【总结】为什么对累积奖励减去baseline项能起到减小方差的作用？

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来源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/98506549

作者：风清云

很多论文的工作都专注于减少policy gradient的方差，以得到更加优质且稳定的policy。其中一项最经典的工作就是对policy gradient的累积奖励减去一个baseline，但为什么减去一个baseline就可以达到减小方差，同时又不引入偏差的效果呢？

关于这个问题，Daniel Seita大佬在他的博客中有详细的讲解（链接给在最后），但笔者水平不够，仍然有部分未看明白的地方，强作此文说说自己的理解，希望有大佬看到并给出指导。

写在前面：符号约定

在强化学习的policy gradient中，通常会通过环境仿真出一系列的trajectories，以起到类似于对某种概率分布进行采样的作用，某个以时刻T为结束时刻的trajectory可以约定如下：

其中分别代表状态，动作和奖励。接下来，本文将按照简单的结论->证明->结论的结构来探讨减小方差这个问题。

结论

对policy gradient的表达式中的累积奖励项减去一个baseline项，可以起到减小policy gradient的方差且同时不引入偏差的效果。如下式：

在实际工作中，通常把baseline取为状态的状态-值函数，即。

证明

首先需要写明两个技巧：

（1）log-derivative

此技巧是介绍如何将对数塞入对某个函数发f(x)的期望的梯度中去的。过程如下

这个过程看起来似乎十分简单直接，相当于乘了一项，再把分母移动到微分项下面，利用简单的复合函数求导:

就在积分里增加了对数项，最后根据期望的定义得到了最终的表达式。

但这里是有一个疑问的，那就是在第二个等式中，直接把微分号放入了积分号里面，这种直接交换微分和积分次序的变换应满足什么条件才成立？在这里是否成立？，笔者不甚理解，希望理解的朋友给予指导。

其中表示初始状态的概率分布, 表示policy, 表示状态转移概率。第一个等式是根据乘法原理，把生成trajectory 的概率拆开写成了在已知初始状态概率分布的情况下，所有时刻的policy和状态转移概率的乘积 ; 注意这里默认假设了时刻所采取的动作仅依赖于状态，状态也仅依赖于前一时刻的状态和动作 (一阶马尔科夫性）。

第二个等式就是简单的取对数运算。

第三个等式就是关于参数的求微分运算，因为与参数有关的项仅有 , 因此其他项对参数的导数为0。

接下来，应用这两个技巧看看期望奖励关于参数的导数，即policy gradient的表达式。

这里第一个等式即期望的定义式；

第二个等式即log-derivative技巧；

第三个等式即对trajectory \tau的对率求导的技巧；

第四个等式即写回期望。

在正式引入baseline之前，还需要对上式做一些变换：

等式 (i) 是简单的替换 , 这里令折扣因子 ; 等式 (ii) 是个难点。首先定义这个新冒出来的符号 , 这个代表以时刻为最终时刻的

上式成立是因为在时刻 , trajectory就已经结束，因此后续的状态和奖励的取值对并无影响, 从而期望相等。等式 (i) 想要得到等式 (ii)，关键在于以下等式的成立:

这个等式的左边仍然是policy gradient的定义，右边却变成了以不同的时刻为最终时刻的trajectories的奖励的求和运算。为什么这个等式成立呢? 这里说说我的理解，不一定正确。直观上来看，等式右边就是的期望内容是把以下trajectories的最后一个奖励求和了：

如果考虑对以时刻为终止时刻的某一个trajectory求期望累积奖励的话，那么必然需要对时刻0 到时刻的所有状态和的可能取值进行遍历 (因为积分)，并将所有时刻的奖励取关于概率的加权和; 同样地，也可以考虑以不同时刻的多条trajectories, 遍历时刻0到时刻的所有时刻，并分开将每一条 trajectory的最后时刻的累加起来。公式表达如下:

理解了这一步转换，就可以开始下一步推导了。

第一个等式上面已经说明；

第二个等式，Daniel Seita的博客里提到了“Assume we can exchange the sum with the gradient,”也就是说，假设求和符号和微分符号位置可以互换，笔者不太明白为啥可以这样假设，但还是先假设下去吧。

第三个等式，这里就很直观了。再使用前面的两个技巧，就把微分符号变换进去咯；

第四个等式，这里需要注意，期望的下标已经发生变化了，相当于把trajectories变回了one trajectory，这里前面已有说明。

等式 (ii) 到这里就扯完了。现在来看等式 (iii) 。等式 (iii) 是个简单的将等式 (ii) 加和项进行重组。把等式 (ii) 单项都拆开写，以符号替换可以得到:

将上面这个形似下三角的累加项逐列累加，则每一列的累加结果为：, 再把每一列的结果累加起来，就得到了等式 (iii) 的结果啦。

扯了这么多。终于可以开始减去baseline项了。基于上面最后一个等式给出的结果，对累加的期望减去baseline可以得到：

首先看引入了baseline以后，为什么不会引入偏差：

根据期望的线性性质，直接看baseline的期望：

第一个等式是简单的split，即把序列trajectory 拆分成两个互不交叠的部分，这个split成立的本质还是积分/求和具有线性性质，这两部分的变量不一样当然可以写成这样; 第二个等式值得注意：这里的baseline 仅仅是关于状态的函数，和后续的状态以及动作无关。这和是不一样的, 因为是后续状态累积奖励的期望。所以此处可以把作为常量提出; 第三个等式又是个难点。展开过程如下: