高等数学笔记-乐经良老师
第八章 多元函数微分学（Ⅰ）
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集
01 邻域
- 点到点的距离
- 在二维空间中，点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0) 与 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0) 的距离记为 d ( P , P 0 ) = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 d\left(P, P_{0}\right)=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}} d(P,P0)=(x−x0)2+(y−y0)2 .
-
δ
\delta
δ 邻域
- 集合 U ( P 0 , δ ) = { P ( x , y ) ∣ d ( P , P 0 ) < δ } U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P(x, y) \mid d\left(P, P_{0}\right)<\delta\right\} U(P0,δ)={P(x,y)∣d(P,P0)<δ} 称为 P 0 P_0 P0 的 δ \delta δ 邻域 .
- 不强调半径时邻域为 U ( P 0 ) U(P_{0}) U(P0) .
- 去心
δ
\delta
δ 邻域
- 集合 U ∘ ( P 0 , P ) = { P ( x , y ) ∣ 0 < d ( P , P 0 ) < δ } \stackrel{\circ}{U}\left(P_{0}, P\right)=\left\{P(x, y) \mid 0<d\left(P, P_{0}\right)<\delta\right\} U∘(P0,P)={P(x,y)∣0<d(P,P0)<δ} 称为 P 0 P_0 P0 的去心 δ \delta δ 邻域 .
02 开集与区域
-
E E E 是平面 R 2 R^2 R2 中的集合， P 0 P_0 P0 是平面中的点.
-
内点与边界点
-
内点
若 ∃ δ > 0 \exist \delta>0 ∃δ>0，使 U ( P 0 , δ ) ⊂ E U(P_{0},\delta) \subset E U(P0,δ)⊂E，称 P 0 P_0 P0 为 E E E 的内点.
-
边界点
若对 ∀ δ \forall \delta ∀δ，在 U ( P 0 , δ ) U(P_{0},\delta) U(P0,δ) 内既有属于 E E E 的点，又有不属于 E E E 的点，称 P 0 P_0 P0 为 E E E 的边界点.
-
-
开集与闭集
-
开集
若集合 E E E 中每个点都是 E E E 的内点，称 E E E 为开集 .
-
闭集
开集 E E E 的余集 R 2 − E R^2-E R2−E 称为闭集 .
-
-
连通与区域
-
连通
若集合 E E E 中任意两点都能用完全属于 E E E 的折线连接起来，则称 E E E 是连通的.
-
区域
连通的开集称为区域.
-
-
边界与闭区域
-
边界
E E E 的所有边界点组成的集合称为 E E E 的边界.
-
闭区域
区域连同其边界称为闭区域 .
-
-
有界
若存在 R R R，集合 E ⊂ { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 < R 2 } E \subset\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<R^{2}\right\} E⊂{(x,y)∣x2+y2<R2}，称 E E E 有界.
二、多元函数
-
多元函数的概念
-
多元函数
简单说，函数依赖的自变量多于一个称为多元函数.
-
二元函数
设 D D D 是平面的非空集， f f f 是 D → R D \rightarrow \mathbf{R} D→R 的映射，则称 f f f 是定义在 D D D 上的二元函数，记为 f : D → R f: D \rightarrow \mathbf{R} f:D→R 或者 z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D z=f(x, y), \quad(x, y) \in D z=f(x,y),(x,y)∈D .
-
二元函数两要素
与一元情况类似，二元函数包括两个要素：定义域、对应关系。
-
-
多元函数图形（图象）
- 集合 { ( x , y , z ) ∣ z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D } \{(x, y, z) \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\} {(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D} 所对应几何图形称为二元函数的图形.
- 一般而言是 R 3 \mathrm{R}^{3} R3 中 的一个曲面.
- 曲面在
x
y
x y
xy 面上的投影区域就是函数的定义域
D
D
D .
-
第二节 多元函数的极限与连续
一、二元函数的极限
01 二元函数极限的概念
设二元函数定义在 P 0 P_{0} P0 点的去心邻域，若存在数 A A A， ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 ∀ε>0,∃δ>0,
使得当 0 < d ( P , P 0 ) < δ 0<d\left(P, P_{0}\right)<\delta 0<d(P,P0)<δ 时， ∣ f ( P ) − A ∣ = ∣ f ( x , y ) − A ∣ < ε |f(P)-A|=|f(x, y)-A|<\varepsilon ∣f(P)−A∣=∣f(x,y)−A∣<ε，
则称当 P → P 0 P \rightarrow P_{0} P→P0 或 ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) (x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right) (x,y)→(x0,y0) 时, f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 的极限为 A A A，
02 二元函数极限与一元函数极限的比较
- 类似点
- ( x , y ) (x, y) (x,y) 趋近点 ( x 0 , y 0 ) \left(x_{0}, y_{0}\right) (x0,y0) 时函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 变化的定量趋势
- 计算多元函数极限时，等价代换、四则运算、夹逼准则等性质和定理仍成立
- 计算多元函数极限时，变量代换不能用，但极坐标变换可以用
- 区别点
- 平面上 P → P 0 P \rightarrow P_0 P→P0 有无穷多方向，且采取的路径也是任意的，既可取直线，也可取曲线 ( 任意趋近 ) ；
- 无论从何种方向或沿何种路径，只要 P P P 点与 P 0 P_0 P0 的距离充分小，都必须有 ∣ f ( P ) − A ∣ \mid f(P)-A \mid ∣f(P)−A∣ 充分小。
二、二元函数的连续性
01 二元函数连续性的概念
-
连续与连续点
若二元函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 满足 lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim \limits_{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right) (x,y)→(x0,y0)limf(x,y)=f(x0,y0)，则称函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 ( x 0 , y 0 ) \left(x_{0}, y_{0}\right) (x0,y0) 处连续，也称 ( x 0 , y 0 ) \left(x_{0}, y_{0}\right) (x0,y0) 是 f f f 的连续点.
-
间断
若不满足连续的条件（即不连续），则称为间断.
-
连续函数
若二元函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在平面区域 D D D 上每一点都连续，则称 f f f 在区域 D D D 上连续，或称 f f f 是 D D D 上的连续函数，记为 f ∈ C ( D ) f \in C(D) f∈C(D).
02 二元函数连续性的运算
- 二元连续函数的和差积商仍为连续函数，其复合函数是连续函数。
- 注意取商时分母不为零。
03 二元初等函数
- 二元初等函数在其定义域内都是连续的。
- 间断点在无定义的孤立点或者线处。
04 连续的全增量表示
- 全增量： Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)
- 连续的全增量表示： lim ( Δ x , Δ y ) → ( 0 , 0 ) Δ z = 0 \lim \limits_{(\Delta x,\Delta y) \rightarrow (0,0)} \Delta z=0 (Δx,Δy)→(0,0)limΔz=0
05 二元函数连续的表述
- 区域内连续：区域内每一点连续。
- 闭区域内连续：边界点连续。
03 闭区域上的二元连续函数的性质
- 与一元情况类似
- 有界性：闭区间的二元连续函数一定有界
- 最值性（最值可取）
- 介值性（介值定理）
第三节 偏导数
一、偏导数的概念
01 偏导数
对二元函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) \left(x_{0}, y_{0}\right) (x0,y0) 给 x x x 以增量 Δ x \Delta x Δx，
相应地函数有增量 (偏增量) Δ x z = f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta_{x} z=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right) Δxz=f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)，
函数 f f f 在点 ( x 0 , y 0 ) \left(x_{0}, y_{0}\right) (x0,y0) 处对 x x x 的偏导数
f x ( x 0 , y 0 ) = lim Δ x → 0 Δ x z Δ x = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_{x} z}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x} fx(x0,y0)=Δx→0limΔxΔxz=Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)，
偏导数也可记为 ∂ f ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)} ∂x∂f (x0,y0) .
02 偏导函数
函数 f f f 在区域 D D D 上每一点都存在偏导数，则这些偏导数是 D D D 上的二元函数，称为偏导函数，记为 f x ( x , y ) , f y ( x , y ) 或 ∂ f ∂ x ( x , y ) , ∂ f ∂ y ( x , y ) f_{x}(x, y), f_{y}(x, y) \text { 或 } \frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) fx(x,y),fy(x,y) 或 ∂x∂f(x,y),∂y∂f(x,y) .
二、偏导数的说明
- 对变量 y y y 的偏导数类似。
- 多元函数的偏导数是其对某一自变量的变化率。
三、二元函数偏导数求法
把 y y y 固定在 y 0 y_{0} y0，求一元函数 f ( x 0 , y 0 ) f\left(x_{0}, y_{0}\right) f(x0,y0) 在 x 0 x_{0} x0 处的导数，就得到偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) fx(x0,y0)，同样方法可以计算偏导数 f y ( x 0 , y 0 ) f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) fy(x0,y0).
四、连续与可偏导的关系
01 可偏导未必连续
f ( x , y ) = { x y x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. f(x,y)={x2+y2xy0(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0) 该函数在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 的情况
02 连续未必可偏导
f ( x , y ) = ∣ x ∣ + ∣ y ∣ f(x, y)=|x|+|y| f(x,y)=∣x∣+∣y∣ 在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 的情况
五、二元函数偏导数的几何意义
01 曲面与平面的交线
曲面 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y) 与平面 y = y 0 y=y_{0} y=y0 的交线 { z = f ( x , y ) y = y 0 ⇒ z = f ( x , y 0 ) \begin{cases}z=f(x, y) \\ y=y_{0} \end{cases} \Rightarrow z=f\left(x, y_{0}\right) {z=f(x,y)y=y0⇒z=f(x,y0) (平面 y = y 0 y=y_0 y=y0上的曲线)
02 切线关于坐标轴的斜率
f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx(x0,y0) 是上述曲线在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0) 点处的切线关于 x x x 轴的斜率
六、高阶偏导数
01 高阶偏导数的概念
(1) 二阶偏导数
f
(
x
,
y
)
f(x, y)
f(x,y) 在
(
x
0
,
y
0
)
\left(x_{0}, y_{0}\right)
(x0,y0) 的邻域内的偏导数
f
x
(
x
,
y
)
,
f
y
(
x
,
y
)
f_{\mathrm{x}}(x, y),f_{y}(x, y)
fx(x,y),fy(x,y) 的偏导数称为
f
f
f 在
(
x
0
,
y
0
)
\left(x_{0}, y_{0}\right)
(x0,y0) 点处的二阶偏导数
f
x
x
=
∂
2
f
∂
x
2
=
∂
∂
x
(
∂
f
∂
x
)
f
x
y
=
∂
2
f
∂
x
∂
y
=
∂
∂
y
(
∂
f
∂
x
)
f
y
x
=
∂
2
f
∂
y
∂
x
=
∂
∂
x
(
∂
f
∂
y
)
f
y
y
=
∂
2
f
∂
y
2
=
∂
∂
y
(
∂
f
∂
y
)
\begin{aligned} f_{x x} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) & f_{x y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \\ f_{y x} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) & f_{y y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) \end{aligned}
fxxfyx=∂x2∂2f=∂x∂(∂x∂f)=∂y∂x∂2f=∂x∂(∂y∂f)fxy=∂x∂y∂2f=∂y∂(∂x∂f)fyy=∂y2∂2f=∂y∂(∂y∂f)
(2) 三阶偏导数
类似地，二阶偏导数的偏导数为三阶偏导数，例如 f x x y = ∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y = ∂ ∂ y ( ∂ 2 f ∂ x 2 ) f_{x x y}=\frac{\partial^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right) fxxy=∂x2∂y∂3f=∂y∂(∂x2∂2f) .
02 混合偏导数
- 对于函数的高阶偏导数，对每一阶偏导数求导时，并不只针对同一个自变量，这样的偏导数称为混合偏导数。
- 混合偏导数并不总与求导次序无关。
- 混合偏导数与求导次序无关的充分条件（二元函数二阶混合偏导数相等定理）
- 若函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 的两个二阶混合偏导数在点 ( x , y ) (x, y) (x,y) 连续，则 f x y ( x , y ) = f y x ( y , x ) f_{x y}(x, y)=f_{y x}(y, x) fxy(x,y)=fyx(y,x) .
第四节 全微分
一、全微分的概念
00 回顾一元函数
若 Δ f = A ⋅ Δ x + o ( Δ x ) \Delta f=A \cdot \Delta x+o(\Delta x) Δf=A⋅Δx+o(Δx)，微分 d f = A ⋅ Δ x d f=A \cdot \Delta x df=A⋅Δx 是增量 Δ f \Delta f Δf 在 x 0 x_{0} x0 的线性主部。
01 全增量
对函数 z = f ( x , y ) \mathrm{z}=f(x, y) z=f(x,y)，称 Δ z = Δ f = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=\Delta f=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right) Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0) 为函数 z z z 的全增量。
02 可微
对函数 z = f ( x , y ) \mathrm{z}=f(x, y) z=f(x,y)，若全增量 Δ z = Δ f = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=\Delta f=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right) Δz=Δf=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)
可写为 Δ z = A ⋅ Δ x + B ⋅ Δ y + o ( ρ ) \Delta z=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y+o(\rho) Δz=A⋅Δx+B⋅Δy+o(ρ) （ A A A， B B B 为常数， ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} ρ=(Δx)2+(Δy)2），
则称 f f f 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) P0(x0,y0) 可微。
03 全微分
而其中 A ⋅ Δ x + B ⋅ Δ y A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y A⋅Δx+B⋅Δy 为函数 f f f 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) P0(x0,y0) 点处的全微分，
记为 d z ∣ ( x 0 , y 0 ) = d f ∣ ( x 0 , y 0 ) = A ⋅ Δ x + B ⋅ Δ y \left.d z\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left.d f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y dz∣(x0,y0)=df∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy （增量 Δ f \Delta f Δf 的线性主部）
04 可微函数
若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 在区域 D D D 每点处都可微，则称 f f f 是 D D D 内的可微函数。
二、可微与连续及可偏导的关系
01 可微必连续
02 可微必可偏导
函数 f f f 有 d f ∣ ( x 0 , y 0 ) = A ⋅ Δ x + B ⋅ Δ y ⇒ f x ( x 0 , y 0 ) = A , f y ( x 0 , y 0 ) = B \left.d f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y \Rightarrow f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=A, f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=B df∣(x0,y0)=A⋅Δx+B⋅Δy⇒fx(x0,y0)=A,fy(x0,y0)=B
由 d x = Δ x , d y = Δ y d x=\Delta x, d y=\Delta y dx=Δx,dy=Δy 得到 d z = f x ( x , y ) d x + f y ( x , y ) d y d z=f_{x}(x, y) d x+f_{y}(x, y) d y dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy
03 有连续偏导数则可微
偏导数连续 ⇒ \Rightarrow ⇒ 可微 ⇒ { 连续 ↑ × × ↓ 可偏导 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\text { 连续 } \\ \ \stackrel{×}{\uparrow} \stackrel{\downarrow}{×} \\ \text { 可偏导 }\end{array}\right. ⇒⎩ ⎨ ⎧ 连续 ↑××↓ 可偏导
三、全微分的几何意义
微分 A ⋅ Δ x + B ⋅ Δ y A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y A⋅Δx+B⋅Δy 是 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right) Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0) 的线性主部，这意味着可用 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right) A(x−x0)+B(y−y0) 近似 Δ z = f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta z=f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right) Δz=f(x,y)−f(x0,y0) .
从几何上看，微分就是在就是在点 M 0 ( x 0 , y 0 ) M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) M0(x0,y0) 的附近存在近似曲面的平面， z − z 0 = A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) z-z_{0}=A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right) z−z0=A(x−x0)+B(y−y0) 实际上是曲面的切平面。
四、全微分的应用
近似 Δ z ≈ d z = f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y \Delta z \approx d z=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta x+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \Delta y Δz≈dz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy
全微分可以用于近似计算
最后
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