三. 微分方程
1. 概念理解
专业术语 ==> 大白话
微分方程 ==> 含导数 微分方程的阶 ==> 最高阶导数
微分方程的解 ==> x与y的关系式
微分方程通解 ==> 含任意常数
微分方程通解的阶 ==> 任意常数的个数
微分方程初始条件 ==> 通解确定了数字
微分方程特解 ==> 确定了初始条件的解
2. 求一阶微分方程的通解的方法
2.1 可分离变量法
对应方程：变量可分离的微分方程
适用题型：可整理成x和y两者 井水不犯河水 的式子
f
(
x
)
d
x
=
g
(
y
)
d
y
f(x)dx = g(y)dy
f(x)dx=g(y)dy
使用：左右两侧同时不定积分
∫
f
(
x
)
d
x
=
∫
g
(
y
)
d
y
+
C
\int f(x)dx = \int g(y)dy + C
∫f(x)dx=∫g(y)dy+C
2.2 换元法
对应方程：齐次微分方程
题型：若某一阶微分方程可以整理为：
d
y
d
x
=
f
（
y
x
）
\frac{dy}{dx} = f（\frac{y}{x}）
dxdy=f（xy）
使用: 把y/x换成u,得到：
d
y
d
x
=
u
+
x
∗
d
u
d
x
\frac{dy}{dx} = u + x * \frac{du}{dx}
dxdy=u+x∗dxdu
2.3 公式法（线性）
对应方程：一阶线性微分方程
题型：可以整理为
y
′
+
p
(
x
)
y
=
0
或者
y
′
+
p
(
x
)
y
=
q
(
x
)
y' + p(x)y = 0 或者 y' + p(x)y = q(x)
y′+p(x)y=0或者y′+p(x)y=q(x)
使用：不定积分积出来的不需要再加常数C
2.4 变量替换（非线性）
-
对应方程：伯努利方程
（别努力方程） -
题型：
y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y n y' + p(x) y = q(x) y^n y′+p(x)y=q(x)yn -
使用：
3. 二阶微分方程的通解
Ay’’ + By’ + Cy = []
若系数中的ABC都是常数，则称二阶微分方程 为 二阶常系数微分方程。
齐次： Ay’’ + By’ + Cy = 0
非齐次： Ay’’ + By’ + Cy = f(x)
3.1 二阶常系数齐次微分方程的通解
- 把系数A化成1,得到 y’’ + py’ + q = 0
- 求解一元二次方程 r^2 + pr + q = 0，得到r1，r2 根据特征方程的解分三种情况
- r1 != r2
y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} y=C1er1x+C2er2x - r1 = r2
y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x y = (C_1 + C_2x) e^{r_1 x} y=(C1+C2x)er1x - 一对共轭 ： r1 = r2 = α ± β i
y = ( C 1 c o s β x + C 2 s i n β x ) e α x y = ( C_1 cos βx + C_2sinβx ) e^{αx} y=(C1cosβx+C2sinβx)eαx
- r1 != r2
3.2 二阶常系数非齐次微分方程的通解
- 先求出对应的齐次方程的解（假设右边是0）
- 再求出非齐次的特解
- 两者相加
- 技巧
y1,y2,y3 是三个非齐特，那么 y1 - y2 以及 y2 - y3 是对应的齐次的解
3.3 二阶变系数微分方程的通解
Ay’’ + By’ + Cy = []
其中的A，B，C不全为数字，则称为二阶变系数微分方程
但从考研数学角度,仅有两种：
- 不含y：把y’换成P，把y’‘换成P’
- 不含x: 把y’换成P，把y’'换成
P * dp/dy
求通解：可以含常数C
求表达式：不可以含常数C，得求出来。
- 经典问题：已知解，求对应的微分方程
通过系数对应方程，直接得出结果。
4. 补充（知能行）
4.1 解题技巧：非齐次解的差为齐次解
4.2 建模与应用：未知函数的选择
4.3 解题技巧：非齐次方程解的叠加
4.4 解题技巧：f(x) = Asinβx的特解
4.5 基础知识：k重复根的设解
出现了三角函数、代表存在复数。
三角函数内的系数为复数的系数。
外圈出现了e的指数函数，则表示实数位置的系数。
k个重复的根、则x的指数为k-1。
4.6 自由项对应的特征方程的根⭐
4.7 求解欧拉方程
核心：1）记住欧拉方程形式。2）理解怎么换元的。
4.8 解题技巧：三阶常系数微分方程
求解常系数齐次线性微分方程：先写出其特征方程, 求出特征根, 再根据特征根写出通解结构。
如果全是y及y的高阶导，不需要考虑换元，直接列特征方程！
例如：y″′-2y″+y′-2y=0
就不需要设置p = y′。
求得方程的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，
于是方程的基本解组为：e2x，cosx，sinx，
从而方程的通解为：
y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。
5. 学习链接
6. 其他知识点的结合
6.1 抽象幂级数的和函数求解
与幂级数中和函数的结合，表面是求和函数，实际上需要构造和函数S(x)的微分方程，进而求解出S(x).
20年数一真题：
构造微分方程需要求导，所以写求S‘(x)，通过与S(x)的形式上的一致，构造等式。
至此解S’(x) = 1 + xS’(x) + 1/2 S(x) 的微分方程即可。
