1. 求下列函数的自然定义域
自然定义域就是使函数有意义的定义域。
常见自然定义域：
- 开根号 x \sqrt x x： x ≥ 0 x \ge 0 x≥0
- 自变量为分式的分母 1 x \frac{1}{x} x1： x ≠ 0 x \ne 0 x=0
- 三角函数 tan x cot x \tan x \cot x tanxcotx： x ≠ π 2 + k π x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi x=2π+kπ
- 反三角函数 arcsin x , arccos x \arcsin x,\arccos x arcsinx,arccosx： − 1 ≤ x ≤ 1 -1\le x\le 1 −1≤x≤1
- 反三角函数 arctan x \arctan x arctanx： x ∈ R x\in R x∈R
- 对数函数 ln x \ln x lnx： x > 0 x\gt 0 x>0
(3)
y
=
1
x
−
1
−
x
2
y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^2}
y=x1−1−x2
解：
{
x
≠
0
,
1
−
x
2
≥
0
得
−
1
≤
x
≤
1
且
x
≠
0
∴
D
=
[
−
1
,
0
)
∪
(
0
,
1
]
解：\\ \begin{cases} x\ne 0,\\ 1-x^2\ge 0\\ \end{cases}\\ 得 -1\le x\le 1且x\ne 0\\ \therefore D=[-1,0)\cup(0,1]
解：{x=0,1−x2≥0得−1≤x≤1且x=0∴D=[−1,0)∪(0,1]
(8)
y
=
3
−
x
+
arctan
1
x
y=\sqrt{3-x}+\arctan{\frac{1}{x}}
y=3−x+arctanx1
解：
该函数由
y
1
=
3
−
x
与
y
2
=
arctan
1
x
复合而成，所以应同时满足
{
3
−
x
≥
0
,
x
≠
0
得
x
≤
3
且
x
≠
0
∴
定义域
D
=
(
−
∞
,
0
)
∪
(
0
,
3
]
解：\\ 该函数由y_1=\sqrt{3-x}与y_2=\arctan{\frac{1}{x}}复合而成，所以应同时满足\\ \begin{cases} 3-x\ge 0,\\ x\ne 0\\ \end{cases}\\ 得 x\le 3且x\ne 0\\ \therefore 定义域D = (-\infty, 0)\cup (0,3]
解：该函数由y1=3−x与y2=arctanx1复合而成，所以应同时满足{3−x≥0,x=0得x≤3且x=0∴定义域D=(−∞,0)∪(0,3]
2. 下列各题中，函数 f ( x ) 和 g ( x ) f(x)和g(x) f(x)和g(x)是否相同？为什么？
函数相同满足条件：定义域相同；函数关系相同；
Tips: 变量符号可不同
（3）
f
(
x
)
=
x
4
−
x
3
3
,
g
(
x
)
=
x
x
−
1
3
f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3},g(x)=x\sqrt[3]{x-1}
f(x)=3x4−x3,g(x)=x3x−1
f
(
x
)
与
g
(
x
)
相同
f
(
x
)
=
x
4
−
x
3
3
,
x
∈
R
化简得
:
f
(
x
)
=
x
x
−
1
3
g
(
x
)
=
x
x
−
1
3
,
x
∈
R
定义域相同，函数关系相同，所以
f
(
x
)
与
g
(
x
)
相同
f(x)与g(x)相同\\ f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3},x\in R\\ 化简得:f(x)=x\sqrt[3]{x-1}\\ g(x)=x\sqrt[3]{x-1},x\in R\\ 定义域相同，函数关系相同，所以f(x)与g(x)相同
f(x)与g(x)相同f(x)=3x4−x3,x∈R化简得:f(x)=x3x−1g(x)=x3x−1,x∈R定义域相同，函数关系相同，所以f(x)与g(x)相同
(4)
f
(
x
)
=
1
,
g
(
x
)
=
sec
2
x
−
tan
2
x
f(x)=1,g(x)=\sec^2x-\tan^2x
f(x)=1,g(x)=sec2x−tan2x
解：
f
(
x
)
定义域为
:
D
f
=
R
g
(
x
)
的定义域为
D
g
=
(
−
π
2
+
k
π
,
π
2
+
k
π
)
,
k
∈
Z
∴
f
(
x
)
与
g
(
x
)
不同
解：\\ f(x)定义域为:D_f=R\\ g(x)的定义域为D_g=(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi),k\in Z\\ \therefore f(x)与g(x)不同
解：f(x)定义域为:Df=Rg(x)的定义域为Dg=(−2π+kπ,2π+kπ),k∈Z∴f(x)与g(x)不同
3. 分段三角函数值和图形
ϕ ( x ) = { ∣ sin x ∣ , ∣ x ∣ < π 3 , 0 , ∣ x ∣ ≥ π 3 \phi(x)=\begin{cases} |\sin x|,\quad|x|\lt \frac{\pi}{3},\\ 0,\qquad\quad |x|\ge \frac{\pi}{3} \end{cases} ϕ(x)={∣sinx∣,∣x∣<3π,0,∣x∣≥3π
求
ϕ
(
π
6
)
,
ϕ
(
π
4
)
,
ϕ
(
−
π
4
)
,
ϕ
(
−
2
)
\phi(\frac{\pi}{6}),\phi(\frac{\pi}{4}),\phi(-\frac{\pi}{4}),\phi(-2)
ϕ(6π),ϕ(4π),ϕ(−4π),ϕ(−2)，并做出函数
y
=
ϕ
(
x
)
y=\phi(x)
y=ϕ(x)的图形
解：
ϕ
(
π
6
)
=
∣
sin
π
6
∣
=
1
2
ϕ
(
π
4
)
=
2
2
ϕ
(
−
π
4
)
=
2
2
ϕ
(
−
2
)
=
0
解：\\ \phi(\frac{\pi}{6})=|\sin \frac{\pi}{6}|=\frac{1}{2}\\ \phi(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}\\ \phi(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}\\ \phi(-2)=0
解：ϕ(6π)=∣sin6π∣=21ϕ(4π)=22ϕ(−4π)=22ϕ(−2)=0
图形如下图所示：
4. 试证下列函数在指定区间内的单调性：
（1）
y
=
x
1
−
x
,
(
−
∞
,
1
)
y=\frac{x}{1-x},(-\infty,1)
y=1−xx,(−∞,1) (2)
y
=
x
+
ln
x
,
(
0
,
+
∞
)
y=x+\ln x,(0,+\infty)
y=x+lnx,(0,+∞)
证明：
(
1
)
设置
x
1
,
x
2
∈
(
−
∞
,
1
)
,
且
x
1
<
x
2
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
=
x
1
1
−
x
1
−
x
2
1
−
x
2
=
x
1
−
x
2
(
1
−
x
1
)
(
1
−
x
2
)
<
0
∴
y
=
x
1
−
x
在区间
(
−
∞
,
1
)
上单调递增
（
2
）设置
x
1
,
x
2
∈
(
0
,
+
∞
)
,
且
x
1
<
x
2
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
=
x
1
+
ln
x
1
−
(
x
2
+
ln
x
2
)
=
(
x
1
−
x
2
)
+
ln
x
1
x
2
<
0
∴
y
=
x
+
ln
x
在区间
(
0
,
+
∞
)
区间上单调递增
证明：\\ (1)设置x_1,x_2\in (-\infty,1),且x_1\lt x_2\\ f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1}{1-x_1}-\frac{x_2}{1-x_2}\\ =\frac{x_1-x_2}{(1-x_1)(1-x_2)}\lt 0\\ \therefore y=\frac{x}{1-x}在区间(-\infty,1)上单调递增\\ （2）设置x_1,x_2\in (0,+\infty),且x_1\lt x_2\\ f(x_1)-f(x_2)=x_1+\ln x_1-(x_2+\ln x_2)\\ =(x_1-x_2)+\ln\frac{x_1}{x_2}\lt 0\\ \therefore y=x+\ln x在区间(0,+\infty)区间上单调递增
证明：(1)设置x1,x2∈(−∞,1),且x1<x2f(x1)−f(x2)=1−x1x1−1−x2x2=(1−x1)(1−x2)x1−x2<0∴y=1−xx在区间(−∞,1)上单调递增（2）设置x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2f(x1)−f(x2)=x1+lnx1−(x2+lnx2)=(x1−x2)+lnx2x1<0∴y=x+lnx在区间(0,+∞)区间上单调递增
5. 奇偶性与单调性
设f(x)为定义在
(
−
l
,
l
)
(-l,l)
(−l,l)内的奇函数，若f(x)在
(
0
,
l
)
(0,l)
(0,l)内单调增加，证明f(x)在
(
−
l
,
0
)
(-l,0)
(−l,0)内也单调递增
证明：
设
x
1
,
x
2
∈
(
0
,
l
)
,
且
x
1
<
x
2
则
−
x
1
,
−
x
2
∈
(
−
l
,
0
)
,
且
−
x
1
>
−
x
2
∵
f
(
x
)
在
(
−
l
,
l
)
内为奇函数，则
f
(
x
)
=
−
f
(
−
x
)
f
(
x
)
在
(
0
,
l
)
内单调增加
f
(
x
1
)
<
f
(
x
2
)
即
−
f
(
−
x
1
)
<
−
f
(
−
x
2
)
=
>
f
(
−
x
1
)
>
f
(
−
x
2
)
即
f
(
x
)
在
(
−
1
,
0
)
内也单调增加
证明：\\ 设x_1,x_2\in(0,l),且x_1\lt x_2\\ 则 -x_1,-x_2\in(-l,0),且-x_1\gt -x_2\\ \because f(x)在(-l,l)内为奇函数，则\\ f(x)=-f(-x)\\ f(x)在(0,l)内单调增加\\ f(x_1)\lt f(x_2)\\ 即-f(-x_1)\lt -f(-x_2)=>f(-x_1)\gt f(-x_2)\\ 即f(x)在(-1,0)内也单调增加
证明：设x1,x2∈(0,l),且x1<x2则−x1,−x2∈(−l,0),且−x1>−x2∵f(x)在(−l,l)内为奇函数，则f(x)=−f(−x)f(x)在(0,l)内单调增加f(x1)<f(x2)即−f(−x1)<−f(−x2)=>f(−x1)>f(−x2)即f(x)在(−1,0)内也单调增加
6. 奇偶运算结果的奇偶性
只给结论，不再证明
- 两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数。
- 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
8.周期函数的周期
(3)
1
+
sin
(
π
x
)
1+\sin(\pi x)
1+sin(πx) 周期 2 (5)
sin
2
x
\sin^2x
sin2x
sin
2
x
=
1
−
cos
2
x
2
周期为
π
\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}\\ 周期为\pi
sin2x=21−cos2x周期为π
9.求下列函数的反函数
(2)
y
=
1
−
x
1
+
x
y=\frac{1-x}{1+x}
y=1+x1−x
解：
y
=
1
−
x
1
+
x
y
(
1
+
x
)
=
1
−
x
y
x
+
x
=
1
−
y
x
=
1
−
y
1
+
y
,
y
≠
−
1
f
−
1
(
x
)
=
1
−
x
1
+
x
,
x
≠
−
1
解：\\ y=\frac{1-x}{1+x}\\ y(1+x)=1-x\\ yx+x=1-y\\ x=\frac{1-y}{1+y},y\not=-1\\ f^{-1}(x)=\frac{1-x}{1+x},x\not=-1
解：y=1+x1−xy(1+x)=1−xyx+x=1−yx=1+y1−y,y=−1f−1(x)=1+x1−x,x=−1
(3)
y
=
a
x
+
b
c
x
+
d
(
a
d
−
b
c
≠
0
)
y=\frac{ax+b}{cx+d}(ad-bc\not=0)
y=cx+dax+b(ad−bc=0)
解：
y
=
a
x
+
b
c
x
+
d
y
(
c
x
+
d
)
=
a
x
+
b
c
y
x
−
a
x
=
b
−
d
y
x
=
−
d
y
+
b
c
y
−
a
解：\\ y=\frac{ax+b}{cx+d}\\ y(cx+d)=ax+b\\ cyx-ax=b-dy\\ x=\frac{-dy+b}{cy-a}
解：y=cx+dax+by(cx+d)=ax+bcyx−ax=b−dyx=cy−a−dy+b
(6)
y
=
2
x
2
x
+
1
y=\frac{2^x}{2^x+1}
y=2x+12x
解：
y
=
2
x
2
x
+
1
2
x
(
1
−
y
)
=
y
x
=
log
2
(
y
1
−
y
)
f
−
1
(
x
)
=
log
2
(
y
1
−
y
)
解：\\ y = \frac{2^x}{2^x+1}\\ 2^x(1-y)=y\\ x=\log_2(\frac{y}{1-y})\\ f^{-1}(x)=\log_2(\frac{y}{1-y})
解：y=2x+12x2x(1−y)=yx=log2(1−yy)f−1(x)=log2(1−yy)
结语
❓QQ:806797785
⭐️文档笔记地址：https://gitee.com/gaogzhen/math
参考：
[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p16-18.
[2]同济《高等数学》第七版-课后题逐题讲解[CP/OL].2023-07-26.p1.