【高中数学/指数函数、幂函数】寻找曲线y=2^x与y=x^2的三个交汇点

【问题】

找到曲线y=2^x与y=x^2的三个交汇点。

【难点】

指数和二次函数摆在一起没法求解。

【解答】

y=2^x与y=x^2的交汇点，即曲线y=2^x-x^2的零点，用Canvas作图就能清晰看到三个零点的存在，如图。

【图一】

其中，2，4这两个零点代入原式很容易知道是对的，-0.766这个值是怎么得到的呢？

这里采用的是牛顿中值法，首先从图上看出-1右边有个零点，然后给出一个范围[-1.5,0.5],然后用以下程序计算就得到了精度较高的近似解：

package test240718;

/**
 * 牛顿中值法求2^x=x^2的负根
 * @author 逆火
 *
 */
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        double start=-1.5;
        double end =-0.5;
        double result=99;

        int idx=0;
        while(Math.abs(result)>0.00001){            
            double mid=(start+end)/2;
            result=Math.pow(2,mid)-mid*mid;//解析式
            
            idx++;
            System.out.println("#"+idx+".strat="+format(start)+" mid="+format(mid)+" end="+format(end)+" result="+format(result));

            if(result>0){
                end=mid;
            }else{
                start=mid;
            }
        }
        
        System.out.println("使用牛顿中值法求得2^x=x^2的近似解="+end);
    }
    
    /**
     * 返回保留五位小数的字符串
     * @param d
     * @return
     */
    public static String format(double d){
        java.text.DecimalFormat df =new java.text.DecimalFormat("#0.00000");  
        return df.format(d);
    }
}

该程序输出如下：

#1.strat=-1.50000 mid=-1.00000 end=-0.50000 result=-0.50000
#2.strat=-1.00000 mid=-0.75000 end=-0.50000 result=0.03210
#3.strat=-1.00000 mid=-0.87500 end=-0.75000 result=-0.22037
#4.strat=-0.87500 mid=-0.81250 end=-0.75000 result=-0.09076
#5.strat=-0.81250 mid=-0.78125 end=-0.75000 result=-0.02849
#6.strat=-0.78125 mid=-0.76562 end=-0.75000 result=0.00202
#7.strat=-0.78125 mid=-0.77344 end=-0.76562 result=-0.01318
#8.strat=-0.77344 mid=-0.76953 end=-0.76562 result=-0.00557
#9.strat=-0.76953 mid=-0.76758 end=-0.76562 result=-0.00177
#10.strat=-0.76758 mid=-0.76660 end=-0.76562 result=0.00012
#11.strat=-0.76758 mid=-0.76709 end=-0.76660 result=-0.00083
#12.strat=-0.76709 mid=-0.76685 end=-0.76660 result=-0.00035
#13.strat=-0.76685 mid=-0.76672 end=-0.76660 result=-0.00011
#14.strat=-0.76672 mid=-0.76666 end=-0.76660 result=0.00000
使用牛顿中值法求得2^x=x^2的近似解=-0.76666259765625

至此，找到曲线y=2^x与y=x^2的三个交汇点，(-0.766,0.586)，(2，4），（4，16）均已找到。

【实现图一的Canvas代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
     <title>UNASSIGNED</title>
     <style type="text/css">
     .centerlize{
        margin:0 auto;
        border:0px solid red;
        width:1200px;height:600px;
     }
     </style>
     </head>

     <body οnlοad="draw();">
        <div class="centerlize">
            <canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
                如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
            </canvas>
        </div>
     </body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/

// 系统常量定义处
const TITLE="寻找2^x与x^2曲线的三个交汇点";    // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const SCALE_UNIT=50;                // 缩放比例

// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000;                // 动画运作的期限

//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
    document.title=TITLE;

    // 画图前初始化
    var canvas=document.getElementById('myCanvas');    
    canvas.width=WIDTH;
    canvas.height=HEIGHT; 
    context=canvas.getContext('2d');  
    
    // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
    // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
    // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向
    context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
    context.rotate(Math.PI);
    context.scale(-1,1);

    // 初始化舞台
    stage=new Stage();

    // 开始动画
    animate();
};

//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    
    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1

    stage.update(timeElapsed);
    stage.paintBg(context);
    stage.paint(context);

    if(timeElapsed<TIME_END){        
        window.requestAnimationFrame(animate);
    }
}

//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
    // 内置对象(非必要勿更改)
    var obj=new Object;

    // 对象下的曲线数组(非必要勿更改)
    obj.curves=[];

    // 塞入曲线1(按需修改设定项)
    obj.curves.push({
        name:"曲线:y=2^x-x^2",
        xEnd:5,
        x:-3,
        y:0,
        color:"maroon",
        setY:function(x){
            this.y=Math.pow(2,x)-x*x;// 解析式

            let coord={"x":x,"y":this.y};
            
            this.pts0.push(coord);    
        },
        "pts0":[],
    });
            
    // 随时间更新位置(非必要勿更改)
    obj.update=function(t){
        for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
            var curve=this.curves[i];

            if(curve.x<curve.xEnd){
                curve.x+=0.01;
                curve.setY(curve.x);
            }
        }
    };

    // 画前景
    obj.paint=function(ctx){  
        // 手动标记点
        paintPoint(ctx,-0.766,0,"-0.766","blue");
        paintPoint(ctx,2,0,"2","blue");
        paintPoint(ctx,4,0,"4","blue");

        // 文字左上角位置(可手动修改设定值)
        const X_START=-430;    // 文字横起点
        const Y_START=-75;    // 文字纵起点
        const OFFSET=50;    // 文字间隔
        // 遍历曲线数组(非必要勿更改)
        for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
            var curve=this.curves[i];

            // 曲线名称
            drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,curve.color,18);
            // 曲线当前点坐标
            drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+"  Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,curve.color,18);
            
            // 绘制曲线
            if(curve.pts0){
                paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts0);
                
                // 绘制曲线分段1的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts0);
                //markMaxMin(ctx,mm,curve.color);
            }
            if(curve.pts1){
                paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts1);
                // 绘制曲线分段2的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts1);
                //markMaxMin(ctx,mm,curve.color);
            }
            if(curve.pts2){
                paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts2);
                // 绘制曲线分段3的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts2);
                //markMaxMin(ctx,mm,curve.color);
            }
            if(curve.pts3){
                paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts3);
                // 绘制曲线分段4的高低点(可选)
                //var mm=findMaxMin(curve.pts3);
                //markMaxMin(ctx,mm,curve.color);
            }
        }
    };

    // 画背景(非必要不更改)
    obj.paintBg=function(ctx){
        // 清屏
        ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
        ctx.fillStyle="white";
        ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);

        // 画X轴
        drawAxisX(ctx,-600,600,50);

        // 画Y轴
        drawAxisY(ctx,-300,300,50);

        // 画网格线
        drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);
        
        // 左上角标题
        var metrics = ctx.measureText(TITLE);
        var textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth,HEIGHT/2-30,"grey",18);

        // 右下角作者，日期
        const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
        metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
        textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
    };
    
    return obj;
}

// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,4,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.stroke();

    var metrics = ctx.measureText(text);
    var textWidth = metrics.width;
    drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT+textWidth+2,y*SCALE_UNIT-5,color,12);
}

// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.beginPath();     
    for(var i=0; i<cds.length; i++){
        let y=cds[i].y;
        if(Math.abs(cds[i].y*SCALE_UNIT)<300){
            ctx.lineTo(cds[i].x*SCALE_UNIT,cds[i].y*SCALE_UNIT);
        }
    }     
    ctx.stroke();        
}

// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
    if(cds.length<1){
        return null;
    }

    var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};

    for(var i=0;i<cds.length;i++){
        var y=cds[i].y;

        if(y>retval.max){
            retval.max=y;
            retval.max_x=cds[i].x;
        }

        if(y<retval.min){
            retval.min=y;
            retval.min_x=cds[i].x;
        }
    } 

    return retval;
}

// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
    if(mm==null){
        return;
    }

    // 最大值
    var x=mm.max_x;
    var y=mm.max;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);

    // 最小值
    var x=mm.min_x;
    var y=mm.min;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*SCALE_UNIT,y*SCALE_UNIT,color,12);
}

// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
      ctx.save();
      ctx.beginPath();
      ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
      ctx.fillStyle=color;
      ctx.fill();
      ctx.restore();
}

// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
    ctx.save();
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x1,y1);
    ctx.lineTo(x2,y2);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    ctx.restore();
}

// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
    const AXISY_COLOR="black";

    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(start, 0);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    y=5;
    for(x=start;x<end;x+=step){
        if(x==0){
            continue;
        }

        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, 0);
        ctx.lineTo(x, y);
        
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();

        drawText(ctx,x/SCALE_UNIT+"",x,y-20,AXISY_COLOR,12);
    }

    ctx.restore();
}

// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
    const AXISY_COLOR="black";
        
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(0, start);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    x=5;
    for(y=start;y<end;y+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y);
        ctx.lineTo(0, y);
        
        var text=y/SCALE_UNIT+"";
        var metrics = ctx.measureText(text);
        var textWidth = metrics.width;

        drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);

        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle="lightgrey";    

    // 分十格
    var x,y;
    for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    // 十小格间的分割线
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle="grey";
    ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段

    for(x=x1;x<x2;x+=step1){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
    return degree/180*Math.PI;
}

//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
    var arr=[
        "aqua"   /* aqua湖绿色*/,
        "black"  /* black黑色*/,
        "blue"   /* blue蓝色*/,
        "fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,
        "green"  /* green 绿色*/,
        "grey"   /* grey 草木灰*/,
        "lime"   /* lime 亮绿色*/,
        "maroon" /* maroon 棕色*/,
        "navy"   /* navy 海军蓝*/,
        "orange" /* orange 橙色*/,
        "purple" /* purple 紫色*/,
        "red"    /* red 大红*/,        
        "skyblue"/* skyblue 天蓝*/,
        "teal"   /* teal 蓝绿色*/,
        "yellow" /* yellow 亮黄*/,
        "#88815d"/* # 雪松*/,
        "#4f876c"/* # 伊甸园绿*/,
        "#97572b"/* # 皮革褐*/,
        "#b79777"/* # 卡其*/,
        "#d7ccb6"/* # 象牙白*/,
        "#414142"/* # 木炭艺术*/,
        "#764136"/* # 焦棕*/,
        "#46515a"/* # 深板岩*/,
        "#3c281e"/* # 巧克力*/,
        "#681414"/* # 铁锈红*/,
    ];

    return arr[index % arr.length];
}

//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
    ctx.save();
    ctx.translate(x,y)
    ctx.rotate(getRad(180))
    ctx.scale(-1,1)

    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.font = size+"px consolas";

    ctx.fillText(text,0,0);
    ctx.restore();
}

// JS开立方
function kaiLiFang(x){
    if(x>0){
        return Math.pow(x,1/3);
    }else{
        return -Math.pow(-x,1/3);
    }
}
//-->
/**************************************
人们对于计算机的期望 
其实是一个智商卓绝的大脑 
而不是一个超级计算器

人们对于程序员的期望 
其实是一个能提出可行的整套解决方案的专家， 
而不是一个知识多而不能活学活用的学究。
**************************************/
</script>

【高中数学/指数函数、幂函数】寻找曲线y=2^x与y=x^2的三个交汇点

【问题】

【难点】

【解答】

【实现图一的Canvas代码】

END

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