抽象代数学习笔记（7）对称群与置换群

我刚接触抽象代数的那段时间，一直在考虑一个问题，抽象代数有什么实际应用。后来听说，群在研究一些具有对称性质的对象时有奇效。于是我试着用群去描述一些简单的几何变换，发现确实如此。这就是我在置换那篇文章的最后让大家思考等边三角形变换的原因。
如果大家在看群的定义时，回想一下集合 $S=\{1,2,...n\}$ 上的所有置换，不难发现这些置换也能构成群。这个群被叫做对称群，记为 $S_n$ 。而 $S_n$ 的任意一个子群被称作置换群。
为了了解置换的性质，我们用循环的乘积表示置换。

如果 $n$ 阶置换 $P$ 把 $k$ 个数码 $i_1,i_2,...i_k$ 按如下方式对应：

$P (i 1) = i 2, P (i 2) = i 3, . . ., P (i k) = i 1$ $P(i_1)=i_2,\ P(i_2)=i_3,\ ...,\ P(i_k)=i_1$
而对于其余数码 $x,p(x)=x$ 。则说 $P$ 是一个 $k$ 循环。记作
$P = (i 1, i 2, . . . i n)$ $P=(i_1,i_2,...i_n)$

当然，一个循环不止一种写法。 $(i_1,i_2,...i_n)和(i_2,i_3,...i_n,i_1)$ 是一个循环。
两个循环是不交的，如果两个循环中的数码都不相同。如果两个循环不交，那么这两个循环显然是可以交换位置的。例如置换

[122331445665]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 2 & 3 & 1 & 4 & 6 & 5 \end{bmatrix}\quad$
中有两个循环

(1,2,3),(5,6) $(1,2,3),(5,6)$ ，那么这两个循环无论以何种方式复合，结果都是

[122331445665]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ 2 & 3 & 1 & 4 & 6 & 5 \end{bmatrix}\quad$
我们再来看一下循环本身，最简单的循环是只有两个数码的循环，比如上面那个例子中的

(5,6) $(5,6)$ ，要研究那些大的循环，可否将任意一个循环表示成若干2循环的乘积呢？答案当然是肯定的。还是上面那个例子，循环

(1,2,3) $(1,2,3)$ 可以表示成

(1,3)(1,2) $(1,3)(1,2)$ 。注意，这两个2循环是相交的，所以不能交换位置。
现在我们介绍两个置换群的子群：
* 设

S={1,2,...,n} $S=\{1,2,...,n\}$ ，

G $G$ 是

S $S$ 上的一个置换群，

T $T$ 是

S $S$ 的任意一个子集，令

GT={P∈G|P(t)=t,t∈T} $G_T=\{P \in G|P(t)=t, t\in T\}$ ，那么

GT $G_T$ 是G的一个子群。证明很简单：首先，恒等置换

is $i_s$ 必然属于

GT $G_T$ ，并且是

GT $G_T$ 的单位元；其次，如果

P,Q∈GT $P,Q\in G_T$ ，那么对于

T $T$ 中任意元素

t $t$ ，

(PQ)(t)=t $(PQ)(t)=t$ ，也就是说

PQ∈GT $PQ\in G_T$ ；最后，如果

P∈GT $P\in G_T$ ，那么

(PP−1)(t)=(P−1P)(t)=t $(PP^{-1})(t)=(P^{-1}P)(t)=t$ 。故

GT $G_T$ 是G的一个子群。
* 设

S={1,2,...,n} $S=\{1,2,...,n\}$ ，

G $G$ 是

S $S$ 上的一个置换群，

T $T$ 是

S $S$ 的任意一个子集，令

GT={P∈G|P(t)⊆T} $G^T=\{P \in G|P(t)\subseteq T\}$ ，那么

GT $G^T$ 是G的一个子群。证明方法与上面类似，只是需要说明

P(t)⊆T $P(t)\subseteq T$ 和

P(t)=T $P(t)=T$ 其实是等价的。

这两个子群， $G_T$ 使 $T$ 中的元素保持不动， $G^T$ 使 $T$ 中的元素只在 $T$ 中变动，所以 $G_T\subseteq G^T$ 。讲完这些回想一下置换一文中提到的三角形变换：
循环 $(1,2),(2,3),(1,3)$ 代表的置换可以构成形如 $G_T$ 的子群。 $T$ 分别对应 $\{3\},\{1\},\{2\}$ 。从几何的角度说， $T$ 称之为对称轴。
循环 $(1,2,3),(2,3,1)$ 代表的置换可以构成形如 $G^T$ 的子群。几何意义是对三角形做120°旋转变换。
置换群还有很多例子,建议高中化学学得不错的小伙伴考虑考虑手性分子结构。对密码学有兴趣的可以搜一下移位密码(一种移位密码)，移位密码一般用环论解释，但个人认为用群论也能够理解。密码学不太了解,如果这里说的有问题，不吝赐教。

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