TOPSIS法（小白必看&文章包含详细源代码及注释）

时间	2020年5月4日	组别	数学建模	姓名	Zkaisen
本周完成工作总结	这一周我主要学习了TOPSIS法即优劣解距离向量法。 1.AHP的局限性前两周主要学习了层次分析法，层次分析法存在这样一些局限性：（1）层次分析法主观性很强，我们建模过程中判断矩阵都是自己手动填写的。（2）层次分析法方案层不能太多，太多的话，构建的判断矩阵很可能不能通过一致性检验。而且随机一致性指标RI表中n也只给到了15。（3）层次分析法是根据成对比较法和1~9尺度表构建判断矩阵得到数据的，对于一些有已知数据题目，层次分析法是不能很好利用原始数据的。 2.TOPSIS优点针对AHP的上述局限性，学习TOPSIS可以弥补层次分析法的一些缺点: （1）优劣解距离法可以充分利用原始数据信息，且其结果能充分反应各评价方案与最优方案的接近程度。（2）对样本容量没有严格限制，数据计算简单易行，无需数据检验。（topsis法适用于两个以上） 3.Topsis法简介 1981年，C.L.Hwang和K.Yoon首次提出了Topsis，全称Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution，可翻译为逼近理想解排序法，国内常称为优劣解距离法。它是一种常用的综合评价方法。 4.Topsis的基本过程（1）原始矩阵正向化，得到正向化矩阵 a.指标类型指标类型一般分为四种，极大型指标、极小型指标、中间型指标、区间型指标。极大型指标越大越好，极小型指标越小越好，中间型指标越接近中间值越好，区间型指标落在区间内最好。 b.正向化的公式正向化就是将原始数据指标都转化为极大型指标。极小型——极大型： $x_{i}=max-x_{i}$ 当指标值中没有“0”时也可用公式： $x_{i}=\frac{1}{x_{i}}$ 中间型——极大型： $x_{i}=1-\frac{\left \| x_{i}-mid \right \|}{mid}$ （其中mid为中间值）区间型——极大型： $\left\{\begin{matrix} x_{i}=1-\frac{a-x_{i}}{M}(x^{i}\leqslant a) & & \\ x_{i}=1 (a\leqslant x_{i}\leqslant b) & & \\ x_{i}=1-\frac{x_{i}-b}{M}(x^{i}\geqslant b) \end{matrix}\right.$ 注：M为距离区间最远的距离，即 $max(a-min(x_{i}),max(x_{i})-b)$ 当x在区间内时，正向化后的值为1；当x小于区间下限a时， $x_{i}=1-\frac{a-x_{i}}{M}$ ；当x大于区间上限b时， $x_{i}=1-\frac{x_{i}-b}{M}$ ; （2）对正向化矩阵标准化标准化公式： $Z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{1}^{n}x_{ij}^{2}}}$ （3）计算得分并归一化 a.构造评分公式： $S=\frac{x-min}{max-min}$ 评分公式变形： $S=\frac{x-min}{(max-x)+(x-min)}$ Topsis的思想：最优解即最大值，最劣解即最小值。 b.计算D+与D-: 定义最大值：Z+向量用于存放标准化矩阵中每一列的最大值定义最小值：Z-向量用于存放标准化矩阵中每一列的最小值定义第i个（i=1,2,...,n）个评价对象与最大值的距离：等于第i行每一个元素与其所在列的最大值的差的平方和的0.5次方定义第i个（i=1,2,...,n）个评价对象与最大值的距离：等于第i行每一个元素与其所在列的最小值的差的平方和的0.5次方 c．计算未归一化的得分记为G $G=\frac{D_{-}}{D_{+}+D_{-}}$ d.对得分进行归一化 $S_{i}=\frac{G_{i}}{ \sum_{1}^{n}G_{i}}$ 5.问题思考（1）为什么要进行正向化？（2）为什么要进行标准化，标准化是为了消除量纲的影响，那么可不可以用下面的公式来实现？ $Z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{x_{ij}^2}}$ （2）构造评分公式的含义，背后的思想 6.代码思路及实现 (1)通过软件Matlab实现 a．先根据每一步的公式理清思路 b．根据分析，使用for循环实现较为可行（学习编程软件中for循环相关操作） c．根据步骤分块实现不同的功能 d．代码编写过程中尽量使每一步结果都输出，这样当结果与预期不符时方便纠错。并且可输入简单的数值对代码进行检验，查找错误所在之处，进而修改完善。 e .找相关数据进行结果检验，验证结果的准确性。（2）通过软件SPSS实现 a.论文中有可通过SPSS实现标准化，导入数据，进行相应操作后，标准化结果却与MATLAB中的结果不同。学习SPSS标准化，有两种不同的标准化方式，即z-score标准化和离差标准化。 b.默认的是z-score标准化。其公式不同于我们步骤中的公式。它是基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x’。步骤如下：首先求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ；进行标准化处理：zij=（xij－xi）/si，其中zij为标准化后的值；xij为实际值。最后将逆指标前的正负号对调。 z-score标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。 c.我们MATLAB中使用的公式是SPSS中标准化的规范化方法，也叫离差标准化，是对原始数据的线性变换，使结果映射到[0,1]区间。可以通过SPSS的语法编辑窗口来编写代码实现TOPSIS（需要学习并掌握SPSS的基础语法才能实现代码的功能实现）（3）MATLAB代码简单思路
遇到的问题	所遇到的问题: 1.没有理解在论文6.2.2中先用算术平均数计算对应的平均值？后来懂了，他是通过VISSIM软件汇总数据，取平均值的. 2.表4中处理后的数据是同趋化后的数据吧，可是我通过代码求出的数据却和论文中的不同，本以为是标准化方法不同的原因，可是我用SPSS进行标准化后的数据进行得分计算，结果仍然不一样。 3.虽然通过论文学习了Matlab相关知识，但实现不了学习的论文中的内容. 论文中的数据都是自己通过统计得到的。总结： 1.不懂的地方多思考，多百度 2.遇到问题，多尝试，用不同的方法来测试验证结果 3.学习优秀论文要注重学其方法，不必拘泥于一些具体实现上（因为具体的功能实现可能需要具体的环境）
备注	Matlab代码 % TOPSIS法 % % 导入数据 % clear;clc;close all;%清屏，clc清空命令窗口，clear清空工作区，clos all清除图形 % 点击工作区右键，新建并为矩阵命名为X % 把数据复制到工作区 % 在excel中复制数据，在回到Excel中右键，点击粘贴excel中的数据（ctrl+shift+V） % 关掉这个窗口，右键另存，保存为mat文件 % （下次就不用复制粘贴了，只需要使用load命令即可加载数据） % load data_kaifangqian.mat [r,c]=size(X) Max_total=max(X)%每一列数据的最大值，它是一个行向量 Min_total=min(X)%每一列数据的最小值，它是一个列向量 B=zeros(1,c);%定义一个0矩阵用来存放指标类型 disp('请输入指标类型，0表示极大型，1表示极小型，2表示中间型，3表示区间型') for j=1:c %通过for循环依次从键盘输入指标类型对应的数字 B(j)=input('please enter a type:'); end disp(B) %% %%指标正向化 C=zeros(1,c) A=zeros(r,c)%这里我用A矩阵存放正向化后的数据 for j=1:c if B(j)==0%无需正向化 for i=1:r A(i,j)=X(i,j);%直接将原数值赋值给矩阵A end elseif B(j)==1%该列数据为极小型，需要正向化 for i=1:r A(i,j)=Max_total(j)-X(i,j); end elseif B(j)==2%中间型指标，需要正向化 mid=input('中间值mid：')%中间值也就是公式中的x（best） for i=1:r C(i)=abs(X(i,j)-mid);%abs函数是绝对值函数 end Max_mid=max(C);%用Max_mid来存放离中间值最远的值，也就是公式中的M for i=1:r A(i,j)=1-C(i)./Max_mid;%代入公式计算正向化后的指标数值，并赋值给矩阵A end elseif B(j)==3%指标类型是区间型指标的情况 a=input('请输入区间下限:')%区间下限，公式中的a b=input('请输入区间上限：')%区间上限，公式中的b e=(a-Min_total(j));%求出离区间下限最远的距离并赋值给e d=(Max_total(j)-b);%求出离区间上限最远的距离并赋值给d M=max(e,d);%比较e和d的值，并把最大值赋值给M for i=1:r if (X(i,j)>=a)&&(X(i,j)<=b) %如果指标刚好在区间内，那么正向化后的值为1 A(i,j)=1; elseif X(i,j)<a %如果Xi小于a，用公式计算正向化后的数值并赋值给矩阵A A(i,j)=1-(a-X(i,j))./M; elseif X(i,j)>b%如果xi大于b，用公式计算正向化后的数值并赋值给矩阵A A(i,j)=1-(X(i,j)-b)./M ; end end end end %% %标准化 %方法一结合上节课层次分析法,通过repmat函数，sum函数和乘方运算来实现 Z=A./repmat(sum(A.A).^0.5,r,1); disp(Z); %方法二通过for循环来实现 for i=1:r for j=1:c D=sum(A.A).^0.5 ;% A.A就是矩阵A的每一个元素平方，sum求和得到的是一个行向量，存放矩阵中每一列元素的和 Z=A./repmat(D,r,1); %repmat函数表示将A复制mn块，及把A作为的元素，Z由mn个A平铺而成。 end end disp(Z) %% % % 求得分并进行归一化 S=zeros(r,1);%存放最终的归一化后的得分 G=zeros(r,1);%存放未归一化的得分 DP=zeros(r,1);%存放D+ DN=zeros(r,1);%存放D- E=zeros(r,c); F=zeros(r,c); Max_Z=max(Z);%存放标准化后每一列的最大值 Min_Z=min(Z);%存放标准化后每一列的最小值 for i=1:r for j=1:c E(i,j)=(Max_Z(j)-Z(i,j)).(Max_Z(j)-Z(i,j));%就是求解D+公式中分母中根号下面的内容 F(i,j)=(Min_Z(j)-Z(i,j)).*(Min_Z(j)-Z(i,j));%就是求解D-公式中分母中根号下面的内容 end DP(i)=sum(E(i,:)).^0.5;%第i个（i=1,2,...,n）个评价对象与最大值的距离。这里用到了E(i,:)，就是取第i行的所有数据 DN(i)=sum(F(i,:)).^0.5;%第i个（i=1,2,...,n）个评价对象与最小值的距离 G(i)=DN(i)/(DP(i)+DN(i)); end disp(DN) disp(DP) disp(G) %%对得分进行归一化 for i=1:r S(i)=G(i)/sum(sum(G)); end disp(S) %%

TOPSIS法（小白必看&文章包含详细源代码及注释）

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