Ch4 不定积分 --学习笔记

简单来讲，求解积分的过程实际上就是求导的逆过程，微分与积分互为互逆运算。

4.1.1 不定积分的概念

定义1 设函数f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数 F(x)，对于任意x∈I都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数

对于此概念需要注意的是，受制于常数项C，若有一个原函数F(x),原函数必然存在无穷多个原函数F(x)+C。

定义2 如果函数F(x)是函数f(x)在区间 I 上的一个原函数，则称f(x)的全体原函数的集合{F(x)+C|C∈ $\mathbb{R}$ }为f(x)在区间 I 上的不定积分,记为 $\int f(x)dx$ ,即

$\int f(x)dx=\left \{ F(x)+C|C\in\mathbb{R} \right \}$

简记为 $\int f(x)dx=F(x)+C$

∫ 称为积分号,f(x)称为被积函数,x为积分变量,特别需要注意的是,从积分开始我们的运算将不仅仅限制于x的运算,被积变量见会出现多种不同的变量.

定理1 如果f(x)在区间 I 上连续,那么f(x) I 上必然存在原函数,即连续函数必有原函数.

从定理1 我们可以看出,与可导的条件--光滑相比,积分运算的条件要更容易满足.

称任一原函数的图像为被积函数的一条积分曲线，其全体原函数的图像称为被积函数的积分曲线簇，即积分的几何意义实际上是求出了原函数的一组图像。

性质1 $\left [ \int f(x)dx \right ]{}'=f(x)$ 或 $d\int f(x)dx =f(x)dx$

对积分进行求导会回到被积函数，对积分进行微分会回到被积函数，性质1实际上说明了积分与微分互为逆运算。

性质2 $\int_{}^{}f{(x)}'dx=f(x)+C$ 或 $\int df(x)=f(x)+C$

性质2的右侧公式实际上等价于 $\int 1df(x)=f(x)+C$ ，即以f(x)为积分变量对1求积分，这里就体现出了积分变量的多样化，因此在求解定积分的过程中，要关注积分变量。

性质3 $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\left ( k\neq 0 \right )$

性质4 $\int \left [ f(x)+g(x) \right ]dx=\int f(x)dx +\int g(x)dx$

由性质3和4我们可以得到更一般的结论

性质5 $\int \left [ k1f1(x)+k2f2(x)+...knfn(x) \right ]dx=k1\int f1(x)dx+k2\int f2(x)dx+...kn\int fn(x)dx$

即 $\int \left [ \sum_{i=1}^{n} kifi(x)\right ]dx=\sum_{i=1}^{n}ki\left [ \int fi(x)dx \right ]$

而这说明不定积分运算是一个线性运算。

利用不定积分的定义求解不定积分往往并不方便，于是选择借助不定积分的性质和基本积分表，利用适当的数学运算求解不定积分，这种方法称为不定积分法。