1、题目

2、平方根法

对于对称正定矩阵 A，存在唯一的下三角矩阵 L，其主对角线元素均为正，使得$A=L{L}^T$。将线性方程组 $Ax=b$ 中的 A 用 $L{L}^T$ 替换，得到 $L{L}^{T}x=b$。令 $y=L^{T}x$，则原方程组可转化为两个三角方程组：$Ly=b$ 和$L^{T}x=y$ 。

3、代码原理

这部分为原理讲解，代码被拆开讲解。需要完整代码请下翻至4、代码处。
此部分代码：
清除缓存与输入所需要的矩阵
clear为清除matlab窗口右侧的工作区（运行代码产出的变量所在位置）
clc为清除matlab窗口下方的命令行窗口
A、B为题目矩阵，x0是matlab内嵌算法的计算解（可以称为精确解）

%平方根法
clear
clc
%线性方程组
A=[4,2,-4,0,2,4,0,0;
  2,2,-1,-2,1,3,2,0;
  -4,-1,14,1,-8,-3,5,6;
  0,-2,1,6,-1,-4,-3,3;
  2,1,-8,-1,22,4,-10,-3;
  4,3,-3,-4,4,11,1,-4;
  0,2,5,-3,-10,1,14,2;
  0,0,6,3,-3,-4,2,19];
B=[0;-6;6;23;11;-22;-15;45];
x0=A^(-1)*B;%精确解

此部分代码：
初始化变量
size（A，1）是A矩阵的第一个维度（行），n代表A矩阵有几行
x是最终要求的解，y是中间解。$L{L}^{T}x=b$，$y=L^{T}x$。这里把B赋值给x与y仅仅是为了初始化x与y，为了它们的矩阵维度与B一样（这题就是B、x、y都是8行1列矩阵）
zeros（n，n）是生成一个全是0元素的n行n列矩阵，L是A的分解矩阵

%主程序
n=size(A,1);
y=B;
x=B;
L=zeros(n,n);%A的分解矩阵L

此部分代码：
求解出A的分解矩阵L，由公式$A=L{L}^T$得出
当 j=1，2，…，n 时：
$l_{jj}={\left(a_{jj}-{\sum }_{k=1}^{j-1}{l}_{jk}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$；
$l_{ij}=\left(a_{ij}-{\sum }_{k=1}^{j-1}{l}_{ik}{l}_{jk}\right)/l_{jj},i=j+1,\cdots ,n$

%求解L矩阵的值
for j=1:n
    L(j,j)=sqrt(A(j,j)-sum(L(j,1:j-1).^2));
    for i=j+1:n
        L(i,j)=(A(i,j)-sum(L(i,1:j-1).*L(j,1:j-1)))/L(j,j);
    end
end

此部分代码：
用$Ly=b$求y
$y_i=\left(b_i-{\sum }_{k=1}^{i-1}{l}_{ik}{y}_k\right)/l_{ii},i=1,2,\cdots ,n$

%求解Ly=B
for i=1:n
    y(i,1)=(B(i,1)-sum(L(i,1:i-1)*y(1:i-1,1)))/L(i,i);
end

此部分代码：
用$L^{T}x=b$求x
$x_i=\left(b_i-{\sum }_{k=i+1}^n{l}_{ki}{x}_k\right)/l_{ii},i=n,n-1,\cdots ,1$

%求解L'x=y
L=L';
for i=n:-1:1
    x(i,1)=(y(i,1)-sum(L(i,i+1:n)*x(i+1:n,1)))/L(i,i);
end

4、代码

%平方根法
clear
clc
%线性方程组
A=[4,2,-4,0,2,4,0,0;
  2,2,-1,-2,1,3,2,0;
  -4,-1,14,1,-8,-3,5,6;
  0,-2,1,6,-1,-4,-3,3;
  2,1,-8,-1,22,4,-10,-3;
  4,3,-3,-4,4,11,1,-4;
  0,2,5,-3,-10,1,14,2;
  0,0,6,3,-3,-4,2,19];
B=[0;-6;6;23;11;-22;-15;45];
x0=A^(-1)*B;%精确解

%主程序
n=size(A,1);
y=B;
x=B;
L=zeros(n,n);%A的分解矩阵L
%求解L矩阵的值
for j=1:n
    L(j,j)=sqrt(A(j,j)-sum(L(j,1:j-1).^2));
    for i=j+1:n
        L(i,j)=(A(i,j)-sum(L(i,1:j-1).*L(j,1:j-1)))/L(j,j);
    end
end
%求解Ly=B
for i=1:n
    y(i,1)=(B(i,1)-sum(L(i,1:i-1)*y(1:i-1,1)))/L(i,i);
end
%求解L'x=y
L=L';
for i=n:-1:1
    x(i,1)=(y(i,1)-sum(L(i,i+1:n)*x(i+1:n,1)))/L(i,i);
end

5、结果

精确解：x=(1,-1,0,2,1,-1,0,2)
近似解：x=(1,-1,0,2,1,-1,0,2)

本人刚刚开始学习matlab，才疏学浅，不对之处请大家指正。
需要代码详细讲解的小伙伴可以点此链接：数值分析上机实验（一）——基于matlab的平方根法，或者去B站搜索头号庄稼进行观看。