一、什么是数据结构？

定义
在计算机科学领域，数据结构是一种数据组织、管理和存储格式，通常被选择用来高效访问数据。
数据结构是一种存储和组织数据的方式，旨在便于访问和修改
可以说，程序 = 数据结构 + 算法，它们是每一位程序员的基本功。

二、递归

1) 概述

定义

计算机科学中，递归是一种解决计算问题的方法，其中解决方案取决于同一类问题的更小子集
比如单链表递归遍历的例子：

void f(Node node) {
    if(node == null) {
        return;
    }
    println("before:" + node.value)
    f(node.next);
    println("after:" + node.value)
}

说明：

1. 自己调用自己，如果说每个函数对应着一种解决方案，自己调用自己意味着解决方案是一样的（有规律的）
2. 每次调用，函数处理的数据会较上次缩减（子集），而且最后会缩减至无需继续递归
3. 内层函数调用（子集处理）完成，外层函数才能算调用完成

原理

假设链表中有 3 个节点，value 分别为 1，2，3，以上代码的执行流程就类似于下面的伪码

// 1 -> 2 -> 3 -> null  f(1)

void f(Node node = 1) {
    println("before:" + node.value) // 1
    void f(Node node = 2) {
        println("before:" + node.value) // 2
        void f(Node node = 3) {
            println("before:" + node.value) // 3
            void f(Node node = null) {
                if(node == null) {
                    return;
                }
            }
            println("after:" + node.value) // 3
        }
        println("after:" + node.value) // 2
    }
    println("after:" + node.value) // 1
}

• 深入到最里层叫做递
• 从最里层出来叫做归
• 在递的过程中，外层函数内的局部变量（以及方法参数）并未消失，归的时候还可以用到

2) 单路递归 Single Recursion

E01. 阶乘

用递归方法求阶乘

• 阶乘的定义 $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n$，其中 $n$ 为自然数，当然 $0!=1$

• 递推关系

$$f(n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ n\ast f(n-1)& n>1\end{array}$$

代码

    // TODO 递归
    public int f(int n){
        if (n == 1){
            return 1;
        }else {
            return n * f(n - 1);
        }
    }    
    
    @Test
    public void  f () {
        Factorial f = new Factorial();
        System.out.println(f.f(5));
    }

拆解伪码如下，假设 n 初始值为 3

f(int n = 3) { // 解决不了,递
    return 3 * f(int n = 2) { // 解决不了,继续递
        return 2 * f(int n = 1) {
            if (n == 1) { // 可以解决, 开始归
                return 1;
            }
        }
    }
}

E02. 反向打印字符串

用递归反向打印字符串，n 为字符在整个字符串 str 中的索引位置

• 递：n 从 0 开始，每次 n + 1，一直递到 n == str.length() - 1
• 归：从 n == str.length() 开始归，从归打印，自然是逆序的

递推关系
$$f(n)=\{\begin{array}{ll}停止& n=str.length()\\ f(n+1)& 0\le n\le str.length()-1\end{array}$$
代码为

    // TODO 字符串递归
    public static void f2(int n,String str){
        if (n==str.length()){
            return;
        }
        System.out.println(str.charAt(n));
        f2(n+1,str);
    }
    @Test
    public void  f2 () {
        Factorial.f2(5,"abcdefghigkhmnopqrstvuwxyz");
    }

E03. 二分查找（单路递归）

    // TODO 二分查找递归
    public static int f3 (int[]a,int target,int i,int j){
        if(i>j){
            return -1;
        }
        int m =i+j>>>1;
        if(a[m]<target){
            return f3(a,target,m+1,j);
        } else if (a[m]>target) {
            return f3(a,target,i,m-1);
        }else {
            return m;
        }
    }
        @Test
    public void  f3 () {
        int[] a = {1,2,3,4,5};
        Factorial.f3(a,4,0,a.length-1);
    }

E04. 冒泡排序（单路递归）

    // TODO 冒泡排序
    public static void f4(int[]a,int j){
        if (j==0){
            return;
        }
        for (int i = 0; i < j; i++) {
            if (a[i]>a[j]){
                int t =a[j];
                a[j] = a[i];
                a[i] = t;
            }
        }
        f4(a,j-1);
    }
        @Test
    public void  f4 () {
        int[] a = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};
        Factorial.f4(a,a.length-1);
        System.out.println(Arrays.toString(a));
    }

    // TODO 冒泡排序2
    public static void f5(int[] a,int x){
        /*
          x 为待排序列的右边界
        * */
        if(x==0){
            return;
        }
        for (int i = 0, j = x; i < j; i++) {
            if (a[i]>a[x]){
                int t =a[x];
                a[x] = a[i];
                a[i] = t;
                x=i;
            }
        }
        f5(a,x);
    }
        @Test
    public void  f5 () {
        int[] a = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};
        Factorial.f5(a,a.length-1);
        System.out.println(Arrays.toString(a));
    }

E05. 插入排序（单路递归）

    // TODO 插入排序递归
    public static void f6(int[] a,int low){
        /*
        low 未排序列的左边界
        t 待插入元素
        * */
        if (low==a.length){
            return;
        }
        int t = a[low];
        int i = low-1;
        while (i>=0&&t<a[i]){
            a[i+1]=a[i];
            i--;
        }
        a[i+1]=t;
        f6(a,low+1);
        return;
    }
    @Test
    public void  f6 () {
        int[] a = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};
        Factorial.f6(a,0);
        System.out.println(Arrays.toString(a));
    }

• 已排序区域：[0 … i … low-1]
• 未排序区域：[low … high]
• 视频中讲解的是只考虑 low 边界的情况，参考以上代码，理解 low-1 … high 范围内的处理方法
• 扩展：利用二分查找 leftmost 版本，改进寻找插入位置的代码

3) 多路递归 Multi Recursion

E01. 斐波那契数列-Leetcode 70

• 之前的例子是每个递归函数只包含一个自身的调用，这称之为 single recursion
• 如果每个递归函数例包含多个自身调用，称之为 multi recursion

递推关系
$$f(n)=\{\begin{array}{ll}0& n=0\\ 1& n=1\\ f(n-1)+f(n-2)& n>1\end{array}$$

下面的表格列出了数列的前几项

实现

    // TODO 斐波那契数列
    public static int f7(int n){
        if (n==0){
            return 0;
        }else if (n==1){
            return 1;
        }
        int x = f7(n-1);
        int y = f7(n-2);
        return x+y;
    }
        @Test
    public void  f7 () {
        System.out.println(Factorial.f7(10));
    }

时间复杂度

• 递归的次数也符合斐波那契规律，$2\ast f(n+1)-1$
• 时间复杂度推导过程
  • 斐波那契通项公式 $f(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\ast ({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}^n-{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^n)$
  • 简化为：$f(n)=\frac{1}{2.236}\ast ({1.618}^n-{(-0.618)}^n)$
  • 带入递归次数公式 $2\ast \frac{1}{2.236}\ast ({1.618}^{n+1}-{(-0.618)}^{n+1})-1$
  • 时间复杂度为 $\Theta (1.618^n)$

E02. 兔子问题

变体1 - 兔子问题[^8]

• 第一个月，有一对未成熟的兔子（黑色，注意图中个头较小）
• 第二个月，它们成熟
• 第三个月，它们能产下一对新的小兔子（蓝色）
• 所有兔子遵循相同规律，求第 $n$ 个月的兔子数

分析

兔子问题如何与斐波那契联系起来呢？设第 n 个月兔子数为 $f(n)$

• $f(n)$ = 上个月兔子数 + 新生的小兔子数
• 而【新生的小兔子数】实际就是【上个月成熟的兔子数】
• 因为需要一个月兔子就成熟，所以【上个月成熟的兔子数】也就是【上上个月的兔子数】
• 上个月兔子数，即 $f(n-1)$
• 上上个月的兔子数，即 $f(n-2)$

因此本质还是斐波那契数列，只是从其第一项开始

实现

    // TODO 斐波那契数列 兔子问题
    public static int f8(int n){
        return f7(n)*2;
    }
        @Test
    public void  f8 () {
        System.out.println(Factorial.f8(10));
    }

E03. 青蛙爬楼梯

变体2 - 青蛙爬楼梯

• 楼梯有 $n$ 阶
• 青蛙要爬到楼顶，可以一次跳一阶，也可以一次跳两阶
• 只能向上跳，问有多少种跳法

分析

• 因此本质上还是斐波那契数列，只是从其第二项开始

• 对应 leetcode 题目 70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

实现

    // TODO 斐波那契数列 青蛙问题
    public static int f9(int n){
        return f7(n+1);
    }
    @Test
    public void  f9 () {
        System.out.println(Factorial.f9(10));
    }

E04. 斐波那契数列-备忘录法

    // TODO 递归求斐波那契数列
    /*
    * 备忘录法减少重复计算
    * */
    public static int f10(int n){
        int[] cache = new int[n+1];
        Arrays.fill(cache,-1);
        cache[0]=0;
        cache[1]=1;
        return f11(n,cache);
    }
    public static int f11(int n,int[] cache){
        if(cache[n]!=-1){
            return cache[n];
        }
        cache[n]=f11(n-1,cache)+f11(n-2,cache);
        return cache[n];
    }
        @Test
    public void  f10 () {
        System.out.println(Factorial.f10(30));
    }

三、递归案例题

汉诺塔

Tower of Hanoi，是一个源于印度古老传说：大梵天创建世界时做了三根金刚石柱，在一根柱子从下往上按大小顺序摞着 64 片黄金圆盘，大梵天命令婆罗门把圆盘重新摆放在另一根柱子上，并且规定

• 一次只能移动一个圆盘
• 小圆盘上不能放大圆盘

下面的动图演示了4片圆盘的移动方法

使用程序代码模拟圆盘的移动过程，并估算出时间复杂度

思路

• 假设每根柱子标号 a，b，c，每个圆盘用 1，2，3 … 表示其大小，圆盘初始在 a，要移动到的目标是 c

• 如果只有一个圆盘，此时是最小问题，可以直接求解

  • 移动圆盘1 $a\mapsto c$
  

• 如果有两个圆盘，那么

  • 圆盘1 $a\mapsto b$
  • 圆盘2 $a\mapsto c$
  • 圆盘1 $b\mapsto c$
  

• 如果有三个圆盘，那么

  • 圆盘12 $a\mapsto b$
  • 圆盘3 $a\mapsto c$
  • 圆盘12 $b\mapsto c$
  

• 如果有四个圆盘，那么

  • 圆盘 123 $a\mapsto b$
  • 圆盘4 $a\mapsto c$
  • 圆盘 123 $b\mapsto c$

题解

    public static void main(String[] args) {
        LinkedList<Integer> A = new LinkedList<>();
        LinkedList<Integer> B = new LinkedList<>();
        LinkedList<Integer> C = new LinkedList<>();
        A.add(3);
        A.add(2);
        A.add(1);
        hanota(A,B,C);
    }
    public static void hanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
        move(A.size(),A,B,C);
        System.out.println(C);
    }
    public static void move(int n, List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C){
        if (n == 1){
            C.add(A.remove(A.size()-1));
            return;
        }
        move(n-1,A,C,B);
        C.add(A.remove(A.size()-1));
        move(n-1,B,A,C);
    }

杨辉三角

分析

把它斜着看

        1
      1   1
    1   2   1
  1   3   3   1
1   4   6   4   1

• 行 $i$，列 $j$，那么 $[i][j]$ 的取值应为 $[i-1][j-1]+[i-1][j]$
• 当 $j=0$ 或 $i=j$ 时，$[i][j]$ 取值为 $1$

题解

    public static void main(String[] args) {
        init(8);
    }
    //创建
    public static void init(int n){
        int[][] a = new int[n][n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < (n-i-1)*2; j++) {
                System.out.print(" ");
            }
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                System.out.printf("%-4d",f(i,j));
            }
            System.out.println();
        }
    }
    public static int f(int i,int j){
        if (i==j||j==0) {
            return 1;
        }
        return f(i-1,j-1)+f(i-1,j);
    }

四、时间空间复杂度

1)时间复杂度

计算机科学中，时间复杂度是用来衡量：一个算法的执行，随数据规模增大，而增长的时间成本

• 不依赖于环境因素

如何表示时间复杂度呢？

• 假设算法要处理的数据规模是 $n$，代码总的执行行数用函数 $f(n)$ 来表示，例如：

  • 线性查找算法的函数 $f(n)=3\ast n+3$
  • 二分查找算法的函数 $f(n)=(floor(lo{g}_2(n))+1)\ast 5+4$

• 为了对 $f(n)$ 进行化简，应当抓住主要矛盾，找到一个变化趋势与之相近的表示法

渐进上界

渐进上界（asymptotic upper bound）：从某个常数 $n_0$开始，$c\ast g(n)$ 总是位于 $f(n)$ 上方，那么记作 $O(g(n))$

• 代表算法执行的最差情况

例1

• $f(n)=3\ast n+3$
• $g(n)=n$
• 取 $c=4$，在$n_0=3$ 之后，$g(n)$ 可以作为 $f(n)$ 的渐进上界，因此表示法写作 $O(n)$

例2

• $f(n)=5\ast floor(lo{g}_2(n))+9$
• $g(n)=lo{g}_2(n)$
• $O(lo{g}_2(n))$

已知 $f(n)$ 来说，求 $g(n)$

• 表达式中相乘的常量，可以省略，如
  • $f(n)=100\ast n^2$ 中的 $100$
• 多项式中数量规模更小（低次项）的表达式，如
  • $f(n)=n^2+n$ 中的 $n$
  • $f(n)=n^3+n^2$ 中的 $n^2$
• 不同底数的对数，渐进上界可以用一个对数函数 $\log n$ 表示
  • 例如：$lo{g}_2(n)$ 可以替换为 $lo{g}_{10}(n)$，因为 $lo{g}_2(n)=\frac{lo{g}_{10}(n)}{lo{g}_{10}(2)}$，相乘的常量 $\frac{1}{lo{g}_{10}(2)}$ 可以省略
• 类似的，对数的常数次幂可省略
  • 如：$log(n^c)=c\ast log(n)$

常见大 $O$ 表示法

按时间复杂度从低到高

• 黑色横线 $O(1)$，常量时间，意味着算法时间并不随数据规模而变化
• 绿色 $O(log(n))$，对数时间
• 蓝色 $O(n)$，线性时间，算法时间与数据规模成正比
• 橙色 $O(n\ast log(n))$，拟线性时间
• 红色 $O(n^2)$ 平方时间
• 黑色朝上 $O(2^n)$ 指数时间
• 没画出来的 $O(n!)$

渐进下界

渐进下界（asymptotic lower bound）：从某个常数 $n_0$开始，$c\ast g(n)$ 总是位于 $f(n)$ 下方，那么记作 $\Omega (g(n))$

渐进紧界

渐进紧界（asymptotic tight bounds）：从某个常数 $n_0$开始，$f(n)$ 总是在 $c_1\ast g(n)$ 和 $c_2\ast g(n)$ 之间，那么记作 $\Theta (g(n))$

2)空间复杂度

与时间复杂度类似，一般也使用大 $O$ 表示法来衡量：一个算法执行随数据规模增大，而增长的额外空间成本

public static int binarySearchBasic(int[] a, int target) {
    int i = 0, j = a.length - 1;    // 设置指针和初值
    while (i <= j) {                // i~j 范围内有东西
        int m = (i + j) >>> 1;
        if(target < a[m]) {         // 目标在左边
            j = m - 1;
        } else if (a[m] < target) { // 目标在右边
            i = m + 1;
        } else {                    // 找到了
            return m;
        }
    }
    return -1;
}

二分查找性能

下面分析二分查找算法的性能

时间复杂度

• 最坏情况：$O(\log n)$
• 最好情况：如果待查找元素恰好在数组中央，只需要循环一次 $O(1)$

空间复杂度

• 需要常数个指针 $i,j,m$，因此额外占用的空间是 $O(1)$

3) 递归时间复杂度计算

若有递归式
$$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$$
其中

• $T(n)$ 是问题的运行时间，$n$ 是数据规模
• $a$ 是子问题个数
• $T(\frac{n}{b})$ 是子问题运行时间，每个子问题被拆成原问题数据规模的 $\frac{n}{b}$
• $f(n)$ 是除递归外执行的计算

令 $x={\log }_{b}a$，即 $x={\log }_{子问题缩小倍数}子问题个数$

那么
$$T(n)=\{\begin{array}{ll}\Theta (n^x)& f(n)=O(n^c)并且c<x\\ \Theta (n^x\log n)& f(n)=\Theta (n^x)\\ \Theta (n^c)& f(n)=\Omega (n^c)并且c>x\end{array}$$

例1

$T(n)=2T(\frac{n}{2})+n^4$

• 此时 $x=1<4$，由后者决定整个时间复杂度 $\Theta (n^4)$
• 如果觉得对数不好算，可以换为求【$b$ 的几次方能等于 $a$】

例2

$T(n)=T(\frac{7n}{10})+n$

• $a=1,b=\frac{10}{7},x=0,c=1$
• 此时 $x=0<1$，由后者决定整个时间复杂度 $\Theta (n)$

例3

$T(n)=16T(\frac{n}{4})+n^2$

• $a=16,b=4,x=2,c=2$
• 此时 $x=2=c$，时间复杂度 $\Theta (n^2\log n)$

例4

$T(n)=7T(\frac{n}{3})+n^2$

• $a=7,b=3,x=1.?,c=2$
• 此时 $x={\log }_{3}7<2$，由后者决定整个时间复杂度 $\Theta (n^2)$

例5

$T(n)=7T(\frac{n}{2})+n^2$

• $a=7,b=2,x=2.?,c=2$
• 此时 $x=lo{g}_{2}7>2$，由前者决定整个时间复杂度 $\Theta (n^{{\log }_{2}7})$

例6

$T(n)=2T(\frac{n}{4})+\sqrt{n}$

• $a=2,b=4,x=0.5,c=0.5$
• 此时 $x=0.5=c$，时间复杂度 $\Theta (\sqrt{n}\log n)$