Description

定义$f_0=0,f_1=1,f_n=2\cdot f_{n-1}+f_{n-2},n>1,g_n=\sum\limits_{i=0}^nf_i^2$

给出$n,y,x,s$，求$x^{g_{ny}}\%(s+1)$

Input

第一行一整数$T$表示用例组数，每组用例输入四个整数$n,y,x,s$，$n,x$为八位数，$y$为四位数，$1\le s\le 10^9$

Output

输出结果

Sample Input

2
20160830 2016 12345678 666
20101010 2014 03030303 333

Sample Output

1
317

Solution

令$s=s+1$，对其质因子分解得$s=p_1^{a_1}...p_k^{a_k}$，由于$m_i=p_i^{a_i}$两两互素，只要可以求出所有的$r_i=x^{g_{ny}}\% m_i$，由中国剩余定理即可求出答案，而由指数循环定理，$x^{g_{ny}}\% m_i=x^{g_{ny}\% \varphi(m_i)+\varphi(m_i)}\% m_i,g_{ny}>m_i$，故问题在于如何求$g_n$，由$f_n^2=4\cdot f_{n-1}^2+4\cdot f_{n-1}f_{n-2}+f_{n-2}^2,f_nf_{n-1}=2\cdot f_{n-1}^2+f_{n-1}f_{n-2}$有转移

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Mat
{
    ll mat[4][4];//矩阵 
    int row,col;//矩阵行列数 
};
Mat mod_mul(Mat a,Mat b,int p)//矩阵乘法 
{
    Mat ans;
    ans.row=a.row;
    ans.col=b.col;
    memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
    for(int i=0;i<ans.row;i++)      
        for(int k=0;k<a.col;k++)
            if(a.mat[i][k])
                for(int j=0;j<ans.col;j++)
                {
                    ans.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
                    ans.mat[i][j]%=p;
                }
    return ans;
}
Mat mod_pow(Mat a,ll k,int p)//矩阵快速幂 
{
    Mat ans;
    ans.row=a.row;
    ans.col=a.col;
    for(int i=0;i<a.row;i++)
        for(int j=0;j<a.col;j++)
            ans.mat[i][j]=(i==j);
    while(k)
    {
        if(k&1)ans=mod_mul(ans,a,p);
        a=mod_mul(a,a,p);
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
ll extend_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{ 
    ll d=a;
    if(b!=0)
    {
        d=extend_gcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
    else 
    {
        x=1;
        y=0;
    }
    return d;
}
ll CRT(int a[],int m[],int n)//a数组表示余数,m数组表示模数,n表示方程个数 
{
    ll M=1,Mi,ans=0,x,y,d;
    for(int i=0;i<n;i++)M*=m[i];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        Mi=M/m[i];
        d=extend_gcd(Mi,m[i],x,y);
        ans=(ans+Mi*x*a[i])%M;
    }
    if(ans<0)ans+=M;
    return ans;
}
int get_euler(int n)
{
    int ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}
ll quick_pow(ll a,ll b,int p)
{
    a%=p;
    ll ans=1ll;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll Solve(ll n,ll x,int p,int pp)
{
    ll ans;
    if(n==0)ans=0;
    else if(n==1)ans=1;
    else
    {
        Mat A;
        A.col=A.row=4;
        A.mat[0][0]=1,A.mat[0][1]=4,A.mat[0][2]=1,A.mat[0][3]=4;
        A.mat[1][0]=0,A.mat[1][1]=4,A.mat[1][2]=1,A.mat[1][3]=4;
        A.mat[2][0]=0,A.mat[2][1]=1,A.mat[2][2]=0,A.mat[2][3]=0;
        A.mat[3][0]=0,A.mat[3][1]=2,A.mat[3][2]=0,A.mat[3][3]=1;
        A=mod_pow(A,n-1,pp);
        ans=(A.mat[0][0]+A.mat[0][1])%pp;
    }
    return quick_pow(x,ans+pp,p);
}
int main()
{
    int T,n,x,s,y,a[33],m[33];
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&n,&y,&x,&s);
        s++;
        int res=0;
        for(int i=2;i*i<=s;i++)
            if(s%i==0)
            {
                int temp=1;
                while(s%i==0)temp*=i,s/=i;
                m[res]=temp,a[res++]=Solve(1ll*n*y,1ll*x,temp,get_euler(temp));
            }
        if(s>1)m[res]=s,a[res++]=Solve(1ll*n*y,1ll*x,s,s-1);
        ll ans=CRT(a,m,res);
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}