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【线性代数】2矩阵

1.矩阵的运算

1.1.定义

矩阵 行列式
数表 数
$A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\2&0&1\end{pmatrix}$ $|B|=\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}$
行数和列数可以不相等 行数和列数必须相等

1.2.加法与数乘

矩阵的数乘：所有元素都乘这个数

矩阵的加法：对应位置处元素相加

🦊已知A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\mathrm{,}B= \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}，求3A+B.

$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 1& -1\\0& 1& 1\end{array}\right)$         $3A=\left(\begin{array}{ccc}3& 3& -3\\6& 0& 3\end{array}\right)$         $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\3& 0& 2\end{array}\right)$

$3A+B=\left(\begin{array}{ccc}3& 3& -3\\6& 0& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -1\\3& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 5& -4\\9& 0& 5\end{array}\right)$

1.3.乘法

矩阵乘法三步法$A_{m\times n},B_{n\times k}$

①$AB$能不能乘：内定乘

②$AB$乘完是何类型：外定型

③$AB$中的元素是什么：左出行，右出列

🦊已知A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix},B= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}，求AB.

由于A是两行三列的矩阵，B是三行两列的矩阵。所以AB是两行两列的矩阵。

\begin{aligned} \mathrm{AB} & = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 0\times1+1\times0+2\times1 & 0\times1+1\times1+2\times0 \\ 2\times1+0\times0+3\times1 & 2\times1+0\times1+3\times0 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

1.4.转置

$A^T:$ 矩阵$A$的转置，就是将矩阵$A$行列互换后得到的矩阵。

\left|A^T\right|=\left|A\right|

🦊已知矩阵$A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&3&2\end{pmatrix}$，求矩阵$A$的转置$A^T.$

矩阵A为两行三列的矩阵，$A=\begin{pmatrix}2&0&-1\\1&3&2\end{pmatrix}$

矩阵A^T为三行两列的矩阵，A^T= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

1.5.方阵的行列式

方阵行列式的公式：

$|kA|=k^n\left|A\right|$

$\left|A\boldsymbol{B}\right|=\left|\boldsymbol{B}A\right|=\left|A\right|\left|\boldsymbol{B}\right|$

🦊设A,B为四阶方阵，且|A|=3，且|3B|=81，|AB|=________.

|3B| = 3^4 |B|\\ |3B| = 81 |B| = 81\\ |B| = 1 \\|A| = 3\\ |AB| = |A| |B| = 3\times 1 = 3

🦊设A,B为三阶方阵，且|A|=-3,|B|=2,则|2A^TB|=________.

根据公式|kA|=k^n|A|可得|2A^TB|=8|A^TB|。

根据公式|AB|=|A||B|,|A^T|=|A|可得|A^TB|=|A||B|。

所以|2A^TB|=8|A||B|=8\times (-3)\times2=-48

2.矩阵的求逆

逆矩阵就相当于矩阵的“倒数”，对于一个方阵(行数和列数相等的矩阵)$A$，如果存在另一个矩阵$B$，使得$A$乘以$B$等于单位矩阵$E$ (单位矩阵就像数字中的1，主对角线上都是1，其他位置都是0)，那么$B$就是$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。

可逆的充要条件

矩阵A可逆的充要条件是|A|\neq0

🦊已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1&3\\0&2&2\\0&0&-1\end{pmatrix}$，判断矩阵$A$是否为可逆矩阵。

由于$|A|$为上三角形行列式，所以$|A|$等于主对角线元素相乘

即$|A|=-2$

由于$|A|\neq0$，所以矩阵$A$可逆

2.1.伴随矩阵法（二阶具体方阵求逆）

伴随矩阵

伴随矩阵主要用于求逆矩阵，因为有一个重要的公式$A^{- 1}= \frac {A^* }{| A| }$，其中$|A|$是矩阵$A$的行列式。当$|A|\neq0$时，就可以通过这个公式利用伴随矩

悦读

道可道，非常道；名可名，非常名。 无名，天地之始，有名，万物之母。 故常无欲，以观其妙，常有欲，以观其徼。 此两者，同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。

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