0、变量约定

$\text{Input}$
$\text{本金，其实就是向银行的贷款，即负债}$ $P$
$\text{贷款期数：}$ $n$
$\text{贷款利率：}$ $i$ $\text{，一般按月偿还，如果是年化利率需要除以12得到月利率，}$ $LRP/12$

$\text{Output}$
$\text{累计本息之和：}$ $S$
$\text{利息总和：}$ $I$
$\text{每月月供：}$ $Y$
$\text{每月月供中应还本金：}$ $Y_k^P$
$\text{每月月供中应还利息：}$ $Y_k^I$
$\text{已还}$ $k$ $\text{期之后剩余本金：}$ $P_k$ （这里是指如果k期之后不选择继续背负贷款而是一次性结清所需要付的钱）

1、前提知识

复利计息：是指借款人在每期末不提取利息，而将该期利息转为下期的本金，下期再按照本息和的总额计息，即不但本金产生利息，而且利息部分也产生利息的计息方式。如果按照复利计息方式计息，则本息和的计算公式为：$S=P\ast (1+i{)}^n$，贷款和存钱都可以按照复利进行计算
等比数列前N项和公式：$S_n=a_1\ast \frac{q^n-1}{q-1}(q\ne 1)$
等差数列前N项和公式：$S_n=n\ast \frac{a_1+a_n}{2}$

2、等额本息

2、1 基本推导

银行贷款之后本人其实就已经事实拥有本金等值的资产，这笔钱已经付给开发商。
我们开始推导 $Y$ 和 $P_k$ ：

• 我们第0期之后剩余本金，$P_0=P$
• 我们第1期之后剩余本金，$P_1=P\ast (1+i)-Y$，本金已经复利一个月，产生了一个月的时间价值，本月我们又换款了一个月的月供，所以如果还款一个月之后立即结清贷款所需本金就是上面的数值
• 我们第2期之后剩余本金，需要根据第一个月剩余的本金进行复利，$P_2=P_1\ast (1+i)-Y=(P\ast (1+i)-Y)(1+i)-Y=P\ast (1+i{)}^2-Y((1+i)+1)$
• 同理，我们第k期之后剩余本金，需要根据第k-1个月剩余的本金进行复利，$P_k=P_{k-1}\ast (1+i)-Y=P\ast (1+i{)}^k-Y((1+i{)}^{k-1}+...+1)=P\ast (1+i{)}^k-Y(\frac{(1+i{)}^k-1)}{i})=(P-\frac{Y}{i})\ast (1+i{)}^k+\frac{Y}{i}$，这是一个指数函数$y=a^x+b(a\ne 1)$
• 如果我们中间不会提前还款，一直按月还款直到第n期结束，那么此时我们第n期之后剩余本金应该是0，即表示贷款全部结清，
  $P_n=P_{n-1}\ast (1+i)-Y=P\ast (1+i{)}^n-Y((1+i{)}^{n-1}+...+1)=P\ast (1+i{)}^n-Y(\frac{(1+i{)}^n-1)}{i})=0$，所以$Y=\frac{P\ast (1+i{)}^n\ast i}{(1+i{)}^n-1}$，这也就是在房贷合同上写的月供公式。进而可知$Y=P\ast i\ast \frac{(1+i{)}^n}{(1+i{)}^n-1}>P\ast i$，等价于，$P-\frac{Y}{i}<0$，由此$P_k$一定是递减的函数，即每月还款之后所剩本金一直是递减的，而不是递增的，（当然不能越还越多）

接下来开始推导 $Y_k^P$ 和 $Y_k^I$：

1. 每月所还利息和所还本金加和等于本月的月供，$Y_k^P+Y_k^I=Y$
2. 每月所还利息应该是上一个月所剩本金乘以利率得到的，$Y_k^I=P_{k-1}\ast i=(P-\frac{Y}{i})\ast i\ast (1+i{)}^{k-1}+Y=(i\ast P-Y)\ast (1+i{)}^{k-1}+Y$，由此$Y_k^P=Y-Y_k^I=(Y-i\ast P)\ast (1+i{)}^{k-1}$

利息总和为$I=Y_n^I+Y_{n-1}^I+...+Y_1^I=(i\ast P-Y)[(1+i{)}^{n-1}+...+1]+n\ast Y=n\ast Y+(i\ast P-Y)\ast \frac{(1+i{)}^n-1}{i}=P\ast ((1+i{)}^n-1)+\frac{Y}{i}\ast (ni+1-(1+i{)}^n)=P\ast ((1+i{)}^n-1)+\frac{P\ast (1+i{)}^n}{(1+i{)}^n-1}\ast (ni+1-(1+i{)}^n)=\frac{P\ast (1+i{)}^n\ast i\ast n}{(1+i{)}^n-1}-P$

所还的本息总和为$S=(Y_n^I+Y_n^P)+...+Y_1^I+Y_1^I=n\ast Y$

综上：

1. $Y=\frac{P\ast (1+i{)}^n\ast i}{(1+i{)}^n-1}$
2. $P_k=(P-\frac{Y}{i})\ast (1+i{)}^k+\frac{Y}{i}$
3. $Y_k^I=(i\ast P-Y)\ast (1+i{)}^{k-1}+Y$
4. $Y_k^P=(Y-i\ast P)\ast (1+i{)}^{k-1}$
5. $I=\frac{P\ast (1+i{)}^n\ast i\ast n}{(1+i{)}^n-1}-P$
6. $S=n\ast Y=n\ast \frac{P\ast (1+i{)}^n\ast i}{(1+i{)}^n-1}$

2、2 提前还贷

假设第k期之后开始提前还贷，那么
$\text{提前还贷的金额，}$ $T$
$\text{贷款利率：}$ $i$ 不变
$\text{新的本金，}$ $P_k^{{}^{\prime }}=P_k-T$
$\text{新的贷款期数：}$ $n^{{}^{\prime }}$
$\text{新的月供，}$ $Y^{{}^{\prime }}=\frac{P_k^{{}^{\prime }}\ast (1+i{)}^{n^{{}^{\prime }}}\ast i}{(1+i{)}^{n^{{}^{\prime }}}-1}$
$\text{新的本息和，}$ $S^{{}^{\prime }}=Y^{{}^{\prime }}\ast n^{{}^{\prime }}$
$\text{提前还款之后本息和的差值}$， $\Delta S=S-k\ast Y-S^{{}^{\prime }}-T$

2、2、1 保持月供不变，缩短还贷期限

新的月供和旧的月供相等，$Y^{{}^{\prime }}=\frac{P_k^{{}^{\prime }}\ast (1+i{)}^{n^{{}^{\prime }}}\ast i}{(1+i{)}^{n^{{}^{\prime }}}-1}=Y$
可以得到$n^{{}^{\prime }}=\frac{log(Y/(Y-i\ast (P_k-T)))}{log(1+i)}$
$\text{提前还款之后本息和的差值}$， $\Delta S=S-k\ast Y-S^{{}^{\prime }}-T=(n-k-n^{{}^{\prime }})\ast Y-T$，是一个关于T和k的函数，

2、2、2 保持还贷期限不变，缩短月供

$\text{新的贷款期数：}$ $n^{{}^{\prime }}=n-k$，
新的月供，$Y^{{}^{\prime }}=\frac{P_k^{{}^{\prime }}\ast (1+i{)}^{n-k}\ast i}{(1+i{)}^{n-k}-1}$
$\text{提前还款之后本息和的差值}$， $\Delta S=S-k\ast Y-S^{{}^{\prime }}-T=n\ast Y-k\ast Y-(n-k)\ast Y^{{}^{\prime }}-T=(n-k)(Y-Y^{{}^{\prime }})-T$，是一个关于T和k的函数，

2、3 python实现

import numpy as np


def inputParam():
    print("您选择等额本息方式进行贷款")
    lpr = float(input("请输入您的LRP：(单位为%) "))
    P = int(input("请输入您的本金：(单位为万) ")) * 10000
    n = int(input("请输入您的贷款期数："))
    i = round(lpr / 1200, 6)
    print("您输入的参数为：P={}, n={}, i={}".format(P, n, i))
    return P,n,i


def calculate(P, n, i):
    iofn = (1 + i) ** n
    Y = round((i * iofn * P) / (iofn - 1), 4)
    I = round((i * iofn * P * n) / (iofn - 1) - P, 4)
    Pk = calculatePk(P, Y, i, n)
    YI = calculateYI(P, Y, i, n)
    YP = calculateYP(P, Y, i, n)
    print("计算可得以下参数：Y={}, I={} ".format(Y, I))
    for k in range(1,n):
        print("还款{}期之后剩余本金{}, 当期支付利息{}, 当期支付本金{}".format(k, Pk[k], YI[k], YP[k]))



def calculatePk(P, Y, i, n):
    tmp = Y / i
    result = np.ones(n+1)
    for k in range(1,n):
        result[k] = (P - tmp) * (1 + i) ** k + tmp
    return result


def calculateYI(P, Y, i, n):
    result = np.ones(n+1)
    for k in range(1,n):
        result[k] = (i * P - Y) * (1 + i) ** (k-1) + Y
    return result


def calculateYP(P, Y, i, n):
    result = np.ones(n+1)
    for k in range(1,n):
        result[k] = (Y - i * P) * (1 + i) ** (k-1)
    return result


if __name__ == '__main__':
    P, n, i = inputParam()
    calculate(P, n, i)

3、等额本金

3、1 基本推导

等额本金是指每月所还的本金是固定的，即$Y_k^P=\frac{P}{n}$,
每个月的剩余本金，$P_k=P-k\ast \frac{P}{n}$
每个月的利息是，上一个月的本金乘以利息，$Y_k^I=P_{k-1}\ast i=(P-(k-1)\ast \frac{P}{n})\ast i$
每月的月供，$Y_k=Y_k^P+Y_k^I=(P-(k-1)\ast \frac{P}{n})\ast i+\frac{P}{n}$
利息之和，$I=Y_n^I+...+Y_1^I=i\ast (n\ast P-\frac{P}{n}\ast \frac{n(n-1)}{2})=\frac{(n+1)\ast i\ast P}{2}$
累计本息和，$S=Y_n+...+Y_1=\frac{(n+1)\ast i\ast P}{2}+P$

3、2 提前还贷

3、3 python实现

参考文献：

https://www.cnblogs.com/mq0036/p/5209823.html
https://zhuanlan.zhihu.com/p/617706691?utm_psn=1716045786893381632