高等数学笔记-乐经良老师
第八章 多元函数微分学（Ⅱ）
第五节 多元复合函数的微分法
一、复合函数的偏导数
链法则
函数 u = u ( x , y ) , v = v ( x , y ) u=u(x, y), v=v(x, y) u=u(x,y),v=v(x,y) 在 ( x , y ) (x,y) (x,y) 存在偏导数， z = f ( u , v ) \mathrm{z}=f(u, v) z=f(u,v) 在相应的 ( u , v ) (u, v) (u,v) 处可微，
则复合函数 z = f ( u ( x , y ) , v ( x , y ) ) z=f(u(x, y), v(x, y)) z=f(u(x,y),v(x,y))，存在偏导数
二、隐函数的偏导数
01 隐函数及其偏导数
设函数 F F F 在 ( x 0 , y 0 , z 0 ) \left(x_{0}, y_{0}, \mathrm{z}_{0}\right) (x0,y0,z0) 邻域内有连续偏导数，且 F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 , F z ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0\ , \ F_{z}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 F(x0,y0,z0)=0 , Fz(x0,y0)=0，
则方程 F ( x , y , z ) = 0 F(x, y, z)=0 F(x,y,z)=0 在 ( x 0 , y 0 , z 0 ) \left(x_{0}, y_{0}, \mathrm{z}_{0}\right) (x0,y0,z0) 邻域内可确定唯一的函数 z = f ( x , y ) \mathrm{z}=f(x, y) z=f(x,y)，
满足
F
(
x
,
y
,
f
(
x
,
y
)
)
≡
0
,
z
0
=
f
(
x
0
,
y
0
)
F(x, y, f(x, y)) \equiv 0\ , \ z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right)
F(x,y,f(x,y))≡0 , z0=f(x0,y0)，且有：
∂
z
∂
x
=
−
F
x
F
z
,
∂
z
∂
y
=
−
F
y
F
z
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}}
∂x∂z=−FzFx,∂y∂z=−FzFy
02 隐函数组及其偏导数
若函数 F ( x , y , u , v ) , G ( x , y , u , v ) F(x, y, u, v), G(x, y, u, v) F(x,y,u,v),G(x,y,u,v) 在点 P 0 ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right) P0(x0,y0,u0,v0) 某一邻域内有连续的偏导数，
且 F ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) = 0 F\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0 F(x0,y0,u0,v0)=0, G ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) = 0 G\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0 G(x0,y0,u0,v0)=0，
行列式 J = ∂ ( F , G ) ∂ ( u , v ) = ∣ ∂ F ∂ u ∂ F ∂ v ∂ G ∂ u ∂ G ∂ v ∣ J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right| J=∂(u,v)∂(F,G)= ∂u∂F∂u∂G∂v∂F∂v∂G 在点 P 0 P_{0} P0 不等于 0 ，
则
{
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
G
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
\left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.
{F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0 可唯一确定函数
u
=
u
(
x
,
y
)
,
v
=
v
(
x
,
y
)
u=u(x, y)\ ,\ v=v(x, y)
u=u(x,y) , v=v(x,y) 满足：
此方程组
{
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
G
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
及
{
u
0
=
u
(
x
0
,
v
0
)
v
0
=
v
(
x
0
,
v
0
)
此方程组\ \left\{\begin{array}{l}F(x, y, u, v)=0 \\ G(x, y, u, v)=0\end{array}\right.\ \ \ 及\ \left\{\begin{array}{l}u_{0}=u\left(x_{0}, v_{0}\right) \\ v_{0}=v\left(x_{0}, v_{0}\right)\end{array}\right.
此方程组 {F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0 及 {u0=u(x0,v0)v0=v(x0,v0)
且有连续偏导数：
∂
u
∂
x
=
−
1
J
∂
(
F
,
G
)
∂
(
x
,
v
)
=
−
∣
F
x
F
v
G
x
G
v
∣
∣
F
u
F
v
G
u
G
v
∣
∂
u
∂
y
=
−
1
J
∂
(
F
,
G
)
∂
(
y
,
v
)
=
−
∣
F
y
F
v
G
y
G
v
∣
∣
F
u
F
v
G
u
G
v
∣
\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} \quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{y} & F_{v} \\ G_{y} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|}
∂x∂u=−J1∂(x,v)∂(F,G)=−
FuGuFvGv
FxGxFvGv
∂y∂u=−J1∂(y,v)∂(F,G)=−
FuGuFvGv
FyGyFvGv
∂ v ∂ x = − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( u , x ) = − ∣ F u F x G u G x ∣ ∣ F u F v G u G v ∣ ∂ v ∂ y = − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( u , y ) = − ∣ F u F y G u G y ∣ ∣ F u F v G u G v ∣ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} \quad \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{y} \\ G_{u} & G_{y} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} ∂x∂v=−J1∂(u,x)∂(F,G)=− FuGuFvGv FuGuFxGx ∂y∂v=−J1∂(u,y)∂(F,G)=− FuGuFvGv FuGuFyGy
03 隐函数存在定理
隐函数的偏导数（同济表述）
(1) 隐函数存在定理01：
设函数 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 在点 P ( x 0 , y 0 ) P\left(x_{0}, y_{0}\right) P(x0,y0) 的某一邻域内具有连续偏导数，
且 F ( x 0 , y 0 ) = 0 , F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0\ ,\ F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 F(x0,y0)=0 , Fy(x0,y0)=0，则方程 F ( x , y ) = 0 F(x, y)=0 F(x,y)=0
在点 ( x 0 , y 0 ) \left(x_{0}, y_{0}\right) (x0,y0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，
它满足条件
y
0
=
y_{0}=
y0=
f
(
x
0
)
f\left(x_{0}\right)
f(x0)，并有：
d
y
d
x
=
−
F
x
F
y
\frac{d y}{d x}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}
dxdy=−FyFx
上述公式即为隐函数的求导公式。
(2) 隐函数存在定理02：
设函数 F ( x , y , z ) F(x, y, z) F(x,y,z) 在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) P(x0,y0,z0) 的某一邻域内具有连续偏㝵数，
且 F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 , F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0, F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \neq 0 F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)=0，则方程 F ( x , y , z ) = 0 F(x, y, z)=0 F(x,y,z)=0
在点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) (x0,y0,z0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z = z= z= f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)，
它满足条件
z
0
=
f
(
x
0
,
y
0
)
z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right)
z0=f(x0,y0)，并有：
∂
z
∂
x
=
−
F
z
F
x
,
∂
z
∂
y
=
−
F
y
F
i
.
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{z}}{F_{x}}\ \ ,\ \ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{i}} .
∂x∂z=−FxFz , ∂y∂z=−FiFy.
(3) 隐函数存在定理03：
设 F ( x , y , u , v ) , G ( x , y , u , v ) F(x, y, u, v) , G(x, y, u, v) F(x,y,u,v),G(x,y,u,v) 在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) P\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right) P(x0,y0,u0,v0) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，
又
F
(
x
0
,
y
0
,
u
0
,
v
0
)
=
0
,
G
(
x
0
,
y
0
,
u
0
,
v
0
)
=
0
F\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0\ ,\ G\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=0
F(x0,y0,u0,v0)=0 , G(x0,y0,u0,v0)=0，且偏导数所组成的函数行列式 (或称雅可比式)
J
=
∂
(
F
,
G
)
∂
(
u
,
v
)
=
∣
∂
F
∂
u
∂
F
∂
v
∂
G
∂
u
∂
G
∂
v
∣
J=\frac{\partial(F, G)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{array}\right|
J=∂(u,v)∂(F,G)=
∂u∂F∂u∂G∂v∂F∂v∂G
在点
P
(
x
0
,
y
0
,
u
0
,
v
0
)
P\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)
P(x0,y0,u0,v0) 不等于零，则方程组
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
,
G
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
F(x, y, u, v)=0\ ,\ G(x, y, u, v)=0
F(x,y,u,v)=0 , G(x,y,u,v)=0
在点 ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) \left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right) (x0,y0,u0,v0) 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数
u
=
u
(
x
,
y
)
,
v
=
v
(
x
,
y
)
u=u(x,y),v=v(x,y)
u=u(x,y),v=v(x,y)，它们满足条件
u
0
=
u
(
x
0
,
y
0
)
,
v
0
=
v
(
x
0
,
y
0
)
u_0=u(x_0,y_0),v_0=v(x_0,y_0)
u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0)，并有：
∂
u
∂
x
=
−
1
J
∂
(
F
,
G
)
∂
(
x
,
v
)
=
−
∣
F
x
F
v
G
x
G
v
∣
∣
F
u
F
v
G
u
G
v
∣
,
∂
v
∂
x
=
−
1
J
∂
(
F
,
G
)
∂
(
u
,
x
)
=
−
∣
F
u
F
x
G
u
G
x
∣
∣
F
u
F
v
G
u
G
v
∣
,
∂
u
∂
y
=
−
1
J
∂
(
F
,
G
)
∂
(
y
,
v
)
=
−
∣
F
y
F
v
G
y
G
v
∣
∣
F
u
F
v
G
u
G
v
∣
,
∂
v
∂
y
=
−
1
J
∂
(
F
,
G
)
∂
(
u
,
y
)
=
−
∣
F
u
F
y
G
u
G
y
∣
∣
F
u
F
v
G
u
G
v
∣
.
\begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{x} & F_{v} \\ G_{x} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{x} \\ G_{u} & G_{x} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{y} & F_{v} \\ G_{y} & G_{v} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|},\\ &\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{y} \\ G_{u} & G_{y} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll} F_{u} & F_{v} \\ G_{u} & G_{v} \end{array}\right|} . \end{aligned}
∂x∂u=−J1∂(x,v)∂(F,G)=−
FuGuFvGv
FxGxFvGv
,∂x∂v=−J1∂(u,x)∂(F,G)=−
FuGuFvGv
FuGuFxGx
,∂y∂u=−J1∂(y,v)∂(F,G)=−
FuGuFvGv
FyGyFvGv
,∂y∂v=−J1∂(u,y)∂(F,G)=−
FuGuFvGv
FuGuFyGy
.
三、一阶全微分形式不变性
01 一阶全微分形式的不变性
函数
z
=
f
(
u
,
v
)
z=f(u, v)
z=f(u,v) 的全微分
d
z
=
∂
f
∂
u
d
u
+
∂
f
∂
v
d
v
d z=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v
dz=∂u∂fdu+∂v∂fdv
若
u
,
v
u, v
u,v 又是
x
,
y
x, y
x,y 的可微函数
u
=
u
(
x
,
y
)
,
v
=
v
(
x
,
y
)
u=u(x, y), v=v(x, y)
u=u(x,y),v=v(x,y)，
d
u
=
∂
u
∂
x
d
x
+
∂
u
∂
y
d
y
,
d
v
=
∂
v
∂
x
d
x
+
∂
v
∂
y
d
y
d u=\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y\ \ ,\ \ d v=\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y
du=∂x∂udx+∂y∂udy , dv=∂x∂vdx+∂y∂vdy
复合函数
z
=
f
(
u
(
x
,
y
)
,
v
(
x
,
y
)
)
z=f(u(x, y), v(x, y))
z=f(u(x,y),v(x,y)) 的全微分为
d
z
=
(
∂
f
∂
u
⋅
∂
u
∂
x
+
∂
f
∂
v
⋅
∂
v
∂
x
)
d
x
+
(
∂
f
∂
u
⋅
∂
u
∂
y
+
∂
f
∂
v
⋅
∂
v
∂
y
)
d
y
=
∂
f
∂
u
(
∂
u
∂
x
d
x
+
∂
u
∂
y
d
y
)
+
∂
f
∂
v
(
∂
v
∂
x
d
x
+
∂
v
∂
y
d
y
)
=
∂
f
∂
u
d
u
+
∂
f
∂
v
d
v
\begin{aligned} d z &=\left(\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}\right) d x+\left(\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}\right) d y\\ & =\frac{\partial f}{\partial u}\left(\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y\right)+\frac{\partial f}{\partial v}\left(\frac{\partial v}{\partial x} d x+\frac{\partial v}{\partial y} d y\right)=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v \end{aligned}
dz=(∂u∂f⋅∂x∂u+∂v∂f⋅∂x∂v)dx+(∂u∂f⋅∂y∂u+∂v∂f⋅∂y∂v)dy=∂u∂f(∂x∂udx+∂y∂udy)+∂v∂f(∂x∂vdx+∂y∂vdy)=∂u∂fdu+∂v∂fdv
对
f
=
f
(
u
,
v
)
f=f(u, v)
f=f(u,v)，无论
u
,
v
u, v
u,v 是自变量或函数，均满足
d
f
=
∂
f
∂
u
d
u
+
∂
f
∂
v
d
v
d f=\frac{\partial f}{\partial u} d u+\frac{\partial f}{\partial v} d v
df=∂u∂fdu+∂v∂fdv
02 多元函数全微分运算法则
( 1 ) d ( u ± v ) = d u ± d v ( 2 ) d ( u v ) = u d v + v d u ( 3 ) d ( u v ) = v d u − u d v v 2 ( v ≠ 0 ) \begin{aligned} &(1)\ \ \ d(u \pm v)=d u \pm d v \\ &(2)\ \ \ d(u v)=u d v+v d u \\ &(3)\ \ \ d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v d u-u d v}{v^{2}} \quad(v \neq 0) \end{aligned} (1) d(u±v)=du±dv(2) d(uv)=udv+vdu(3) d(vu)=v2vdu−udv(v=0)
03 求隐函数一阶偏导的小技巧
在求隐函数（尤其是隐函数组）所有一阶偏导数时，利用微分形式不变性较简便
第六节 方向导数与梯度
一、方向导数
01 方向导数的定义
(1) 定义
非零向量
l
⃗
\vec{l}
l 的方向余弦为
cos
α
,
cos
β
\cos \alpha, \cos \beta
cosα,cosβ ，函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y) 沿
l
⃗
\vec{l}
l 的方向导数为
∂
z
∂
l
⃗
∣
(
x
0
,
y
0
)
=
lim
t
→
0
f
(
x
0
+
t
cos
α
,
y
0
+
t
cos
β
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
t
\left.\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+t \cos \alpha, y_{0}+t \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{t}
∂l∂z
(x0,y0)=t→0limtf(x0+tcosα,y0+tcosβ)−f(x0,y0)
(2) 意义
偏导数是函数在沿坐标轴方向上的变化率；
方向导数则是沿其他方向的变化率。
02 充分条件和计算公式
若
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y) 在
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_0(x_0,y_0)
P0(x0,y0) 可微，向量
l
⃗
\vec{l}
l 的方向余弦为
cos
α
,
cos
β
\cos \alpha,\cos \beta
cosα,cosβ，则在
P
0
P_0
P0 点存在方向导数
∂
z
∂
l
⃗
∣
(
x
0
,
y
0
)
=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
cos
α
+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
cos
β
\left.\frac{\partial z}{\partial \vec{l}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \alpha+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \cos \beta
∂l∂z
(x0,y0)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ
二、梯度
01 梯度的定义
函数
f
(
x
,
y
)
f(x, y)
f(x,y) 在点
P
0
(
x
,
y
)
P_{0}(x, y)
P0(x,y) 的梯度为
∇
f
∣
(
x
0
,
y
0
)
=
grad
f
∣
(
x
0
,
y
0
)
=
(
f
x
(
x
0
,
y
0
)
,
f
y
(
x
0
,
y
0
)
)
\left.\nabla f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)
∇f∣(x0,y0)=gradf∣(x0,y0)=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))
简记为 $\nabla f=\left(f_{x}, f_{y}\right) $ .（可推广至三维情况）
利用梯度的符号, 得到
∂
f
∂
l
⃗
=
(
f
x
(
x
0
,
y
0
)
,
f
y
(
x
0
,
y
0
)
)
⋅
l
0
⃗
=
∇
f
⋅
l
0
→
\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)\cdot \vec{l^0}=\nabla f \cdot \stackrel{\rightarrow}{l^{0}}
∂l∂f=(fx(x0,y0),fy(x0,y0))⋅l0=∇f⋅l0→
当
(
∇
f
,
l
⃗
^
)
=
0
(\nabla \hat{f, \vec{l}})=0
(∇f,l^)=0 (即
∇
f
\nabla f
∇f 与
l
→
\stackrel{\rightarrow}{l}
l→ 夹角为0) 时，方向导数
∂
f
∂
l
⃗
\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}
∂l∂f 取得最大值
∣
∇
f
∣
|\nabla f|
∣∇f∣.
02 梯度的意义
- 梯度的方向是方向导数取最大值时的方向；
- 梯度的方向也是函数变化率最大的方向；
- 梯度的模是方向导数的最大值。
03 梯度的运算法则
- 运算符号
- 运算符号 ∇ \nabla ∇ ——梯度算子（一种运算符）
- ∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) , ∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) \nabla=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\ ,\ \nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}) ∇=(∂x∂,∂y∂,∂z∂) , ∇f=(∂x∂f,∂y∂f,∂z∂f)
- 运算法则
- ∇ ( c 1 u + c 2 v ) = c 1 ∇ u + c 2 ∇ v \nabla\left(c_{1} u+c_{2} v\right)=c_{1} \nabla u+c_{2} \nabla v ∇(c1u+c2v)=c1∇u+c2∇v （ c 1 , c 2 c_1,c_2 c1,c2 是常数）
- ∇ ( u v ) = v ∇ u + u ∇ v , ∇ ( u v ) = v ∇ u − u ∇ v v 2 \nabla(u v)=v \nabla u+u \nabla v \ \ , \ \ \nabla\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v \nabla u-u \nabla v}{v^{2}} ∇(uv)=v∇u+u∇v , ∇(vu)=v2v∇u−u∇v
- ∇ ( f ( u ) ) = f ′ ( u ) ∇ u , ∇ ( g ( u , v ) ) = g u ∇ u + g v ∇ v \nabla(f(u))=f^{\prime}(u) \nabla u \ \ , \ \ \nabla(g(u, v))=g_{u} \nabla u+g_{v} \nabla v ∇(f(u))=f′(u)∇u , ∇(g(u,v))=gu∇u+gv∇v
04 梯度的物理意义
当 u u u 是一个物理量时， ∇ u \nabla u ∇u 是它的梯度场。它不依赖坐标系的选择。
例如 u u u 是电位时 u = q 4 π ε r u=\frac{q}{4 \pi \varepsilon r} u=4πεrq 那么 ∇ u = − q 4 π ε r ∣ r ∣ 3 \nabla u=-\frac{q}{4 \pi \varepsilon} \frac{r}{|r|^{3}} ∇u=−4πεq∣r∣3r 给出了电场强度。
（其中 r = ( x , y , z ) r=(x, y, z) r=(x,y,z)， ∣ r ∣ |r| ∣r∣ 是它的模）
第七节 多元微分学在几何上的应用
一、空间曲线的切线及法平面
01 定义
(1) 切线
设 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M ( x , y , z ) M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M(x, y, z) M0(x0,y0,z0),M(x,y,z) 是空间曲线 Γ \Gamma Γ 上的点，若当
点 M M M 沿曲线趋于 M 0 M_{0} M0 时，割线 M 0 M M_{0} M M0M 趋向极限位置为直线 M 0 T M_{0} T M0T，
称此直线为曲线 Γ \Gamma Γ 在点 M 0 M_{0} M0 处的切线。
(2) 法平面
过点 M 0 M_{0} M0 与切线垂直的平面称为曲线的法平面。
02 方程
(1) 空间曲线的参数方程
设空间曲线 Γ \Gamma Γ 的参数方程 x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) x=x(t), y=y(t), z=z(t) x=x(t),y=y(t),z=z(t)，
(2) 割线的方向向量
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , M ( x , y , z ) M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), M(x, y, z) M0(x0,y0,z0),M(x,y,z) 分别对应参数 t t t 为 t 0 , t 0 + Δ t t_{0}, t_{0}+\Delta t t0,t0+Δt ，
割线 M 0 M M_{0} M M0M 的方向向量 ( Δ x , Δ y , Δ z ) / / ( Δ x Δ t , Δ y Δ t , Δ z Δ t ) (\Delta x, \Delta y, \Delta z) / /\left(\frac{\Delta x}{\Delta t}, \frac{\Delta y}{\Delta t}, \frac{\Delta z}{\Delta t}\right) (Δx,Δy,Δz)//(ΔtΔx,ΔtΔy,ΔtΔz)
(3) 曲线的切向量
取极限导出 Γ \Gamma Γ 的切向量 τ ⃗ = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) ) \vec{\tau}=\left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) τ=(x′(t0),y′(t0),z′(t0)).
注意，由 ( d x , d y , d z ) = ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) , z ′ ( t ) ) d t (d x, d y, d z)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) d t (dx,dy,dz)=(x′(t),y′(t),z′(t))dt ⇒ \Rightarrow ⇒ ( d x , d y , d z ) (d x, d y, d z) (dx,dy,dz) 也是曲线的切向量
(4) 切线方程
曲线
Γ
\Gamma
Γ :
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
,
z
=
z
(
t
)
x=x(t), y=y(t), z=z(t)
x=x(t),y=y(t),z=z(t) 在点
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)
M0(x0,y0,z0) 处的切线方程
x
−
x
0
x
′
(
t
0
)
=
y
−
y
0
y
′
(
t
0
)
=
z
−
z
0
z
′
(
t
0
)
\frac{x-x_{0}}{x^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{y^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{z^{\prime}\left(t_{0}\right)}
x′(t0)x−x0=y′(t0)y−y0=z′(t0)z−z0
(5) 法平面方程
在
M
0
M_{0}
M0 处的法平面方程
x
′
(
t
0
)
(
x
−
x
0
)
+
y
′
(
t
0
)
(
y
−
y
0
)
+
z
′
(
t
0
)
(
z
−
z
0
)
=
0
x^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+z^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0
x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0
二、曲面的切平面与法线
01 定义
(1) 切平面
由曲面 S S S 上所有过点 M 0 M_0 M0 的光滑曲线在 M 0 M_0 M0 的切线所组成的平面称为曲面 S S S 在 M 0 M_0 M0 处的切平面。
(2) 法线
过点 M 0 M_0 M0 与切平面垂直的直线称为曲面 S S S 在 M 0 M_0 M0 处的法线。
(3) 过曲线上某点的任意曲线
设曲面 S S S 的方程 F ( x , y , z ) = 0 , M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) F(x, y, z)=0, M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) F(x,y,z)=0,M0(x0,y0,z0) 是 S S S 上一点，
而过 M 0 M_{0} M0 在曲面上的曲线为 x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) x=x(t), y=y(t), z=z(t) x=x(t),y=y(t),z=z(t) .
(4) 曲面上过曲线上某点的任意曲线
曲线在曲面 S S S 上： F ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ≡ 0 F(x(t), y(t), z(t)) \equiv 0 F(x(t),y(t),z(t))≡0 .
对方程求关于 t t t 的导数，得到： ( F x , F y , F z ) ⋅ ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) , z ′ ( t ) ) = 0 \left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) \cdot\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)=0 (Fx,Fy,Fz)⋅(x′(t),y′(t),z′(t))=0 .
(5) 曲面过某点切平面的法向量
在对应 t 0 t_{0} t0 的 M 0 M_{0} M0 点，向量 ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) ) \left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) (x′(t0),y′(t0),z′(t0)) 总是与 ( F x , F y , F z ) \left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) (Fx,Fy,Fz) 正交。
( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) ) \left(x^{\prime}\left(t_{0}\right), y^{\prime}\left(t_{0}\right), z^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) (x′(t0),y′(t0),z′(t0)) 是曲面的切向量； ( F x , F y , F z ) \left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) (Fx,Fy,Fz) 与切向量始终垂直，是切平面的法向量。
(6) 小结
通过以上分析，可以得到：切平面定义的合理性；切平面的法向量： ( F x , F y , F z ) \left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) (Fx,Fy,Fz) ，也称为 S S S 的法向量。
02 方程
(1) 切平面方程
S
S
S 在
M
0
M_{0}
M0 处的切平面方程：
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
(
x
−
x
0
)
+
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
(
y
−
y
0
)
+
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
(
z
−
z
0
)
=
0
F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0
Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0
(2) 法线方程
S
S
S 在
M
0
M_{0}
M0 处的法线方程：
x
−
x
0
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
=
y
−
y
0
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
=
z
−
z
0
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
\frac{x-x_{0}}{F_{x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{F_{y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{F_{z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}
Fx(x0,y0,z0)x−x0=Fy(x0,y0,z0)y−y0=Fz(x0,y0,z0)z−z0
(3) 法向量
若曲面 S S S 的方程为 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y)，法向量为： n ⃗ = ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) , − 1 ) \vec{n}=\left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right),-1\right) n=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),−1)
03 全微分与切平面
回忆全微分的几何意义，近似曲面的平面正是切平面。
第八节 多元函数的极值
一、二元函数的泰勒公式
01 泰勒公式
函数 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) P0(x0,y0) 的邻域有 n + 1 \mathrm{n}+1 n+1 阶连续偏导数。
设函数， F ( t ) = f ( x 0 + t Δ x , y 0 + t Δ y ) t ∈ [ 0 , 1 ] F(t)=f\left(x_{0}+t \Delta x, y_{0}+t \Delta y\right) \quad t \in[0,1] F(t)=f(x0+tΔx,y0+tΔy)t∈[0,1].
将此函数用泰勒公式展开且取
t
=
1
\mathrm{t}=1
t=1，得到
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
+
Δ
y
)
=
∑
k
=
0
n
1
k
!
(
Δ
x
∂
∂
x
+
Δ
y
∂
∂
y
)
k
f
(
x
0
,
y
0
)
+
R
n
f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{k} f\left(x_{0}, y_{0}\right)+R_{n}
f(x0+Δx,y0+Δy)=k=0∑nk!1(Δx∂x∂+Δy∂y∂)kf(x0,y0)+Rn
其中余项
R
n
=
1
(
n
+
1
)
!
(
Δ
x
∂
∂
x
+
Δ
y
∂
∂
y
)
n
+
1
f
(
x
0
+
θ
Δ
x
,
y
0
+
θ
Δ
y
)
(
θ
∈
(
0
,
1
)
)
R_{n}=\frac{1}{(n+1) !}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f\left(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y\right) \quad(\theta \in(0,1))
Rn=(n+1)!1(Δx∂x∂+Δy∂y∂)n+1f(x0+θΔx,y0+θΔy)(θ∈(0,1))
02 一阶泰勒公式
当
n
=
1
n=1
n=1 时，得到函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y) 的一阶泰勒公式：
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
+
Δ
y
)
=
f
(
x
0
,
y
0
)
+
(
Δ
x
∂
∂
x
+
Δ
y
∂
∂
y
)
f
(
x
0
,
y
0
)
+
1
2
(
Δ
x
∂
∂
x
+
Δ
y
∂
∂
y
)
2
f
(
x
0
+
θ
Δ
x
,
y
0
+
θ
Δ
y
)
(
θ
∈
(
0
,
1
)
)
\begin{gathered} f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right) f\left(x_{0}, y_{0}\right) +\frac{1}{2}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{2} f\left(x_{0}+\theta \Delta x, y_{0}+\theta \Delta y\right) \quad(\theta \in(0,1)) \end{gathered}
f(x0+Δx,y0+Δy)=f(x0,y0)+(Δx∂x∂+Δy∂y∂)f(x0,y0)+21(Δx∂x∂+Δy∂y∂)2f(x0+θΔx,y0+θΔy)(θ∈(0,1))
二、多元函数的极值
01 二元函数极值
在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) P0(x0,y0) 的某邻域内 f ( x , y ) ≤ f ( x 0 , y 0 ) f(x, y) \leq f(x_{0}, y_{0}) f(x,y)≤f(x0,y0)，称函数 f f f 在 ( x 0 , y 0 ) (x_{0}, y_{0}) (x0,y0) 处取得极大值， P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_{0}, y_{0}) P0(x0,y0) 称为函数的极大值点；
在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) P0(x0,y0) 的某邻域内 f ( x , y ) ≥ f ( x 0 , y 0 ) f(x, y) \geq f(x_{0}, y_{0}) f(x,y)≥f(x0,y0)，称函数 f f f 在 ( x 0 , y 0 ) (x_{0}, y_{0}) (x0,y0) 处取得极小值， P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_{0}, y_{0}) P0(x0,y0) 称为函数的极小值点。
02 极值的必要条件
f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) P0(x0,y0) 处取得极值，且 f f f 可微，则 f x ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0 ，并将满足该方程的点称为驻点。
注意，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。例如，函数 f ( x , y ) = x y f(x,y)=xy f(x,y)=xy 在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 的情况。
03 极值的充分条件
函数在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) P0(x0,y0) 的邻域内有连续的二阶偏导数， f x ( x 0 , y 0 ) = f y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，
记 A = f x x ( x 0 , y 0 ) A=f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right) A=fxx(x0,y0) ， B = f x y ( x 0 , y 0 ) B=f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right) B=fxy(x0,y0) ， C = f y y ( x 0 , y 0 ) C=f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right) C=fyy(x0,y0)，
则 B 2 − A C > 0 B^{2}-A C>0 B2−AC>0 时， f ( x 0 , y 0 ) f\left(x_{0}, y_{0}\right) f(x0,y0) 不是极值；
当 B 2 − A C < 0 B^{2}-A C<0 B2−AC<0 时， A > 0 ⇒ f ( x 0 , y 0 ) 为极小值。 A < 0 ⇒ f ( x 0 , y 0 ) 为极大值。 A>0\Rightarrow f(x_0,y_0)\ \text{为极小值。} \\ A<0\Rightarrow f(x_0,y_0)\ \text{为极大值。} A>0⇒f(x0,y0) 为极小值。A<0⇒f(x0,y0) 为极大值。
04 最值问题
- 原则
- 可微连续函数的最值应在定义域内部驻点或边界点取到；
- 在实际问题中，若最值必在区域内部取得又驻点惟一，则驻点就是最值点。
第九节 条件极值——拉格朗日乘数法
一、问题的提法和解法
在许多极值问题中，函数自变量还要满足一些条件 (约束条件)，这样的极值称为条件极值。
例如求函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z) 在约束条件 φ ( x , y , z ) = 0 \varphi(x,y,z)=0 φ(x,y,z)=0 下的极值。
二、拉格朗日乘数法
最后
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