 ln ( 1 + x ) 1 x = 1 lim x → 0 ln ( 1 + x ) x = 1 \begin{array}{} \ln \lim_{ x \to 0 } (1+x)^{\frac{1}{x}}=\ln e=1 \\ \lim_{ x \to 0 } \ln(1+x)^{\frac{1}{x}}=1 \\ \lim_{ x \to 0 } \frac{\ln(1+x)}{x}=1 \end{array} lnlimx→0(1+x)x1=lne=1limx→0ln(1+x)x1=1limx→0xln(1+x)=1
lim x → 0 ln ( 1 + x ) x = lim x → 0 t e t − 1 = 1 \lim_{ x \to 0 } \frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{ x \to 0} \frac{t}{e^t-1}=1 x→0limxln(1+x)=x→0limet−1t=1
e cos 2 x − e = e ( e cos 2 x − 1 − 1 ) ∼ e ( cos 2 x − 1 ) e f ( x ) − e g ( x ) = e ( e f ( x ) − g ( x ) ) ∼ e g ( x ) ⋅ ( cos 2 x − 1 ) \begin{array}{} e^{\cos 2x}-e=e(e^{\cos 2x-1}-1)\sim e(\cos2x-1) \\ e^{f(x)}-e^{g(x)}=e(e^{f(x)-g(x)})\sim e^{g(x)}\cdot(\cos2x-1) \end{array} ecos2x−e=e(ecos2x−1−1)∼e(cos2x−1)ef(x)−eg(x)=e(ef(x)−g(x))∼eg(x)⋅(cos2x−1) - 1 − cos x ∼ x 2 2 1-\cos x \sim \frac{x^2}{2} 1−cosx∼2x2
-
(
1
+
x
)
α
−
1
∼
α
x
(1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x
(1+x)α−1∼αx
( 1 + x ) α − 1 = e ln ( 1 + x ) α − 1 = e α ln ( 1 + x ) − 1 ∼ α ln ( 1 + x ) ∼ α x (1+x)^\alpha-1=e^{\ln(1+x)^\alpha}-1=e^{\alpha \ln(1+x)}-1\sim \alpha \ln(1+x)\sim \alpha x (1+x)α−1=eln(1+x)α−1=eαln(1+x)−1∼αln(1+x)∼αx
只有整个式子的乘除因子才能用等价无穷小替换，有加减时不能替换
例1
lim
x
→
0
x
ln
(
1
+
x
)
tan
2
x
=
lim
x
→
0
x
⋅
x
x
2
=
1
\begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{x\ln (1+x)}{\tan^2x} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{x\cdot x}{x^2}=1 \end{array}
limx→0tan2xxln(1+x)=limx→0x2x⋅x=1
等价无穷小替换的广义化
例2
lim
x
→
0
tan
x
arcsin
3
x
=
lim
x
→
0
x
3
x
=
1
3
lim
x
→
0
arcsin
x
x
=
1
=
lim
x
→
0
arcsin
3
t
3
t
\begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{\tan x}{\arcsin 3x} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{x}{3x}=\frac{1}{3} \\ \lim_{ x \to 0 } \frac{\arcsin x}{x}=1=\lim_{ x \to 0 } \frac{\arcsin 3t}{3t} \end{array}
limx→0arcsin3xtanx=limx→03xx=31limx→0xarcsinx=1=limx→03tarcsin3t
例3
lim
x
→
∞
x
sin
2
x
x
2
+
1
∵
lim
x
→
∞
2
x
x
2
+
1
=
lim
x
→
∞
2
x
=
0
∴
=
lim
x
→
∞
x
⋅
2
x
x
2
+
1
=
lim
x
→
∞
2
x
2
x
2
=
2
\begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } x\sin \frac{2x}{x^2+1} \\ \because \lim_{ x \to \infty } \frac{2x}{x^{2+1}=\lim_{ x \to \infty } \frac{2}{x}}= 0 \\ \therefore =\lim_{ x \to \infty } x\cdot \frac{2x}{x^2+1} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{2x^2}{x^2}=2 \end{array}
limx→∞xsinx2+12x∵limx→∞x2+1=limx→∞x22x=0∴=limx→∞x⋅x2+12x=limx→∞x22x2=2
等价无穷小替换的变形
- 凑1：加1碱1，提公因式
x ∼ ln ( 1 + x ) ∼ e x − 1 , ( 1 + x ) α − 1 ∼ α x , 1 − cos x ∼ 1 2 x 2 x\sim \ln(1+x)\sim e^x-1,(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x,1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2 x∼ln(1+x)∼ex−1,(1+x)α−1∼αx,1−cosx∼21x2 - 凑0
3. 洛必达法则
定义
设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)满足：
- lim x → □ f ( x ) = lim x → □ g ( x ) = 0 \lim_{ x \to \Box }f(x)=\lim_{ x \to \Box }g(x)=0 limx→□f(x)=limx→□g(x)=0或 lim x → □ f ( x ) = lim x → □ g ( x ) = ∞ \lim_{ x \to \Box }f(x)=\lim_{ x \to \Box }g(x)=\infty limx→□f(x)=limx→□g(x)=∞
- f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)在 □ \Box □的附近均可导且 g ′ ( x ) ≠ 0 g'(x)\ne 0 g′(x)=0
-
lim
x
→
□
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
\lim_{ x \to \Box } \frac{f'(x)}{g'(x)}
limx→□g′(x)f′(x)存在或为
∞
\infty
∞
则有 lim x → □ f ( x ) g ( x ) = lim x → □ f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{ x \to \Box } \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{ x \to \Box } \frac{f'(x)}{g'(x)} limx→□g(x)f(x)=limx→□g′(x)f′(x)
极限：
- 存在√
- 不存在
- ∞ \infty ∞√
- 不为 ∞ \infty ∞
例：
lim
x
→
∞
x
+
sin
x
x
=
lim
x
→
∞
x
x
+
lim
x
→
∞
sin
x
x
=
1
+
0
=
1
\begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } \frac{x+\sin x}{x} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{x}{x}+\lim_{ x \to \infty } \frac{\sin x}{x} \\ = 1+0=1 \end{array}
limx→∞xx+sinx=limx→∞xx+limx→∞xsinx=1+0=1
无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量
七种类型
洛必达法则
通过求导使得分母的阶数降低直至常数(0阶)
使得易于不断求导
方法：等价无穷小量替换、四则运算
1. 0 0 \frac{0}{0} 00型未定式
lim
x
→
0
x
−
tan
x
1
−
1
−
2
x
3
=
lim
x
→
0
x
−
tan
x
x
3
=
lim
x
→
0
1
−
sec
2
x
3
x
2
=
lim
x
→
0
−
tan
2
x
3
x
2
=
lim
x
→
0
−
x
2
3
x
2
=
−
1
3
\begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{x-\tan x}{1-\sqrt{ 1-2x^3 }} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{x-\tan x}{x^3} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{1-\sec^2x}{3x^2} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{-\tan^2x}{3x^2} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{-x^2}{3x^2} \\ =-\frac{1}{3} \end{array}
limx→01−1−2x3x−tanx=limx→0x3x−tanx=limx→03x21−sec2x=limx→03x2−tan2x=limx→03x2−x2=−31
例：等替和四则
lim
x
→
0
x
−
arcsin
x
arctan
3
x
(
cos
x
+
2
)
1.
=
lim
x
→
0
x
−
arcsin
x
x
3
(
cos
x
+
2
)
=
lim
x
→
0
1
−
1
1
−
x
2
3
x
2
(
cos
x
+
2
)
+
x
3
(
−
sin
x
)
=
lim
x
→
0
−
1
2
x
2
3
x
2
(
cos
x
+
2
)
+
x
3
(
−
sin
x
)
=
lim
x
→
0
−
1
2
3
(
cos
x
+
2
)
+
x
(
−
sin
x
)
=
−
1
18
2.
=
lim
x
→
0
x
−
arcsin
x
x
3
lim
x
→
0
1
cos
x
+
2
=
1
3
lim
x
→
0
x
−
arcsin
x
x
3
=
1
3
lim
x
→
0
1
−
1
1
−
x
2
3
x
2
=
1
3
lim
x
→
0
−
1
2
x
2
3
x
2
=
−
1
18
3.
=
lim
x
→
0
x
−
arcsin
x
3
arctan
3
x
\begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{x-\arcsin x}{\arctan^3x(\cos x+2)} \\ 1.\qquad=\lim_{ x \to 0 } \frac{x-\arcsin x}{x^3(\cos x+2)} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{1-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}}{3x^2(\cos x+2)+x^3(-\sin x)} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{-\frac{1}{2}x^2}{3x^2(\cos x+2)+x^3(-\sin x)} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{-\frac{1}{2}}{3(\cos x+2)+x(-\sin x)} \\ =-\frac{1}{18} \\ 2.\qquad=\lim_{ x \to 0 } \frac{x-\arcsin x}{x^3 }\lim_{ x \to 0 } \frac{1}{\cos x+2} \\ =\frac{1}{3}\lim_{ x \to 0 } \frac{x-\arcsin x}{x^3} \\ =\frac{1}{3}\lim_{ x \to 0 } \frac{1-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2} }}{3x^2} \\ =\frac{1}{3}\lim_{ x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{3x^2} \\ =- \frac{1}{18} \\ 3.\qquad =\lim_{ x \to 0 } \frac{x-\arcsin x}{3\arctan^3x} \end{array}
limx→0arctan3x(cosx+2)x−arcsinx1.=limx→0x3(cosx+2)x−arcsinx=limx→03x2(cosx+2)+x3(−sinx)1−1−x21=limx→03x2(cosx+2)+x3(−sinx)−21x2=limx→03(cosx+2)+x(−sinx)−21=−1812.=limx→0x3x−arcsinxlimx→0cosx+21=31limx→0x3x−arcsinx=31limx→03x21−1−x21=31limx→03x2−21x2=−1813.=limx→03arctan3xx−arcsinx
若
lim
x
→
□
g
(
x
)
=
A
\lim_{ x \to \Box }g(x)=A
limx→□g(x)=A，则
lim
x
→
□
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
□
f
(
x
)
+
lim
x
→
□
g
(
x
)
=
lim
x
→
□
f
(
x
)
+
A
\lim_{ x \to \Box }(f(x)+g(x))=\lim_{ x \to \Box }f(x)+\lim_{ x \to \Box }g(x)=\lim_{ x \to \Box }f(x)+A
limx→□(f(x)+g(x))=limx→□f(x)+limx→□g(x)=limx→□f(x)+A
若
lim
x
→
□
g
(
x
)
=
A
≠
0
\lim_{ x \to \Box }g(x)=A\ne 0
limx→□g(x)=A=0，则
lim
x
→
□
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
□
f
(
x
)
⋅
lim
x
→
□
g
(
x
)
=
A
⋅
lim
x
→
□
f
(
x
)
\lim_{ x \to \Box }f(x)g(x)=\lim_{ x \to \Box }f(x)\cdot\lim_{ x \to \Box }g(x)=A\cdot\lim_{ x \to \Box }f(x)
limx→□f(x)g(x)=limx→□f(x)⋅limx→□g(x)=A⋅limx→□f(x)
洛必达步骤
- 检测类型
- 化简，化简的方法有
- 等价无穷小替换
- 四则运算
- 上下求导，整理，回到步骤1
2. ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞型未定式
例
lim
x
→
∞
x
100
e
x
=
lim
x
→
∞
100
⋅
x
99
e
x
=
⋯
=
lim
x
→
∞
100
⋅
99
⋯
⋅
1
e
x
=
0
\begin{array}{} \lim_{ x \to \infty } \frac{x^{100}}{e^x} \\ =\lim_{ x \to \infty } \frac{100\cdot x^{99}}{e^x} \\ =\dots =\lim_{ x \to \infty } \frac{100\cdot 99 \dots \cdot1}{e^x} \\ =0 \end{array}
limx→∞exx100=limx→∞ex100⋅x99=⋯=limx→∞ex100⋅99⋯⋅1=0
指
≫
\gg
≫幂
≫
\gg
≫对
e
x
≫
x
a
≫
(
ln
x
)
b
e^{x}\gg x^a\gg(\ln x)^b
ex≫xa≫(lnx)b
x
=
e
ln
x
≫
(
ln
x
)
a
x=e^{\ln x}\gg(\ln x)^a
x=elnx≫(lnx)a
- 抓大头的核心是抓主要部分，先抓类型(指远大于幂远大于对)，再抓高次
- 指数函数是否大头，关键在于指数函数是否趋于无穷
- 对
∞
∞
\frac{\infty}{\infty}
∞∞型的极限要做到能够口算
{ a > 1 , a + ∞ = + ∞ 0 < a < 1 , a − ∞ = + ∞ \left\{\begin{matrix} a>1,\qquad a^{+\infty}=+\infty \\ 0<a<1,\qquad a^{-\infty}=+\infty \end{matrix}\right. {a>1,a+∞=+∞0<a<1,a−∞=+∞
3. 0 ⋅ ∞ 0\cdot \infty 0⋅∞型与 ∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞型未定式
例
lim
x
→
0
+
x
⋅
ln
x
=
lim
x
→
0
+
ln
x
1
x
=
lim
x
→
0
+
1
x
−
1
x
2
=
lim
x
→
0
+
−
x
=
0
\begin{array}{} \lim_{ x \to 0^+ } x\cdot \ln x \\ =\lim_{ x \to 0^+ } \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \\ =\lim_{ x \to 0^+ } \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \\ =\lim_{ x \to 0^+ } -x \\ =0 \end{array}
limx→0+x⋅lnx=limx→0+x1lnx=limx→0+−x21x1=limx→0+−x=0
- 借助无穷小量和无穷大量的关系，可以将 0 ⋅ ∞ 0\cdot \infty 0⋅∞化为 0 1 ∞ \frac{0}{\frac{1}{\infty}} ∞10或 ∞ 1 0 \frac{\infty}{\frac{1}{0}} 01∞，原则是使得导数更简单
- ∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞型，如果有分母，一般利用通分转化为 0 0 \frac{0}{0} 00型
- 没有分母时，一般利用倒代换，将 x x x替换成 1 t \frac{1}{t} t1，构造分母，再进行通分
- 出现根式，通过根式有理化转化为 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞型
4. 幂指函数的极限
-
0
0
0^0
00或
∞
0
\infty^0
∞0
对数恒等变形 -
1
∞
1^{\infty}
1∞
对数恒等变形
假设 lim x → □ u ( x ) v ( x ) \lim_{ x \to \Box } u(x)^{v(x)} limx→□u(x)v(x)为 1 ∞ 1^\infty 1∞型，也即 lim x → □ u ( x ) = 1 \lim_{ x \to \Box }u(x)=1 limx→□u(x)=1， lim x → □ v ( x ) = ∞ \lim_{ x \to \Box }v(x)=\infty limx→□v(x)=∞，
则可以使用公式
lim x → □ u ( x ) v ( x ) = e lim x → □ ( u ( x ) − 1 ) v ( x ) \lim_{ x \to \Box }u(x)^{v(x)}=e^{\lim_{ x \to \Box }(u(x)-1)v(x) } x→□limu(x)v(x)=elimx→□(u(x)−1)v(x)
如果极限式的某一部分为幂指函数，而不是整个极限式为幂指函数，无论该幂指函数时什么类型的极限，一律通过对数恒等变形进行变形
4. 泰勒公式
设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)有直至
n
n
n阶导数，当
x
→
x
0
x\to x_{0}
x→x0时，泰勒公式：
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
f
′
′
(
x
0
)
2
!
(
x
−
x
0
)
2
+
⋯
+
f
n
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
+
o
(
(
x
−
x
0
)
n
)
\begin{array}{} f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2+ \\ \dots+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n+o((x-x_{0})^n) \end{array}
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!fn(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n)
意义：把任何一个函数，简化为了幂函数与
o
(
(
x
−
x
0
)
n
)
o((x-x_{0})^n)
o((x−x0)n)之和
特殊地，当
x
0
=
0
x_{0}=0
x0=0时，麦克劳林公式：
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
x
+
f
′
′
(
0
)
2
!
x
2
+
⋯
+
f
n
(
0
)
n
!
x
n
+
o
(
x
n
)
\begin{array}{} f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+ \\ \dots+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^n+o(x^n) \end{array}
f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!fn(0)xn+o(xn)
例
lim
x
→
0
e
x
−
1
−
x
x
2
=
lim
x
→
0
1
+
x
+
x
2
2
+
o
(
x
2
)
−
1
−
x
x
2
=
lim
x
→
0
x
2
2
+
o
(
x
2
)
x
2
=
lim
x
→
0
x
2
2
x
2
+
lim
x
→
0
o
(
x
2
)
x
2
=
1
2
+
0
=
1
2
\begin{array}{} \lim_{ x \to 0 } \frac{e^x-1-x}{x^2} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-1-x}{x^2} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2} \\ =\lim_{ x \to 0 } \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2}+\lim_{ x \to 0 } \frac{o(x^2)}{x^2} \\ =\frac{1}{2}+0 \\ =\frac{1}{2} \end{array}
limx→0x2ex−1−x=limx→0x21+x+2x2+o(x2)−1−x=limx→0x22x2+o(x2)=limx→0x22x2+limx→0x2o(x2)=21+0=21
常见的麦克劳林公式
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
o
(
x
2
)
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)
ex=1+x+2!x2+o(x2)
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
o
(
x
2
)
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)
ln(1+x)=x−2x2+o(x2)
(
1
+
x
)
a
=
1
+
a
x
+
a
(
a
−
1
)
2
!
x
2
+
o
(
x
2
)
(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+o(x^2)
(1+x)a=1+ax+2!a(a−1)x2+o(x2)
cos
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
o
(
x
4
)
\cos x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)
cosx=1+2!x2+4!x4+o(x4)
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
o
(
x
3
)
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)
sinx=x−3!x3+o(x3)
arcsin
x
=
x
+
x
3
6
+
o
(
x
3
)
\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)
arcsinx=x+6x3+o(x3)
tan
x
=
x
+
x
3
3
+
o
(
x
3
)
\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)
tanx=x+3x3+o(x3)
arctan
x
=
x
−
x
3
3
+
o
(
x
3
)
\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)
arctanx=x−3x3+o(x3)
泰勒公式步骤，展开，合并，替换
等价无穷小替换，低阶吸高阶
e
x
e^x
ex展开的时候，只需要展开到对应的阶数就可以了，上下同阶
如果式子里没有带次方的，就试，多退少补，直到有一个次方的系数不为零
泰勒公式广义化
将
x
x
x变为
□
\Box
□，当
□
→
0
\Box\to 0
□→0时
式子仍然成立
lim
x
→
0
x
2
−
sin
2
x
x
4
=
1
3
\lim_{ x \to 0 } \frac{x^2-\sin^2x}{x^4}=\frac{1}{3}
x→0limx4x2−sin2x=31
lim
x
→
0
x
−
sin
x
x
3
=
1
6
\lim_{ x \to 0 } \frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}
x→0limx3x−sinx=61
极限式中参数的讨论
根据极限的值，让求极限式中的参数
对已知极限值要计算极限式中的参数的问题，运用洛必达法则进行讨论是比较困难的，而运用泰勒公式比较方便、快捷
对抽象函数进行泰勒公式展开的关键是展开到第几项，一般来说，基本原则有两个
- 根据函数本身是几阶可导的，函数 n n n阶可导，则皮亚诺余项的泰勒公式就可以展开到第几项
- 保持上下同阶，分子和分母如果有一边能确定阶数，则另一边直接展开到相应的阶数即可
单侧极限
绝大多数极限式不需要考虑单侧极限
两种情况需要考虑
- 分段函数且分段点左右两侧表达式不同时，需要考虑单侧极限
- 极限中含有 e ∞ , arctan ∞ e^\infty,\arctan ^\infty e∞,arctan∞时，需要考虑单侧极限
数列极限的计算
方法
- 直接计算：将数列极限转换为函数极限来计算
- 数列 x n {x_{n}} xn收敛于 a a a等价于它的任一子数列也收敛且极限为 a a a
- 夹逼准则
- 单调有界收敛准则