Ch9. 多元函数微分学 及其应用

1.(第一节)多元函数的基本概念：重极限、连续、偏导数、全微分
2.(第二节) 多元函数的微分法：偏导数与全微分的计算：复合函数微分法、隐函数微分法
3.(第三节) 多元函数的应用：极值与最值、方向导数与梯度、曲面的切平面和法线、曲线的切线和法平面

(一) 重极限

二重极限：二元函数的极限

两类题型：【高数辅导讲义P143 例1 例2】
1.求重极限：
一般方法：取绝对值 |f(x,y)|，用夹逼原理

2.证明重极限不存在：
取特殊路径：
①一般取直线 y=kx，重极限与k有关
②沿两个不同路径极限不同

(二) 多元函数的连续性

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$

连续的必要条件(前提)：极限存在
连续的充要条件：极限存在，且等于函数值

(三) 偏导数

1.偏导数的定义

1.对x的偏导数：
若$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\frac{d}{dx}f(x,y_0){|}_{x=x_0}$存在，则记为$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x=x_0,y=y_0}$或$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$

2.对y的偏导数：
若$\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}=\frac{d}{dy}f(x_0,y){|}_{y=y_0}$存在，则记为$\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{x=x_0,y=y_0}$或$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$

2.偏导数的几何意义：切线对x轴和y轴的斜率

1.$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$：表示曲线 $z=f(x,y_0)$ 在点$(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$处的切线对$x$轴的斜率
2.$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$：表示曲线 $z=f(x_0,y)$ 在点$(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$处的切线对$y$轴的斜率

3.偏导数的计算：

(1)用偏导数的定义求

(2)先代后求

具体函数在具体点求偏导数，可以先代后求

例如：
一阶偏导数：$f_x^{\prime }(0,0)=\frac{d}{dx}f(x,0){|}_{x=0}$，$f_y^{\prime }(0,0)=\frac{d}{dy}f(0,y){|}_{y=0}$   【讲义P152例2】

二阶偏导数，求最后一阶时先代后求：求$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}{|}_{(0,1)}$
先求出$\frac{\partial z}{\partial x}$，则$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{d}{dy}(\frac{\partial z(0,y)}{\partial x}){|}_{y=1}$   【讲义P152例3】

原理：
偏导数，本质上就是一元函数的导数：
①$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$就是一元函数$f(x,y_0)$在$x_0$处的导数
②$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$就是一元函数$f(x_0,y)$在$y_0$处的导数
由此可以“先代后求”
先代后求的原理：偏导数本质上是一元函数的导数

4.高阶偏导数

(1)二阶混合偏导数相等

定理：若函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$及$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$在区域D内连续，则在区域D内这两个二阶混合偏导数必相等：
$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$及$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$在D内连续 ⇨ D内$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}$（ $f_{12}^{\prime \prime }=f_{21}^{\prime \prime }$ )

例题1：20年12.   二阶混合偏导相等

分析：
先求$\frac{\partial f}{\partial y}$，再对x求偏导

答案：4e

例题2：23李林四(一)17.   ①二阶混合偏导数相等 ②微分方程(可降阶→一阶非线性) ③极值

答案：

例题3：24李林六(四)13.   二阶混合偏导数相等

分析：
由二阶混合偏导相等，得$k=-1$

答案：1

5.偏导连续

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }{f}_x^{\prime }(x,y)=f_x^{\prime }(x_0,y_0)$

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }{f}_y^{\prime }(x,y)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$

(四) 二元可微、全微分

1.全微分的定义

若函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全增量$$\Delta z=f(x,y)-f(x_0,y_0)=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$
可表示为
$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )，$$
其中，A和B不依赖于Δx和Δy而仅与x和y有关，$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$
则称函数 $z=f(x,y)$ 在点$(x_0,y_0)$ 可微，$A\Delta x+B\Delta y$ 称为函数 $z=f(x,y)$ 在点$(x_0,y_0)$ 的全微分，记为
$$dz=A\Delta x+B\Delta y$$

全增量：$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$
全微分对应全增量，偏导数对应偏增量

等价定义

注：
①$A=f_x^{\prime }(x_0,y_0)，B=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$
②$x=x_0+\Delta x，y=y_0+\Delta y$
③$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$
④$dz=A\Delta x+B\Delta y$
⑤$\Delta z=dz+o(\rho )$

故 $\Delta z=dz+o(\rho )=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )=f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)+o(\rho )$

2.可微的判定

(1)必要条件：两个偏导数 $f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ 均存在

(2)充分条件：两个偏导数 $f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ 均连续。即$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }{f}_x(x,y)=f_x(x_0,y_0)$,$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to x_0}{y\to y_0}}{\lim }{f}_y(x,y)=f_y(x_0,y_0)$

(3)充分必要条件(定义):
$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\Delta x\to 0}{\Delta y\to 0}}{\lim }\frac{\Delta z-dz}{\rho }=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\Delta x\to 0}{\Delta y\to 0}}{\lim }\frac{o(\rho )}{\rho }$
$=\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{[f(x,y)-f(x_0,y_0)]-[f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)]}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}$
$=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\Delta x\to 0}{\Delta y\to 0}}{\lim }\frac{[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]-[f_x^{\prime }(x_0,y_0)\cdot \Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\cdot \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$

$x=x_0+\Delta x$，即 $\Delta x=x-x_0$
$y=y_0+\Delta y$，即 $\Delta y=y-y_0$

(1)可微的几何意义

曲面：$z_1=f(x,y)$
切平面：$z_2=f(x_0,y_0)+f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)$

分子：曲面与切平面之间的高度差
分母：投影的水平距离ρ

(2)二元不可微的典例：$f(x,y)=|x|+|y|$在点(0,0)处

考察$f(x,y)=|x|+|y|$在点(0,0)处是否可微：

∵$f_x^{\prime }(0,0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}$ 不存在，所以$f(x,y)=|x|+|y|$在点(0,0)处对x的偏导数不存在。同理，$f(x,y)=|x|+|y|$在点(0,0)处对y的偏导数也不存在。由可微的必要条件知，$f(x,y)=|x|+|y|$在点(0,0)处不可微。

3.可微的计算

若$f(x,y)$可微，则：
(1)二元全微分：$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

(2)三元全微分：$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz$

(1)知道函数的全微分，求函数本身：偏积分、凑微分

已知$du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$，求$u(x,y)$
方法： 【高数辅导讲义P155例6】
1.偏积分：
知$\frac{\partial u}{\partial x}、\frac{\partial u}{\partial y}$：$\frac{\partial u}{\partial x}$对x偏积分得u(x,y)，再对y求偏导得$\frac{\partial u}{\partial y}$。两个$\frac{\partial u}{\partial y}$联立得 ${\phi }^{\prime }(y)$，从而积分得$\phi (y)$，从而得u(x,y)

2.凑微分：不好凑就分组凑

凑微分简单，但不通用。偏积分麻烦一些，但一定能做出来。
优先凑微分，凑不出则用偏积分。

4.连续、可导、可微的关系

①一元和多元的差别在于：二元可导不能推二元连续。
②原因在于偏导数：二元函数可导是指f’_x(x₀,y₀)、f’_y(x₀,y₀)这两个偏导数存在。
偏导数只能体现 过$(x_0,y_0)$点 沿着x轴、y轴两条十字线上的函数变化率，而无法体现平面上以任意趋近的函数的变化率，所以可偏导推不出连续。（二元连续和二元可微均要求任意趋近，二元可导，即偏导，只能沿着某条线变化，本质还是一元导数）
③$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$是二元函数f(x,y)对x的偏导数，可视为一元函数$f(x,y_0)$对x的导数。
即 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{df(x,y_0)}{dx}$ 【先代后求】

例题1：1994年

答案：D

例题2：1997年

分析：定义做

答案：C

例题3：2002年

答案：A

例4：2012年3.

分析：

答案：B

例题5：2020年3.

分析：

答案：A

例题6：24李林四(四)2.

答案：D

例题7：

例题8：660 T99   全微分

分析：全微分，则$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，求解a,b。然后用偏积分求解f(x,y)

答案：$3，-2，x^3{y}^2-x^2{y}^2+y+C$（C为任意常数）

(五) 多元复合函数 求导法则

1.复合函数求导

复合函数链导法，主要是看树状图。树状图最后有几个x，链导就是几个x相加。
要理解这种思想，而不是背公式。不同的函数的链导树状图不同，分析出来然后对照着写偏导才是正解。这样，无论多少个函数复合，复合多少层，我们都可以写出公式。

2.全微分形式不变性

多元全微分形式不变性：对z的全微分，既可以表示为对自变量x,y的偏导数和微分，也可以表示为对中间变量u,v的偏导数和微分，且全微分的形式不变。

意义：不需要区分是自变量还是中间变量

例题1：14年17.

答案：

(六) 多元隐函数 的求导公式、隐函数存在定理

三种方法：①两边求偏导 ②公式法 ③全微分形式不变性

隐函数存在定理1 (隐函数的求导公式)：
$F(x,y)=0，F_y(x,y)\ne 0$，则有 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$

隐函数存在定理2：
$F(x_0,y_0,z_0)=0$，$F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0$，则有 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}，\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$

例题1：10年2.

分析：公式法。其他两个都视作常数

答案：B

例题2：隐函数 和 复合函数 综合题

解法1：理清变量关系，利用复合函数链式求导法

解法2：全微分形式不变性（优势：不需要分析变量间的关系）

例题3：05年10.   隐函数存在定理

分析：$F(x,y,z)=xy-z\ln y+e^{xz}-1F(0,1,1)=0$
$F_x(x,y,z)=y+z{e}^{xz}{F}_x(0,1,1)=2\ne 0$ 恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的隐函数$x=f(y,z)$
$F_y(x,y,z)=x-\frac{z}{y}{F}_y(0,1,1)=-1\ne 0$ 恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的隐函数$y=f(x,z)$
$F_z(x,y,z)=\ln y+x{e}^{xz}{F}_z(0,1,1)=0$ 无法作为分母，不能确定有存在连续偏导数的隐函数z=f(x,y)

答案：D

(七) 多元极值

1.无条件极值

(1)二元函数$z=f(x,y)$极值存在的必要条件：驻点

满足 $\{\begin{array}{r}{f}_x^{\prime }(x_0,y_0)=0\\ f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0\end{array}$ 的(x,y)为 z=f(x,y)的驻点

可能取得极值的点：
①驻点 ：$f_x^{\prime }=0且f_y^{\prime }=0$ 【若f(x,y)可导，则极值一定是驻点】
②偏导数不存在的点：
i.偏导数均不存在的点：f’_x不存在且f’_y不存在
ii.对x偏导为0，对y偏导不存在：f’_x=0且f’_y不存在
iii.对x偏导不存在，对y偏导为0：f’_x不存在且f’_y=0

(2)二元函数$z=f(x,y)$极值存在的充分条件：$AC-B^2>0$

①必要条件：$(x_0,y_0)$是驻点，即$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$
②充分条件：令$A=f_{xx}(x_0,y_0)，B=f_{xy}(x_0,y_0)，C=f_{yy}(x_0,y_0)$
i. AC-B²>0，是极值点。A>0 极小值，A<0 极大值
ii. AC-B²<0，不是极值点
iii. AC-B²=0，不定。可能有极值，可能无极值，还需另作讨论。用定义判定 【23年】

例题1：11年3.   二元无条件极值

分析：
法一：极小值，则为凹，笑脸，$f^{\prime \prime }(x_0)>0$。排除BD

法二：二元极值
①必要条件：$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{0,0}=f^{\prime }(x)\ln f(y){|}_{(0,0)}=0，\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(0,0)}=f(x)\frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}{|}_{(0,0)}=0$。是驻点，满足必要条件。

②充分条件：令$A=f_{xx}(x_0,y_0){|}_{(0,0)}=f^{\prime \prime }(0)\ln f(0)，B=f_{xy}(0,0)=f^{\prime }(x_0)\frac{f^{\prime }(y_0)}{f(y_0)}{|}_{(0,0)}=0，C=f_{yy}(x_0,y_0)=f(x_0)\frac{f^{\prime \prime }(y_0)f(y_0)-f^{\prime 2}(y)}{f^2(y_0)}{|}_{(0,0)}=\frac{f^{\prime \prime }(0)}{f(0)}$

有极值，AC-B²>0，则$\frac{f^{\prime \prime 2}(0)\ln f(0)}{f(0)}>0$，∵f(x)>0 ∴lnf(0)>0，即f(0)>1
且因是极小值，$A=f^{\prime \prime }(0)lnf(0)>0，\therefore f^{\prime \prime }(0)>0$

答案：A

2.条件极值

(1)代入法

化条件极值为无条件极值
①直角坐标
②圆、椭圆：参数方程

(2)拉格朗日乘数法

1.二元函数z=f(x,y)的条件极值
要找二元函数 z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下可能的极值点：
①构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$

②对每个参数求一阶偏导：$\{\begin{array}{rl}{\mathrm{L}}_x& =f_x(x,y)+\lambda {\phi }_x(x,y)=0\\ {\mathrm{L}}_y& =f_y(x,y)+\lambda {\phi }_y(x,y)=0\\ {\mathrm{L}}_{\lambda }& =\phi (x,y)=0\end{array}$

③解方程组，得到可能的极值点

2.三元函数u=f(x,y,z)的条件极值
要找三元函数 u=f(x,y,z)在附加条件φ(x,y,z)=0下可能的极值点：
①构造拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)$

②对每个参数求一阶偏导：$\{\begin{array}{rl}{\mathrm{L}}_x& =f_x(x,y,z)+\lambda {\phi }_x(x,y,z)=0\\ {\mathrm{L}}_y& =f_y(x,y,z)+\lambda {\phi }_y(x,y,z)=0\\ {\mathrm{L}}_z& =f_z(x,y,z)+\lambda {\phi }_z(x,y,z)=0\\ {\mathrm{L}}_{\lambda }& =\phi (x,y,z)=0\end{array}$

③解方程组，得到可能的极值点

例题1：15年17.

例题2：18年16.   拉格朗日乘数法求条件极值：应用题

答案：

例题3：08年数二   条件极值：三元函数+两个条件

答案：

3.二元函数在有界闭区域上的最值

求二元函数在有界闭区域上的最值的3步骤：
①先求闭区域D内部各驻点的函数值
②闭区域D 边界的最大最小值
③驻点值与边界最值比大小，最大的为最大值，最小的为最小值

例题1：22年13.

分析：

答案：$[4e^{-2},+\infty )$

例题2：18年16.

例题3：03年9.   二元极值

分析：

答案：A

例题4：07年17.   条件极值：不用求二阶导，只比较驻点函数值与边界函数值的大小

分析：

(八) 多元微分的几何应用

1.曲面的法向量$\vec{n}$、法线、切平面

1.曲面方程：$F(x,y,z)=0$，切点$(x_0,y_0,z_0)$：

①曲面的法向量 n ⃗ = { F x ′ , F y ′ , F z ′ } ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) \vec{n}=\{F'_x,F'_y,F'_z\}|_{(x_0,y_0,z_0)} n ={Fx′​,Fy′​,Fz′​}∣(x0​,y0​,z0​)​

②曲面的法线方程：$\frac{x-x_0}{F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}$

③切平面方程可表示为：$F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$

2.曲面方程：$z=f(x,y)$，切点$(x_0,y_0,z_0)$：

①法向量： n ⃗ = { f x ′ , f y ′ , − 1 } \vec{n}=\{f'_x,f'_y,-1\} n ={fx′​,fy′​,−1}

②法线：$\frac{x-x_0}{f_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{f_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$

③切平面：$f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0$

例题1：13年2.   求切平面方程：先求法向量

分析：求切平面，先求法向量
$F(x,y,z)=x^2+cos(xy)+yz+x=0$，求出对应$F_x,F_y,F_z$，并代入点(0,1,-1)。
得切平面方程：$F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$

答案：A

例题2：14年9.

分析：已知切点，只需要求法向量，即可点法式得切平面方程
z=f(x,y)，曲面法向量为$\vec{n}=(f_x,f_y,-1)$ ，切点为(1,0,1)

【f(x,y)较复杂，求偏导考虑先代后求：求谁谁不动，其他字母代数值】
$f(x,y)=x^2(1-siny)+y^2(1-sinx)$
$f(x,0)=x^2,f_x=2x{|}_{(1,0)}=2$
$f(1,y)=1-siny+y^2(1-sin1),f_y=-cosy+2y(1-sin1){|}_{(1,0)}=-1$
∴$\vec{n}=(2,-1,-1)$
∴切平面方程：2(x-1)-y-(z-1)=0，即2x-y-z-1=0

答案：$2x-y-z-1=0$

例题3：03年2.

分析：点法式，求法向量和切点
曲面z=f(x,y)，法向量为$\overrightarrow{n_1}=(f_x,f_y,-1)=(2x_0,2y_0,-1)$。平面法向量$\overrightarrow{n_2}=(2,4,-1)$
与平面平行，则两者法向量成比例，即$\frac{2x_0}{2}=\frac{2y_0}{4}=\frac{-1}{-1}=1$，∴$x_0=1,y_0=2,z_0=5$
∴曲面法向量为(2,4,-1)，切点(1,2,5)，求点法式得切平面方程：2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=2x+4y-z-5=0

答案：$2x+4y-z-5=0$

例题4：18年2.

分析：
法一：直接法，求切点
难点在于找切点，需要联立三个方程

法二：排除法
切平面过(1,0,0)、(0,1,0)，不满足x=y，排除C、D
根据法向量平行，排除A

答案：B

例题5：00年2.  求曲面的法线方程

分析：法线方程，同样只需要切点和法向量

①切点已知为(1-2,2)
②曲面的法向量 n ⃗ = { F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) } = { 2 x , 4 y , 6 z } ∣ ( 1 , − 2 , 2 ) = { 2 , − 8 , 12 } \vec{n}=\{F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0)\}=\{2x,4y,6z\}|_{(1,-2,2)}=\{2,-8,12\} n ={Fx​(x0​,y0​,z0​),Fy​(x0​,y0​,z0​),Fz​(x0​,y0​,z0​)}={2x,4y,6z}∣(1,−2,2)​={2,−8,12}，可取 $\vec{n}=(1,-4,6)$

③曲面的法线方程：$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-8}=\frac{z-2}{12}$，即 $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-2}{6}$

答案： $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-4}=\frac{z-2}{6}$

2.曲线的切向量$\vec{\tau }$、切线、法平面

例题1：求曲线的切线方程和法平面方程，还是要求切点和切向量

分析：切点 $(\frac{\pi }{2}-1，1，2\sqrt{2})$，切向量 $(1,1,\sqrt{2})$

答案：

例题2：已知切点，求切向量

分析：对于交面式，$\vec{\tau }=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}$
$\overrightarrow{n_1}=(2,-4,2)$，$\overrightarrow{n_2}=(1,1,1)$
$\vec{\tau }=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=(-6,0,6)$ ，可取 $\vec{\tau }=(-3,0,3)$

答案：

例题3：01年7.

分析：
A.偏导数存在，不一定可微   A❌
B.法向量为 (3,1,-1)   B❌

对于C，$\{\begin{array}{rl}F(x,y,z)& =f(x,y)-z=0\\ G(x,y,z)& =y=0\end{array}$
$\overrightarrow{n_1}=(f_x,f_y,-1)=(3,1,-1)$，$\overrightarrow{n_2}=(0,1,0)$

∴切向量$\vec{\tau }=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=(1,0,3)$

答案：C

例题4：23李林六套卷(二) 11.

分析：
①切点：(1,1,0)
②求切向量：
$\{\begin{array}{rl}F(x,y,z)& =-x+y^2=0\\ G(x,y,z)& =3(y-1)-z=3y-3-z=0\end{array}$
$\overrightarrow{n_1}=(-1,2y,0){|}_{(1,1,0)}=(-1,2,0)$
$\overrightarrow{n_2}=(0,3,-1)$
∴切向量$\vec{\tau }=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=(-2,-1,-3)$，可取 $\vec{\tau }=(2,1,3)$

答案：$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{3}$

(九) 方向导数与梯度

1.方向导数 $\frac{\partial f}{\partial l}$

1.定义
$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$

2.计算
(1)二元方向导数：若$z=f(x,y)$可微 (充分条件)，则 $\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cos \beta {|}_{(x_0,y_0)}$

(2)三元方向导数：$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial f}{\partial z}\cos \gamma {|}_{(x_0,y_0,z_0)}$

3.几何意义：
①导数：刻画一元函数的变化率
②偏导数：对x的偏导数$f_x$刻画二元函数$f(x,y)$沿$x$轴的变化率，对y的偏导数$f_y$刻画二元函数$f(x,y)$沿$y$轴的变化率
③方向导数：为了刻画多元函数沿任意给定方向 $\vec{l}$的变化率(坡度)，引入了方向导数。

4.方向导数的几何意义：向量$\vec{l}$与曲面$z=f(x,y)$的交线，沿着$\vec{l}$方向的切线的斜率。

特别的，$f(x,y)$在点$M_0(x_0,y_0)$处对x的偏导数存在，且$f_x(x_0,y_0)=a$，则：
$f(x,y)$在点$M_0(x_0,y_0)$处沿x轴正方向的方向导数为$a$，沿x轴负方向的方向导数为$-a$
$y$轴同理。

方向导数

例题1：05年3.   方向导数

分析：

答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

例题2：17年3.

分析：

答案：D

2.梯度 $\mathrm{grad}$

梯度是一个向量：

二元梯度：$\overrightarrow{\mathrm{grad}}f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}{|}_{(x_0,y_0)}=f_x^{\prime }\vec{i}+f_y^{\prime }\vec{j}{|}_{(x_0,y_0)}$

二元梯度的模：$|\overrightarrow{gradf|}=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial y}{)}^2}=\sqrt{f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}}$   【15年17.】

三元梯度：$\overrightarrow{\mathrm{grad}}f(x_0,y_0,z_0)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}=f_x^{\prime }\vec{i}+f_y^{\prime }\vec{j}+f_z^{\prime }\vec{k}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}$

三元梯度的模：$|\overrightarrow{gradf|}=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial y}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial z}{)}^2}=\sqrt{f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}+f_z^{\prime 2}}$

例题1：12年11.   梯度就是 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$

分析：$f_x^{\prime }=y，f_y^{\prime }=x-\frac{z}{y^2}，f_z^{\prime }=\frac{1}{y}$

$\overrightarrow{grad}f{|}_{(2,1,1)}=f_x^{\prime }\vec{i}+f_y^{\prime }\vec{j}+f_z^{\prime }\vec{k}{|}_{(2,1,1)}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}=(1,1,1)$

答案：$\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$ 或 $(1,1,1)$

3.方向导数与梯度的关系

1.最大方向导数 (方向导数的最大值) = 梯度的模 $=|\overrightarrow{gradf|}=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial y}{)}^2}=\sqrt{f_x^{\prime 2}+f_y^{\prime 2}}$

2.$f(x,y)$在点$(a,b)$沿 $\vec{l}=(c,d)$的方向导数，取得最大值e：
①沿 $\vec{l}=(c,d)$：与 $\vec{l}=(0,1)$同向，即$\frac{f_x^{\prime }(a,b)}{c}=\frac{f_y^{\prime }(a,b)}{d}>0$

②取得最大值e：$||gradf(a,b)||=\sqrt{(f_x^{\prime }(a,b){)}^2+(f_y^{\prime }(a,b){)}^2}=e$

①梯度是一个向量：梯度的方向是方向导数最大的方向，梯度的模是方向导数的最大值】
②函数沿着梯度方向的方向导数最大，函数在一点处的方向导数的最大值 等于 函数在该点的梯度的模【15年17.】

例题1：22年11.   方向导数与梯度的关系：最大方向导数为梯度的模长

分析：最大方向导数为梯度的模长

答案：4

例题2：19年16(1).   方向导数与梯度的关系、第一类曲面积分

答案：

例题3：24李林六(二)1.

分析：沿 $\vec{l}=(0,1)$：与 $\vec{l}=(0,1)$同向，即$\frac{f_x^{\prime }}{0}=\frac{f_y^{\prime }}{1}>0$

答案：C

例题4：15年17.

(十) 二元泰勒公式：泰勒多项式

背住第二行的公式即可：
①先求出$f(x_0,y_0)$、$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$、$f_y^{\prime }(x_0,y_0)$、$f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$、$f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$、$f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)$
②代入公式即可

例题1：23李林四(三)13.

分析：

答案：5+2(x-1)²-(x-1)(y+2)-(y+2)²