- A B C D ABCD ABCD 是圆 O O O 的内接四边形, 两条对角线交于 P P P, O 1 O_1 O1 是 △ A B P \triangle ABP △ABP 的外心, O 2 O_2 O2 是 △ B C P \triangle BCP △BCP 的外心, O 3 O_3 O3 是 △ C D P \triangle CDP △CDP 的外心, O 4 O_4 O4 是 △ D A P \triangle DAP △DAP 的外心, 则 O P OP OP, O 1 O 3 O_1O_3 O1O3, O 2 O 4 O_2O_4 O2O4 互相平分.
证明: 连结
O
1
P
O_1P
O1P,
O
3
P
O_3P
O3P,
O
1
O
O_1O
O1O,
O
3
O
O_3O
O3O . 显然
O
1
O
⊥
A
B
O_1O \bot AB
O1O⊥AB,
∠
O
3
P
D
+
∠
A
B
D
=
π
/
2
\angle O_3PD+\angle ABD=\pi/2
∠O3PD+∠ABD=π/2, 所以
O
3
P
⊥
A
B
O_3P\bot AB
O3P⊥AB,
O
3
P
/
/
O
1
O
O_3P//O_1O
O3P//O1O, 同理,
O
1
P
/
/
O
3
O
O_1P//O_3O
O1P//O3O, 因此四边形
O
1
O
O
3
P
O_1OO_3P
O1OO3P 是平行四边形, 所以
O
P
OP
OP,
O
1
O
3
O_1O_3
O1O3 互相平分, 同理,
O
P
OP
OP,
O
2
O
4
O_2O_4
O2O4, 命题得证.
