高斯白噪声解惑

1 连续高斯白噪声和离散高斯白噪声有什么异同？

实际场景中的高斯白噪声都是时间上连续的，而离散的噪声则常应用于计算机仿真中。离散噪声就是从连续的噪声数据中采样得到。

2 两者的功率谱有什么含义？

连续高斯白噪声的功率谱为功率密度（w/Hz或J）随频率分量（Hz）变化的情况，平均功率即为曲线的积分；已知白噪声的功率谱为常数，每个时间点的能量为 $N_{0}/2=\sigma ^{2}$ ，功率为无穷小。整个频带上平均功率为无穷大。

另外，对于窄带高斯白噪声，假设单边带宽为B，则平均功率有限，为 $N_{0}*B$ 。

功率谱的定义如下：

$S(\omega )=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\left | F(\omega,T) \right |^{2}$

平均功率的计算如下：

$P=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}s(\omega)d\omega$

离散高斯白噪声的功率谱为功率（w）随点数的变化，所有功率点之和为能量（由于离散时间，因此每个点的功率存在，注意，这里的总和不再是平均功率！），这里的平均功率则为能量除以点数，为有限值 $N_{0}/2=\sigma ^{2}$ 。

另外，对于有限点数情况，能量有限，平均功率不变。

功率谱的定义如下：

$S(k)=\frac{1}{N}\left | X[k]\right |^{2}$

平均功率的计算如下：

$P=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}s(k)$

下附离散高斯白噪声代码验证

%% 结论：离散高斯白噪声功率谱意义：每个点对应的为功率(w)，而非功率密度（w/Hz）
% 因此功率谱为常数，则无数个点的总功率为无限大，即能量无限大，而平均功率则为常数sigma^2
% 对高斯噪声随机采样点进行排序，则功谱不再为常数，但总功率不变
% 高斯噪声的功率计算方法有三种：
% 由高斯分布的方差（0.8^2）直接得出；由功率谱的幅度平均得出；由时域或频域能量除以点数N得出
N=100;fftN=100;
x1=0.8*randn(1,N);%功率计算方法1
x2=fft(x1,fftN);
x3=abs(x2).^2/N;%功率谱
x4=sum(x3)/N;%平均功率，功率计算方法2
plot(x3);

y1=sort(x1);
y2=fft(y1,fftN);
y3=abs(y2).^2/N;%功率谱
y4=sum(y3)/N;
figure(2);
plot(y3);

%时域能量=频域能量
e1=sum(x1.*x1);f1=sum(abs(x2).^2)/N;
e2=sum(y1.*y1);f2=sum(abs(y2).^2)/N;
%时域功率=频域功率
p1=e1/N;fp1=f1/N;%功率计算方法3
p2=e2/N;fp2=f2/N;

0.8*0.8%理论功率