RSA加密算法

参考这篇

1. 参数设置（密钥生成）
   a. 选择两个大素数 $p$，$q$
   b. 计算$n=p\ast q$
   c. 计算$\varphi (n)=(p-1)\ast (q-1)$ 这里用的是欧拉定理，这篇文章2.3情况4
   d. 选择一个数$e，1<e<m$，并且$gcd(e,\varphi (n))=1$
   e. 计算$e$在模$\varphi (n)$上的逆元$d$，这里使用拓展欧几里得算法求$d$
   拓展欧几里得算法：对于$a$，$b$互质，那么有$ax+by=gcd(a,b)$，$x$，$y$在拓展欧几里得算法里面都是可以求出来的
   这里对$ed\equiv 1mod\varphi (n)$转换一下形式
   $ed\equiv 1\mathrm{mod}\varphi (n)$
   $ed=1+k\ast \varphi (n)$
   $ed-k\ast \varphi (n)=gcd(e,\varphi (n))=1$
2. 加密
   a. $c\equiv m^e\mathrm{mod}n$
3. 解密
   a. $m\equiv c^d\equiv m^{ed}\mathrm{mod}n\equiv m^{1+k\varphi (n)}\equiv m^1\mathrm{mod}n$欧拉定理$m^{\varphi (n)}\equiv 1\mathrm{mod}n$
   b. 这里$n=p\ast q$，$n$的因子只有$1,p,q,n$，$m$与$n$互质