笔者最近在学习有关多目标优化的内容，并对内容进行一些整理。这篇文章算是笔者的一篇个人学习笔记，也希望能对他人提供一定的帮助，若有不足之处，也欢迎指正和建议。

注：本文中所举例子均为最小化问题。

一.多目标优化的基本概念

 (1)  多目标优化问题（Multiobjective optimization problem,MOP）

           一个多目标优化问题可以用下面的数学形式来表述：

          其中，x为决策向量，所在空间称为决策空间；F(x)为目标向量，所在空间称为目标空间，由m个目标函数组成，在多目标优化中，m一般为2或3，相对应的，单目标优化的m=1.

(2)   支配（Dominance） 

         对于两个解x与y，若对于任意i=1,2,...,m，均有fi(x)<=fi(y)，且存在i，使fi(x)<fi(y)， 则称x支配y，记为。

         简单记忆方法：全部小于等于，至少1个小于。

 (3)   Pareto最优

         Pareto最优原为经济学中的一个概念，在多目标优化中，由于对于不同目标的优化通常是互相矛盾的，故引入该概念。在多目标优化中，若对于解x*，当且仅当x*不被任何其他解支配，称x*为Pareto最优解，由所有Pareto最优解构成的集合，称为Pareto集（Pareto Set），记为PS。相对应的，PS中所有解在目标空间中对应的目标函数值的集合称为Pareto前沿(Pareto Front),记为PF。

      （注意，Pareto最优的概念仅是说该解不被其他解支配，并不是说该解可以支配其他所有解。）

二.NSGA-II

(1) NSGA-II简介

        NSGA-II，全称为Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II，即非支配排序遗传算法，是一种基于支配的多目标优化算法。从其全称我们可以看出，NSGA-II本质上是一种遗传算法，其选择、交叉、变异算子均与遗传算法相同。那么，NSGA-II相较于普通的GA，有什么不同呢？笔者认为，NSGA-II主要多了两个部分，其一就是