规划问题的MATLAB求解

离散系统的优化问题一般可以通过规划模型来求解。利用MATLAB提供的强大的规划模型求解命令，可以简单快速地得到想要的结果。

规划模型可以简单的分为三个部分：线性规划、整数规划和非线性规划。

线性规划

例题2-1 电视台播映问题

题目略
设一周播出甲片$a$次，乙片$b$次，容易得到如下关系：

$a+b<7$

$0.5a+b\ge 3.5$

$3.5a+b\le 16$

$a,b\in N$

目标函数为：$F=60a+20b$

线性规划问题的MATLAB标准形式

$min$ $c^{T}x$ $s.t$ $Ax\le b$

$c$,$x$为$n$维列向量；$b$为$m$维列向量；$A$为$m\times n$矩阵

求解线性规划问题的MATLAB解法

MATLAB中线性规划的标准型为

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

fval返回目标函数的值；Aeq,beq对应等式约束$Ax=b$；LB和UB分别是变量x的下界和上界;X0是x的初始值；OPTIONS为控制参数。

更详细可看官方文档关于linprog的介绍。

例题2-2 求解线性规划问题

$min$ $z=2x_1+3x_2+x_3$

$x_1+4x_2+2x_3\ge 8$

$3x_1+2x_2\ge 6$

$x_1,x_2,x_3\ge 0$

代码如下：

c=[2;3;1];
A=-1.*[1 4 2;3 2 0];
b=-1.*[8;6];
LB=[0;0;0];
[x,fval]=linprog(c,A,b,[],[],LB);

非线性规划

目标函数中包含非线性函数，则称这种规划问题为非线性规划问题。

非线性问题的MATLAB解法

在MATLAB中非线性规划问题的数学模型可以写成以下形式：

$min$ $f(x)$

$Ax\le b$

$Aeq\cdot x=Beq$

$C(x)\le 0$

$Ceq(x)=0$
其中$f(x)$是标量函数；$A,B,Aeq,Beq$是相应维数的矩阵和向量，$C(x),Ceq(x)$是非线性函数。

在MATLAB中的命令是

X = FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)

返回值是向量$x$。FUN为定义的函数$f(x)$,X0是$x$的初始值。A,B,Aeq,Beq定义了线性约束条件$Ax\le b$和$Aeq\cdot x=b$,如果没有线性约束，则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]。LB和UB是x的下界和上界，如果上界和下界没有约束则也用[]表示。NONLCON是用M文件定义的非线性向量函数$C(x)$,$Ceq(x)$。OPTIONS定义了优化参数，可以使用MATLAB默认的参数设置。

更详细可以看官方文档关于函数FMINCON的介绍。

例题2-7 求解非线性规划

题目略

fun1.m

function f=fun1(x)
f = x(1)^2+x(2)^2+8;

fun2.m

function [g,h]=fun2(x)
g=-x(1)^2+x(2);
h=-x(1)-x(2)^2+2;

Fminconex.m

options=optimset;
[x,y]=fmincon('fun1',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[],'fun2',options);

得到最终结果，当$x_1=x_2=1$时，$f(x)$最小为10.

二次规划问题

如果某个非线性规划问题中，目标函数是二次函数，而约束条件均为线性时，则称这个问题为二次规划问题。

在MATLAB中二次规划的数学模型可表述如下：

$min$ $\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x$ , $s.t.$ $Ax\le b$

其中$f,b$是列向量，$A$是相应维数的矩阵，$H$是实对称矩阵。

[X,FVAL]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS)

X的返回值是向量$x$,FVAL的返回值是目标函数在$x$处的值。

更多内容请见官方文档关于quadprog的介绍。

例题2-9 求解二次规划

题目略

h=[4 -4;-4 8];
f=[-6;-3];
A=[1 1;4 1];
b=[3;9];
[x,value]=quadprog(h,f,A,b,[],[],zeros(2,1),[]);
disp(['x1=',num2str(x(1))]);
disp(['x2=',num2str(x(2))]);
disp(['value=',num2str(value)]);

整数规划

当规划中的变量（部分或全部）被限制为整数时，称为整数规划。
目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种能有效求解一切整数规划的方法。

常见的整数规划方法：（一般通过多次迭代，增加限制条件达到求解的目的）

• 分枝定界法
• 割平面法
• 隐枚举法
• 匈牙利法
• 蒙特卡罗法

随机取样计算法

随机取样计算法，针对非线性整数规划问题的求解，依据概率理论，在一定计算量的限制下，得到问题的解。

例2-12 非线性整数规划问题的求解

题目略
mengte.m代码如下：

function [f,g]=mengte(x)
f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)^2-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-x(4)-2*x(5);
g(1)=sum(x)-400;
g(2)=x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800;
g(3)=2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200;
g(4)=x(3)+x(4)+5*x(5)-200;

randprog.m代码如下

rng(sum(clock),'v5uniform');
p0=0;
for i=1:10^5
    x=99*rand(5,1);
    x1=floor(x);
    x2=ceil(x);
    [f,g]=mengte(x1);
    if sum(g<=0)==4
        if p0<=f
            x0=x1;p0=f;
        end
    end
    [f,g]=mengte(x2);
    if sum(g<=0)==4
        if p0<=f
            x0=x1;p0=f;
        end
    end
end
for i=1:5
    disp(['ans=',num2str(x0(i))]);
end
disp(['val=',num2str(p0)]);

由于随机取样，每次运行结果不一定一致，但误差较小。需要多次运行，减少误差，增加答案的可信度。