数据结构----树

树

1.概念:

1.1 关于树的一些基本概念

2. 二叉树

树

1.概念:

树(Tree)是(n>=0)个节点的有限集合T，它满足两个条件：

有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点；

其余的节点可以分为m（m≥0）个互不相交的有限集合T1、T2、……、Tm，

其中每一个集合又是一棵树，并称为其根的子树（Subtree）。

特征：

一对多，每个节点最多有一个前驱，但可以有多个后继（根节点无前驱，叶节点无后继）

1.1 关于树的一些基本概念

(1)度数：一个节点的子树的个数(一个节点的子树的个数称为该节点的度数,3)

(2)树度数：树中节点的最大度数

(3)叶节点或终端节点: 度数为零的节点

(4)分支节点：度数不为零的节点(B一层)

(5)内部节点：除根节点以外的分支节点（B，C，D）

(6)节点层次: 根节点的层次为1，根节点子树的根为第2层，以此类推

(7)树的深度或高度: 树中所有节点层次的最大值（4）

2. 二叉树

2.1 概念

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个节点的有限集合，它或者是空集（n＝0），

或者是由一个根节点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树与普通有序树不同，二叉树严格区分左孩子和右孩子，即使只有一个子节点也要区分左右。

二叉树的树度数：2

2.2 二叉树性质（重点）

(1)二叉树第k（k>=1）层上的节点最多为2的k-1次幂个2(k-1)。

(2)深度为k（k>=1）的二叉树最多有2的k次幂-1个节点。//满二叉树的时候 2k-1

(3)在任意一棵二叉树中，树叶的数目比度数为2的节点的数目多一。

总节点数 = 度数0 + 度数1+ 度数2

n = n0 + n1 + n2

总节点数 = 所有子节点数+1

n = 1*n1 + 2*n2 + 1

n0 = n2 + 1

(1) 一棵二叉树有8个度为2的节点，5个度为1的节点，那么度为0的节点个数为 ( ) (网易)

A 不确定 B 7 C 8 D 9 E 6

2.3满二叉树、完全二叉树

(1) 满二叉树：深度为k（k>=1）时节点为2k - 1(2的k次幂-1)

（2）完全二叉树:只有最下面两层有度数小于2的节点，且最下面一层的叶节点集中在最左边的若干位置上。

2.4二叉树的顺序存储结构

（1）顺序存储结构 ：完全二叉树节点的编号方法是从上到下，从左到右，根节点为1号节点。

设完全二叉树的节点数为n

某节点编号为i

当i>1（不是根节点）时，有父节点，其编号为i/2;

当2*i<=n时，有左孩子，其编号为2*i ,否则没有左孩子，本身是叶节点;

当2*i+1<=n时，有右孩子，其编号为2*i+1 ,否则没有右孩子；

(2)节点编号

根节点编号 1

根节点左子节点编号： 2 即 2 * 1

根节点右子节点编号： 3 即 2 * 1 + 1

第n个节点

左子节点编号： 2 * n

右子节点编号： 2 * n + 1

有n个节点的完全二叉树可以用有n+1 个元素的数组进行顺序存储，节点号和数组下标一一对应，下标为零的元素不用。

利用以上特性，可以从下标获得节点的逻辑关系。不完全二叉树通过添加虚节点构成完全二叉树，然后用数组存储，这要浪费一些存储空间.（所以平常不用顺序存储）

2.5二叉树的遍历（重点）

前序：根、左、右

中序：左、根、右

后序：左、右、根

前序：ABCDEFGHK

中序：BDCAEHGKF

后序：DCBHKGFEA

Eg:

已知遍历结果如下，试画出对应的二叉树

前序： A B C E H F I J D G K

中序： A H E C I F J B D K G

2.6二叉树的链式存储

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef int datatype_tree;
typedef struct tree_node_t
{
    datatype_tree data;         // 数据域
    struct tree_node_t *lchild; // 左子left
    struct tree_node_t *rchild; // 右子right
} bitree_node_t, *bitree_list_t;
// 1.创建一棵树
bitree_list_t CreateBitree(int n, int i)
{
    // 1.创建一个根节点
    bitree_list_t r = (bitree_list_t)malloc(sizeof(bitree_node_t));
    if (r == NULL)
    {
        perror("r malloc err");
        return NULL;
    }
    // 2.初始化
    r->data = i;
    if (2 * i <= n) // 有左孩子
        r->lchild = CreateBitree(n, 2 * i);
    else
        r->lchild = NULL;
    if (2 * i + 1 <= n) // 有右孩子
        r->rchild = CreateBitree(n, 2 * i + 1);
    else
        r->rchild = NULL;
    return r;
}

// 2.遍历前序
void PreOrder(bitree_list_t r)
{
    if (r == NULL)
        return;
    printf("%d ", r->data); // 根
    if (r->lchild != NULL)  // 左
        PreOrder(r->lchild);
    if (r->rchild != NULL) // 右
        PreOrder(r->rchild);
}
// 中序
void InOrder(bitree_list_t r)
{
    if (r == NULL)
        return;
    if (r->lchild != NULL) // 左
        InOrder(r->lchild);

    printf("%d ", r->data); // 根

    if (r->rchild != NULL) // 右
        InOrder(r->rchild);
}
// 后序
void PostOrder(bitree_list_t r)
{
    if (r == NULL)
        return;
    if (r->lchild != NULL) // 左
        PostOrder(r->lchild);

    if (r->rchild != NULL) // 右
        PostOrder(r->rchild);

    printf("%d ", r->data); // 根
}
void delete(bitree_list_t r)
{
    if (r == NULL)
        return;
    if(r->lchild != NULL)
        delete(r->lchild);
    if(r->rchild != NULL)
        delete(r->rchild);
    free(r);
    r = NULL;
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    bitree_list_t r = CreateBitree(5,1);
    printf("前序遍历:");
    PreOrder(r);
    printf("\n中序遍历:");
    InOrder(r);
    printf("\n后序遍历:");
    PostOrder(r);
    printf("\n");
    delete(r);
    
    return 0;
}