目录
一.AVL树的概念
AVL树又称高度平衡二叉搜索树
具有以下两点性质的二叉搜索树, 被称为AVL树
1.左右子树的高度差的绝对值小于2
2.左右子树也是AVL树
二.AVL树的实现
1.框架
由于要考虑到向上更新平衡因子, 所以AVL树采用三叉链, 新增了一个_parent指针指向当前节点的父节点
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf;//平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
public:
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
//插入
bool insert(const pair<K, V>& kv);
private:
//四种旋转
void RotateL(Node* prev);
void RotateR(Node* prev);
void RotateRL(Node* prev);
void RotateLR(Node* prev);
//中序遍历
void _InOrder(Node* root);
//判断是否为AVL树
bool _isBalance(Node* root);
int Height(Node* root);
//成员变量
Node* _root = nullptr;
};2.插入的实现
template<class K, class V>
bool AVLTree<K, V>:: insert(const pair<K, V>& kv)
{
//如果是一棵空树
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
//树不为空, 一直遍历到空节点, 插入
Node* cur = _root;
Node* prev = nullptr;
while (cur)
{
if(cur->_kv.first > kv.first)
{
prev = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first < kv.first)
{
prev = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (prev->_kv.first < kv.first)
{
prev->_right = cur;
}
else//prev->_kv.first > kv.first
{
prev->_left = cur;
}
cur->_parent = prev;
//此时已插入成功, 开始控制平衡因子, 并且旋转
//一.更新平衡因子
//规则:
//1.如果有一个节点得_bf更新到1或-1, 一定是由0更新得来, 此时持续向上更新, 更新到cur->_parent == nullptr为止
//2.如果有一个节点的_bf更新到0, 一定是由-1或1更新得来的, 此时可以停止向上更新, 并且无需旋转
//3.如果有一个节点的_bf更新到2或-2, 一定是由-1或1更新得来, 此时需要旋转
while (prev)
{
if (cur == prev->_left)
{
prev->_bf--;
}
else
{
prev->_bf++;
}
if (prev->_bf == 0)//情况1
{
break;
}
else if (abs(prev->_bf) == 1)//情况2
{
cur = prev;
prev = prev->_parent;
}
else if(abs(prev->_bf) == 2)//情况3
{
//二.旋转
//旋转一共分为四种情况, 分别为:左单旋, 右单旋, 左双旋, 右双旋
if (cur->_bf == 1 && prev->_bf == 2)//左单旋
{
RotateL(prev);
}
else if (cur->_bf == -1 && prev->_bf == -2)//右单旋
{
RotateR(prev);
}
else if (cur->_bf == -1 && prev->_bf == 2)//左双旋
{
RotateRL(prev);
}
else if (cur->_bf == 1 && prev->_bf == -2)//右双旋
{
RotateLR(prev);
}
else
{
//不存在的情况, 平衡因子出现问题
assert(false);
}
break;
}
else//不存在的情况, 平衡因子出现问题
{
assert(false);
}
}
return true;
}
3.更新平衡因子, 更新后有三种情况
//1.如果有一个节点得_bf更新到1或-1, 一定是由0更新得来, 此时持续向上更新, 更新到cur->_parent == nullptr为止
//2.如果有一个节点的_bf更新到0, 一定是由-1或1更新得来的, 此时可以停止向上更新, 并且无需旋转
//3.如果有一个节点的_bf更新到2或-2, 一定是由-1或1更新得来, 此时需要旋转
对于以上三句话的解读:
在插入之前, 该树一定是一棵AVL树, 因为在下一次插入前, 如果不符合AVL树的条件的话, 一定会旋转成为一棵AVL树
所以在插入的新节点之前, 所有节点的平衡因子一定是0, -1, 1, 即所有节点的平衡因子都一定是平衡的
那么我们插入了新节点, 对于之前所有节点的平衡因子的改动, 无非就是+1和-1的操作, 所以改动之后的平衡因子范围一定在-2 ~ 2之间
情况1: 由0 --- +1或-1 --- 成为1或-1
如果更新后成为了1或-1, 那么之前一定是0, 说白了插入之前两边一定是高度相等的, 插入新节点之后, 变为了一边偏高, 此时孩子一边偏高了, 那么父亲一定受到影响, 故一直向上更新平衡因子
情况2: 由1或-1 --- -1或+1 --- 成为0
如果更新后成为了0, 那么之前一定是1或-1, 说白了插入之前两边一边偏高, 但在插入新节点之后, 将矮的那一边补齐了, 补齐之后两边高度相等了, 说明孩子高度相等了, 对父亲是没有影响的, 就不需要继续向上更新了, 并且也没出现高度为-2或2的情况, 也就不需要旋转, break即可
情况3: 由1或-1 --- +1或-1 --- 成为2或-2
如果更新后变成了2或-2, 那么之前一定是1或-1, 说白了插入之前两边一边偏高, 但是这次插入很不凑巧, 插入在了偏高的一边, 让高的更高了, 高度差大于1即变得不平衡了, 需要进行旋转修正!
当插入新节点之后, 更新平衡因子出现了情况3的时候, 需要对树进行旋转
旋转一共总结为四大类: 左单旋, 右单旋, 左双旋, 右双旋
4.四种旋转, 左单旋, 右单旋, 左双旋, 右双旋
1).左单旋
void RotateL(Node* prev)
{
Node* subR = prev->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* ppNode = prev->_parent;
prev->_right = subRL;
if (subRL)
{
subRL->_parent = prev;
}
subR->_left = prev;
prev->_parent = subR;
if (_root == prev)
{
_root = subR;
}
else
{
if (ppNode->_left == prev)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
}
subR->_parent = ppNode;
subR->_bf = prev->_bf = 0;
}2).右单旋
void RotateR(Node* prev)
{
Node* subL = prev->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* ppNode = prev->_parent;
subL->_right = prev;
prev->_parent = subL;
prev->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = prev;
}
if (_root == prev)
{
_root = subL;
}
else
{
if (ppNode->_left == prev)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
}
subL->_parent = ppNode;
subL->_bf = prev->_bf = 0;
}3).左双旋
void RotateRL(Node* prev)
{
Node* subR = prev->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
//先右旋, 再左旋
RotateR(prev->_right);
RotateL(prev);
//需要手动更新平衡因子
//三种情况
//1.新插入节点在subRL->_left
//2.新插入节点在subRL->_right
//3.新插入节点就是subRL本身
subRL->_bf = 0;
if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
prev->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
prev->_bf = -1;
}
else if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
prev->_bf = 0;
}
else
{
//正常情况下, 不存在其他情况
assert(false);
}
}4).右双旋
void RotateLR(Node* prev)
{
Node* subL = prev->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
//先左旋, 再右旋
RotateL(prev->_left);
RotateR(prev);
//需要手动更新平衡因子
//三种情况
//1.新插入节点在subLR->_left
//2.新插入节点在subLR->_right
//3.新插入节点就是subLR本身
subLR->_bf = 0;
if (bf == -1)
{
prev->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
prev->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
}
else if (bf == 0)
{
prev->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
else
{
//正常情况下, 不存在其他情况
assert(false);
}
}
5.双旋后需手动更新平衡因子, 每种双旋三种更新情况
以左双旋为例, 一共有三种情况
三.AVL树的检验
template<class K, class V>
bool AVLTree<K, v>:: isBalance()
{
return _isBalance(_root);
}
template<class K, class V>
bool AVLTree<K, v>:: _isBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftH = Height(root->_left);
int rightH = Height(root->_right);
int subH = rightH - leftH;//当前节点左右子树高度差
if (subH != root->_bf)
{
cout << "键值为: " << root->_kv.first << "的平衡因子出现问题" << endl;
return false;
}
return abs(subH) < 2 && _isBalance(root->_left) && _isBalance(root->_right);
}
//求树的高度
template<class K, class V>
int AVLTree<K, v>:: Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return 0;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
return max(leftHeight, rightHeight) + 1;
//return max(Height(root->_left), Height(root->_right)) + 1;
}四.AVL树的效率
AVL树是二叉搜索树的优化版本, 二叉搜索树不稳定, 效率在O(logN)与O(N)之间, 在极端情况下会退化成单枝树且时间复杂度为O(N), AVL树改进了这一缺点, 使左右子树高度差的绝对值小于2, 且每棵子树也都遵守这个规则, 使得AVL树在形式上非常接近一棵满二叉树, 在任何情况下都保证了查找效率是O(logN), 非常稳定.
AVL树的查找效率极高, 插入涉及到维护平衡性的问题需要旋转但一般旋转1~2次就可以达到平衡了, 但对于删除而言, 效率相对较低, 有可能需要多次旋转, 甚至一直旋转到根的位置
AVL树为了保证其稳定性, 也付出了相应的代价 -- 旋转, 所以AVL树更适用于存储一些数据个数为静态的数据(即数据个数不经常发生修改), 这样对AVL树而言, 结构不会经常发生修改, 也就不会经常发生插入和删除操作, 旋转的次数相对减少