第五章 特征值和特征向量

最具综合性的一章

5.1 特征值，特征向量

5.1.1 概念

A是n阶矩阵，存在数λ，非零的n维列向量α，满足
$$A\alpha =\lambda \alpha$$
则，λ是矩阵A的一个特征值（根），非零向量α是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量。实特征值就是特征方程求出来的特征值是实数,而不是虚数,化简一下上面的式子，得到一个齐次方程：
$$(\lambda E-A)\alpha =0,\alpha \ne 0$$
所以特征向量α也是上面齐次方程组的非零解，称此时的(λE - A)为A的特征矩阵。因为齐次方程有非零解，所以
$$行列式|\lambda E-A|=0$$
此时的行列式也叫做矩阵A的特征多项式

5.1.2 性质 & 定理 & 推论 ⭐

• 如果特征值λ1，λ2…不相同，那么对应的特征向量α1，α2…都线性无关。
• 特征值λ1，λ2…的累加和等于对应特征向量的第i维的累加和。即，矩阵的迹相同。

$$\sum {\lambda }_i=\sum a_{ii}$$

• 矩阵A的行列式的值 = 对应特征值的连乘积

$$|A|=\prod {\lambda }_i$$

上面两个性质（和、积）可以用于选择题排除法

• α1，α2…是矩阵A属于特征值λ的特征向量，那么数乘后的它们(k1α1，k2α2…)仍是对应特征值λ的特征向量。

$$A(ka)=k(Aa)=k(\lambda a)=\lambda (ka)$$

$$A(k_1{a}_1+k_2{a}_2)=A(k_1{a}_1)+A(k_2{a}_2)=k_1(\lambda a_1)+k_2(\lambda a_2)=\lambda (k_1{a}_1+k_2{a}_2)$$

• 特征值的平方，对应的是矩阵的平方

$$A^2\alpha ={\lambda }^2\alpha$$

• 逆矩阵的特征值 是 原特征值的 倒数

$$\because A\alpha =\lambda \alpha 并且A^{-1}A\alpha =E\alpha =1\ast \alpha$$

$$\therefore A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha$$

5.1.3 求特征值和特征向量的方法

数值型矩阵

若给定的矩阵是数值型的矩阵，则一般的方法是通过求矩阵特征方程的根得到该矩阵的特征值，然后再通过求解齐次线性方程组的非零解得到对应特征值的特征向量。

1. 列出特征行列式 = 0 ， 求对应的n个特征值。
   $$|\lambda E-A|=0$$
   一般最后化成因式分解的式子，然后得到n个λ的值，当然，λ也可能相同（比如三阶矩阵、得到二重根，就剩下一个线性无关的特征向量了。）

2. 对于每一个特征值λ，都反代λ到特征方程(λE - A)x = 0中，求对应的齐次方程组的基础解系，比如α1，α2。

3. 根据基础解系，前面加上不全为0的系数k就是特征向量了，比如k1α1+k2α2 (k1,k2不全为0)

抽象型矩阵

若给定的矩阵是抽象型的，则在求特征值与特征向量的时候常用的方法是通过定义，但此时需要考虑的是特征值与特征向量的性质以及应用。

巧解矩阵特征值方法⭐

1. 如果|A| = 0 ，那么存在一个特征值 = 0
2. 如果A的每行元素之和都是k，那么存在一个特征值是k。
3. 求得部分特征值之后，使用 tr(A) = 特征值之和，反推最后一个特征值

例子1

• 通过第一列（1，2，3）和第二列（4，8，12）成比例
  =>我们知道|A| = 0，那么存在一个特征值为0
• 通过每行元素之和 若相同为k，则为k：
  => 1 + 4 - 7 = 2 + 8 - 12 = 3 + 12 - 17 = -2
  => 存在一个特征值是 -2
• 通过矩阵的迹可以反推最后一个特征值：
  => 1 + 8 - 17 = 0 + -2 + x
  => x = -6

秩为1的矩阵有两个特征值为0。将原矩阵转成和单位矩阵的线性加减实现巧解。

例子2：

实在是妙啊，就是可惜最后20天才发现…

5.2 相似矩阵

5.2.1 概念

• AB都是n阶矩阵，存在一个可逆矩阵P，使得
  $$P^{-1}AP=B$$
  则称：矩阵A相似于矩阵B，B是A的相似矩阵，记作A~B

• 如果A和对角阵相似，称A可相似对角化，对角阵是A的相似标准形
  对角矩阵是突破口

5.2.2 性质

相似的性质：

• 反身性：A ~ A
• 对称性：A ~ B，则 B ~ A
• 传递性：A ~ B，B ~ C，则A ~ C

相似可以推出：

• 若A ~ B

  • n次方也相似：A^n ~ B^n
  • 逆矩阵相似：A的逆矩阵 ~ B的逆矩阵
    这里的逆矩阵可以理解成-1次方吧。
  • 线性增减相似：A + kE ~ B + kE
  • 特征值相同
  • 秩相等：r(A) = r(B)
  • 行列式的值相同：|A| = |B|
  • 对角线的连乘积相同，等价于矩阵的特征值的和

n阶方阵A可对角化的充要条件：A有n个线性无关的特征向量。

• A有n个不同的特征值，那么A可以相似对角化，且不同的特征值λ1，λ2…作对角线形成的对角矩阵和A相似。

5.2.3 求可逆矩阵P使得A可相似对角化方法

1. 求特征值：λ1，λ2，λ3
   • 特征行列式 = 0
2. 求特征向量：α1，α2，α3
   代入特征值求解，设自由变量
3. 拼接特征向量，得到可逆矩阵P
   $$P=(a_1,a_2,a_3)$$

• PAP得到对角矩阵后

  • 如果给出条件，3阶矩阵A不能相似对角化，那么就是有重根，比如二重根，且没有两个线性无关的特征向量。最后算出的自由变量就少于两个。

  • 如果要证两个实对称矩阵相似，只要证明它们有相同的特征值就行。

5.3 实对称矩阵

5.3.1 定理

1. 实对称矩阵必可相似对角化。
2. 实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交。
3. 设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交阵Q，使得Q^-1AQ=Q^TAQ = 对角阵

5.4 解题思路

• 给出带参数的矩阵A，说A和B相似，求参数。

  • 利用行列式相等，秩相等来解

• 给出AB相似，B矩阵数据，求（A+kE）的秩或者行列式。

  • 直接换成B+kE来求就行。

• 给出带参数的矩阵A，说A和对角矩阵相似，求参数。

  • 先因式分解行列式|λE-A|，令行列式 = 0，求出特征值。
  • 如果有二重根，那么对应的特征值代入后，应该有两个线性无关的解。
  • 三重根同理

• 给出Q^-1AQ = B，实际上就是说A和B相似

• 给出A可相似对角化，求对应的可逆矩阵P，满足
  $$P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right]$$
  和之前的解题步骤差不多，先求对应的特征多项式= 0的特征值，代入求得特征向量，最后拼起来就是可逆矩阵P了。（见5.2.3）

• 求实对称矩阵的正交矩阵：其实就是求上面的可逆矩阵P，然后单位化一下。

题目示例

实对称矩阵，已知可相似对角化，求可逆矩阵Q。

6. 补充

6.1 解题技巧：实对称矩阵的相似对角化

6.2 基础知识：求特征向量

6.3 解题技巧：求a^T a的特征向量

设a是一个n维的列向量：
$$a{a}^T的一个特征向量为a$$

证明：