信道估计的相关方法及MATLAB仿真

本文是XDU随机信号课程的大作业，因为笔者之前只是浅显的接触过信道估计的概念，所以借此机会查阅了一些资料并进行了一些MATLAB的仿真实验加深理解。由于涉猎不深，请读者仅供参考，如有错误也欢迎各位大佬在评论区讨论指正~

一. 背景引入

在所有的通信过程中，从输入端到输出端，都要经过一定的介质（通道），当信号通过这些通道时，信号会发生衰减、相移、失真等变化，还会有噪声加入，要想在将输出的信号正确解码而且没有太多的错误，我们就需要从接收的信号中删除信道对于信号施加的影响。为此，第一步是找出信号经过的信道的特征，这就是信道估计。

如果信道是线性的话，那么信道估计就是对系统冲激响应进行估计。需强调的是信道估计是信道对输入信号影响的一种数学表示，而“好”的信道估计则是使得某种估计误差最小化的估计算法。通过信道估计，接收机可以得到信道的冲激响应，从而为后续的相干解调提供所需的信道状态信息。一个良好的估计和均衡算法对于接收端的性能至关重要，决定了信号最终的的解出率。

二. 实验原理

1. 信道估计的基本流程如下：

（1）建立信道矩阵的模型，将输入信号和输出信号关联起来

（2）一端输入传输信号，输出端检测信号

（3）通过比较传输的信号和接收到的信号，找出信道矩阵中的元素

2. 信道估计的基本思想如下：

3. 多径信道的产生原理：

当通信环境比较复杂时，信号在接收端会由多个信号副本组成，假设要发送的基带信号u(t)，通过将发送信号与高频载波相乘，并取结果的实部，即为发送端最终发送的信号。乘载波的过程可以表示为：

该信号的多个副本经过不同传播路径后在接收端叠加，叠加后信号可以表示为：

是不同路径信号幅度时变衰减，由路径损耗和阴影衰落确定；是不同路径的信号路径传输时延，是不同路径的多谱勒相移。从上式可以看出，相比于原始信号，第路多径信号的相位变化量为：

上式可以转换成输入信号和信道响应相互卷积的形式

直观地来理解一下上面的卷积形式的接收信号：对于任意的发射时刻都有可能对时刻的接收信号产生贡献。但是究竟是哪几个时刻发射信号会产生贡献和产生什么样的贡献呢？回答了这个问题，通过与卷积，确定了发射时刻和接受时刻的时间差等于路径传输时延的信号，并赋予了幅度衰减和相位变化。表示

时刻发出的信号，在时刻收到，此时信号对应的信道系数。体现了时变信道的两个特点： 1. 通信时间不同（t不同），对应信道状态不同 2. 传播延时不同

不同），对应信道状态不同。在最简化的情况下，信道响应不随时间发生变化，这样一来信道响应就只与多径时延有关，即

4. 信道估计的方法

信道估计的方法有很多种，大体上可分为两类，一类是基于训练序列的信道估计，而另一类是信道的盲估计（自适应估计），其估计过程不依赖已知信息。常见通信系统的信道估计，绝大部分是基于训练序列的估计方法，这里面最最常用的两个信道估计算法就是LS算法和MMSE算法。LS是最小二乘、MMSE是最小均方误差，它们都是所谓的最优化准则，即得到最优信道估计所遵循的准则，有时也被称为代价函数。

（1）最小二乘法信道估计算法（LS）

建立如下信号关系式：

其中Y为实际接收数据，Y’为估计的接收数据，其大小均为N1X1的矩阵（N1为参与LSCE计算的数据数量），Z 为噪声也是一个N1X1的矩阵，H是真实信道矩阵，H’是估计信道矩阵，大小为N2X1（N2为估计的多径数量）。X为发送数据矩阵，是一个N1XN2的矩阵，其包含的数据为按行进行符号延迟的数据。

依据LS最优准则对上式中H’进行估计，首先给出LS准则的代价函数：

上式中的H’就是LS信道估计的结果，可见其计算过程需要对X的自相关矩阵进行求逆运算，在实际使用中，因为X矩阵是已知的，因此XHX的逆矩阵可以提前计算出来，而不用在代码实现中再进行求逆运算，从而简化计算过程。LS信道估计使用的优化准则为：实际接收数据（实际观测量）与估计的接收数据（估计观测量）之间的误差平方和最小。这就造成了估计出来的信道矩阵与实际的信道矩阵存在一定误差，而且这个误差会随着信噪比的降低越来越大，这也是为什么LS信道估计不适合应用在信噪比较低的场景中。

最小二乘法信道估计算法（LS）仿真

% 初始化参数
N = 100;  % 样本数量
sigma = 0.1;  % 信道噪声方差

% 生成信道h
h = sqrt(sigma) * (randn(1, N) + 1j * randn(1, N));

% 生成导频信号x
k = 1:N; 
M1 = 1;
x = exp((1j * pi * M1 * k.^2) / N).';

% 生成噪声nt
nt = sqrt(sigma) * (randn(1, N) + 1j * randn(1, N));

% 构造接收信号y
y = h .* x + nt;

% LS法信道估计
h_est = y ./ x;

% 输出信号的构造
t = linspace(0, 2*pi, N);
input_signal = 8 * sin(5*t + 8);
output_signal = 3 * sin(5*t + 10);

% 下采样因子
downsample_factor = 5;

% 下采样索引
indices = 1:downsample_factor:N;

% 确保索引不超过向量长度
if indices(end) > N
    indices = indices(1:end-1);
end

% 绘制结果
figure;
subplot(3, 1, 1);
plot(indices, abs(h(indices)), 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(indices, abs(h_est(indices)), 'r--', 'LineWidth', 2);
legend('真实信道h', '估计信道h\_est');
title('信道幅度对比');
xlabel('样本点');
ylabel('幅度');
grid on;

subplot(3, 1, 2);
plot(indices, angle(h(indices)), 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(indices, angle(h_est(indices)), 'r--', 'LineWidth', 2);
legend('真实信道h', '估计信道h\_est');
title('信道相位对比');
xlabel('样本点');
ylabel('相位');
grid on;

subplot(3, 1, 3);
plot(t(indices), input_signal(indices), 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(t(indices), output_signal(indices), 'r--', 'LineWidth', 2);
legend('输入信号', '输出信号');
title('输入输出信号对比');
xlabel('时间');
ylabel('信号幅度');
grid on;

通过观察仿真图可知，估计信道与真实信道存在着较大的差距。这是因为在LS估计中，我们使用Y和Y‘’来进行计算，估计出的结果是H’而并非H，若估计的结果H’使得Y’与Y误差最小，则能得到的结果应该是H’与H(带三角)的误差最小，但H(带三角)也不是真实的信道矩阵，其内还包含了一个误差项Z/X，因此对于LS信道估计而言，其结果的精度是受这个误差项影响的。

当改变增大噪声的方差以此来减小信噪比，仿真结果如下：

可以发现估计信道和真实信道之间的误差更大，论证了LS信道估计法不适用于信噪比低的环境下。

（2）最小均方信道估计算法（MMSE）

LS算法使用的是实际观测量与估计观测量的误差，这并不能精确的代表估计量的真值与估计值的误差，因此在MMSE估计算法中，直接使用估计量真值与估计值的误差，作为优化的目标。这样就将噪声的影响消除掉了，因此能得到比LS估计更精确的估计值。

给出假定的信号关系式

Y为接收数据（包含多径）大小为Nx1。X为先验信息，大小为NXM。h为信道冲激响应，大小为MX1。Z为噪声，大小为NX1。MMSE信道估计的代价函数为：

MMSE信道估计的计算，用到了LS信道估计的结果，并且还需要知道信道相关矩阵Rh以及信道噪声的平均功率σ2，才能进行计算，计算式中有两个矩阵求逆运算，可见其计算量比较巨大，不太适合直接计算。信道相关矩阵Rh以及信道噪声的平均功率σ2，都可通过LS估计的结果得到。

最小均方信道估计算法（MMSE）仿真

% 初始化参数
N = 100;  % 样本数量
sigma = 0.1;  % 信道噪声方差
SNR = 10;  % 信噪比（线性值）

% 生成信道h
h = sqrt(sigma) * (randn(1, N) + 1j * randn(1, N));

% 生成导频信号x
k = 1:N; 
M1 = 1;
x = exp((1j * pi * M1 * k.^2) / N).';

% 生成噪声nt
nt = sqrt(sigma) * (randn(1, N) + 1j * randn(1, N));

% 构造接收信号y
y = h .* x + nt;

% 信号和噪声功率
P_signal = mean(abs(x).^2);
P_noise = sigma;

% MMSE法信道估计
h_mmse = (conj(x) .* y) ./ (abs(x).^2 + P_noise/P_signal);

% 输出信号的构造
t = linspace(0, 2*pi, N);
input_signal = 8 * sin(5*t + 8);
output_signal = 3 * sin(5*t + 10);

% 下采样因子
downsample_factor = 5;

% 下采样索引
indices = 1:downsample_factor:N;

% 确保索引不超过向量长度
if indices(end) > N
    indices = indices(1:end-1);
end

% 绘制结果
figure;
subplot(3, 1, 1);
plot(indices, abs(h(indices)), 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(indices, abs(h_mmse(indices)), 'r--', 'LineWidth', 2);
legend('真实信道h', '估计信道h\_mmse');
title('信道幅度对比');
xlabel('样本点');
ylabel('幅度');
grid on;

subplot(3, 1, 2);
plot(indices, angle(h(indices)), 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(indices, angle(h_mmse(indices)), 'r--', 'LineWidth', 2);
legend('真实信道h', '估计信道h\_mmse');
title('信道相位对比');
xlabel('样本点');
ylabel('相位');
grid on;

subplot(3, 1, 3);
plot(t(indices), input_signal(indices), 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(t(indices), output_signal(indices), 'r--', 'LineWidth', 2);
legend('输入信号', '输出信号');
title('输入输出信号对比');
xlabel('时间');
ylabel('信号幅度');
grid on;

（3）LMMSE信道估计

LMMSE信道估计方法，相对于MMSE估计，它在不损失太多性能的前提下，降低了计算的复杂度，因此大部分的实际系统中，实用的就是这个估计方法。

将MMSE计算公式中的XHX用其均值来代替，即：

LMMSE估计比MMSE估计省掉了一个矩阵求逆过程，实际工程中，还是有诸如SVD分解等其他的方法来进一步降低LMMSE的计算量。

三. 实验过程

（1）LS信道估计方法

% 参数初始化
N = 100; % 样本数
sigma = 0.5; % 噪声方差
SNR_dB = -5:5:30; % 信噪比范围，单位为dB
numSNR = length(SNR_dB); % 信噪比数量

% 生成信道 h
h = sqrt(sigma) * (randn(1, N) + 1j * randn(1, N));

% 生成导频信号 x
k = 1:N;
M1 = 1;
x = exp((1j * pi * M1 * k.^2) / N).';

% 生成噪声
nt = sqrt(sigma/2) * (randn(N, numSNR) + 1j * randn(N, numSNR));

% 初始化变量以存储结果
h_est = zeros(N, numSNR);
mean_distance = zeros(1, numSNR);
h_magnitude = zeros(N, numSNR);
h_phase = zeros(N, numSNR);
h_est_magnitude = zeros(N, numSNR);
h_est_phase = zeros(N, numSNR);

for idx = 1:numSNR
    % 计算线性信噪比
    SNR_linear = 10^(SNR_dB(idx) / 10);
    % 计算噪声功率
    noise_power = sigma / SNR_linear;
    % 生成噪声
    noise = sqrt(noise_power / 2) * (randn(N, 1) + 1j * randn(N, 1));
    
    % 生成接收信号 y
    y = h.' .* x + noise;
    
    % LS 信道估计
    h_est(:, idx) = y ./ x;
    
    % 计算误差
    real_diff = real(h) - real(h_est(:, idx)).';
    imag_diff = imag(h) - imag(h_est(:, idx)).';
    mean_distance(idx) = mean(sqrt(real_diff.^2 + imag_diff.^2));
    
    % 幅值和相位
    h_magnitude(:, idx) = abs(h);
    h_phase(:, idx) = angle(h);
    h_est_magnitude(:, idx) = abs(h_est(:, idx));
    h_est_phase(:, idx) = angle(h_est(:, idx));
end

% 绘制平均距离与信噪比的关系
figure;
plot(SNR_dB, mean_distance, '-o');
xlabel('SNR (dB)');
ylabel('Mean Distance');
title('估计值与真实值之间的平均距离');

% 幅值比较
figure;
subplot(2,1,1);
plot(SNR_dB, mean(h_magnitude, 1), '-o');
hold on;
plot(SNR_dB, mean(h_est_magnitude, 1), '-x');
xlabel('SNR (dB)');
ylabel('Magnitude');
title('幅值比较');
legend('真实幅值', '估计幅值');

% 相位比较
subplot(2,1,2);
plot(SNR_dB, mean(h_phase, 1), '-o');
hold on;
plot(SNR_dB, mean(h_est_phase, 1), '-x');
xlabel('SNR (dB)');
ylabel('Phase (radians)');
title('相位比较');
legend('真实相位', '估计相位');

% 分析幅值和相位的分布
figure;
subplot(2,1,1);
histogram(h_magnitude(:), 'Normalization', 'pdf');
hold on;
histogram(h_est_magnitude(:), 'Normalization', 'pdf');
xlabel('Magnitude');
ylabel('Probability Density');
title('幅值分布');
legend('真实幅值', '估计幅值');

subplot(2,1,2);
histogram(h_phase(:), 'Normalization', 'pdf');
hold on;
histogram(h_est_phase(:), 'Normalization', 'pdf');
xlabel('Phase (radians)');
ylabel('Probability Density');
title('相位分布');
legend('真实相位', '估计相位');

（2）MMSE信道估计

clear all
% 参数初始化
N = 100; % 样本数
sigma = 0.5; % 噪声方差
SNR_dB = -10:5:30; % 信噪比范围，单位为dB
numSNR = length(SNR_dB); % 信噪比数量

% 生成信道 h
h = sqrt(sigma) * (randn(1, N) + 1j * randn(1, N));

% 生成导频信号 x
k = 1:N;
M1 = 1;
x = exp((1j * pi * M1 * k.^2) / N).';

% 噪声生成
nt = sqrt(sigma/2) * (randn(N, numSNR) + 1j * randn(N, numSNR));

% 初始化变量以存储结果
h_est = zeros(N, numSNR);
mean_distance = zeros(1, numSNR);
h_magnitude = zeros(N, numSNR);
h_phase = zeros(N, numSNR);
h_est_magnitude = zeros(N, numSNR);
h_est_phase = zeros(N, numSNR);

% 导频信号的协方差矩阵
Rxx = x * x';

for idx = 1:numSNR
    % 计算线性信噪比
    SNR_linear = 10^(SNR_dB(idx) / 10);
    % 计算噪声功率
    noise_power = sigma / SNR_linear;
    % 生成噪声
    noise = sqrt(noise_power / 2) * (randn(N, 1) + 1j * randn(N, 1));
    
    % 生成接收信号 y
    y = h.' .* x + noise;
    
    % MMSE 信道估计
    Ryy = Rxx + noise_power * eye(N); % 接收信号协方差矩阵
    h_est(:, idx) = (Rxx / Ryy) * y; % MMSE估计公式
    
    % 计算误差
    real_diff = real(h) - real(h_est(:, idx)).';
    imag_diff = imag(h) - imag(h_est(:, idx)).';
    mean_distance(idx) = mean(sqrt(real_diff.^2 + imag_diff.^2));
    
    % 幅值和相位
    h_magnitude(:, idx) = abs(h);
    h_phase(:, idx) = angle(h);
    h_est_magnitude(:, idx) = abs(h_est(:, idx));
    h_est_phase(:, idx) = angle(h_est(:, idx));
end

% 绘制平均距离与信噪比的关系
figure;
plot(SNR_dB, mean_distance, '-o');
xlabel('SNR (dB)');
ylabel('Mean Distance');
title('估计值与真实值之间的平均距离');

% 幅值比较
figure;
subplot(2,1,1);
plot(SNR_dB, mean(h_magnitude, 1), '-o');
hold on;
plot(SNR_dB, mean(h_est_magnitude, 1), '-x');
xlabel('SNR (dB)');
ylabel('Magnitude');
title('幅值比较');
legend('真实幅值', '估计幅值');

% 相位比较
subplot(2,1,2);
plot(SNR_dB, mean(h_phase, 1), '-o');
hold on;
plot(SNR_dB, mean(h_est_phase, 1), '-x');
xlabel('SNR (dB)');
ylabel('Phase (radians)');
title('相位比较');
legend('真实相位', '估计相位');

% 分析幅值和相位的分布
figure;
subplot(2,1,1);
histogram(h_magnitude(:), 'Normalization', 'pdf');
hold on;
histogram(h_est_magnitude(:), 'Normalization', 'pdf');
xlabel('Magnitude');
ylabel('Probability Density');
title('幅值分布');
legend('真实幅值', '估计幅值');

subplot(2,1,2);
histogram(h_phase(:), 'Normalization', 'pdf');
hold on;
histogram(h_est_phase(:), 'Normalization', 'pdf');
xlabel('Phase (radians)');
ylabel('Probability Density');
title('相位分布');
legend('真实相位', '估计相位');

（3）LS估计和MMSE估计的比较

clear all
% 参数初始化
N = 100; % 样本数
sigma = 0.5; % 噪声方差
SNR_dB = 20:5:60; % 信噪比范围，单位为dB
numSNR = length(SNR_dB); % 信噪比数量

% 生成信道 h
h = sqrt(sigma) * (randn(1, N) + 1j * randn(1, N));

% 生成导频信号 x
k = 1:N;
M1 = 1;
x = exp((1j * pi * M1 * k.^2) / N).';

% 噪声生成
nt = sqrt(sigma/2) * (randn(N, numSNR) + 1j * randn(N, numSNR));

% 初始化变量以存储结果
h_est_ls = zeros(N, numSNR);
h_est_mmse = zeros(N, numSNR);
mean_distance_ls = zeros(1, numSNR);
mean_distance_mmse = zeros(1, numSNR);

% 导频信号的协方差矩阵
Rxx = x * x';

for idx = 1:numSNR
    % 计算线性信噪比
    SNR_linear = 10^(SNR_dB(idx) / 10);
    % 计算噪声功率
    noise_power = sigma / SNR_linear;
    % 生成噪声
    noise = sqrt(noise_power / 2) * (randn(N, 1) + 1j * randn(N, 1));
    
    % 生成接收信号 y
    y = h.' .* x + noise;
    
    % LS 信道估计
    h_est_ls(:, idx) = y ./ x;
    
    % MMSE 信道估计
    Ryy = Rxx + noise_power * eye(N); % 接收信号协方差矩阵
    h_est_mmse(:, idx) = (Rxx / Ryy) * y; % MMSE估计公式
    
    % 计算LS估计误差
    real_diff_ls = real(h) - real(h_est_ls(:, idx)).';
    imag_diff_ls = imag(h) - imag(h_est_ls(:, idx)).';
    mean_distance_ls(idx) = mean(sqrt(real_diff_ls.^2 + imag_diff_ls.^2));
    
    % 计算MMSE估计误差
    real_diff_mmse = real(h) - real(h_est_mmse(:, idx)).';
    imag_diff_mmse = imag(h) - imag(h_est_mmse(:, idx)).';
    mean_distance_mmse(idx) = mean(sqrt(real_diff_mmse.^2 + imag_diff_mmse.^2));
end

% 绘制平均距离与信噪比的关系
figure;
plot(SNR_dB, mean_distance_ls, '-o');
hold on;
plot(SNR_dB, mean_distance_mmse, '-x');
xlabel('SNR (dB)');
ylabel('Mean Distance');
title('估计值与真实值之间的平均距离');
legend('LS 估计', 'MMSE 估计');

% 幅值比较
figure;
subplot(2,1,1);
plot(SNR_dB, mean(abs(h)), '-o');
hold on;
plot(SNR_dB, mean(abs(h_est_ls)), '-x');
plot(SNR_dB, mean(abs(h_est_mmse)), '-^');
xlabel('SNR (dB)');
ylabel('Magnitude');
title('幅值比较');
legend('真实幅值', 'LS 估计幅值', 'MMSE 估计幅值');

% 相位比较
subplot(2,1,2);
plot(SNR_dB, mean(angle(h)), '-o');
hold on;
plot(SNR_dB, mean(angle(h_est_ls)), '-x');
plot(SNR_dB, mean(angle(h_est_mmse)), '-^');
xlabel('SNR (dB)');
ylabel('Phase (radians)');
title('相位比较');
legend('真实相位', 'LS 估计相位', 'MMSE 估计相位');

% 分析幅值和相位的分布
figure;
subplot(2,1,1);
histogram(abs(h), 'Normalization', 'pdf');
hold on;
histogram(abs(h_est_ls(:)), 'Normalization', 'pdf');
histogram(abs(h_est_mmse(:)), 'Normalization', 'pdf');
xlabel('Magnitude');
ylabel('Probability Density');
title('幅值分布');
legend('真实幅值', 'LS 估计幅值', 'MMSE 估计幅值');

subplot(2,1,2);
histogram(angle(h), 'Normalization', 'pdf');
hold on;
histogram(angle(h_est_ls(:)), 'Normalization', 'pdf');
histogram(angle(h_est_mmse(:)), 'Normalization', 'pdf');
xlabel('Phase (radians)');
ylabel('Probability Density');
title('相位分布');
legend('真实相位', 'LS 估计相位', 'MMSE 估计相位');