1.互易定理

⑴基本内容

对于一个仅含线性电阻且只有一个激励的电路，当激励与响应互换位置时，其比值保持不变。（注：满足定理条件的电路即为互易网络。）

⑵使用注意事项：

①互易前后应保持电路的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；

②受控源的控制是有方向性的，为不可互易元件，故含有受控源的网络不是互易网络，互易定理一般不成立。

2.三种具体表现形式

互易定理的依据是特勒根定理，其有三种表现形式：

①激励为电压源，响应为短路电流，如图1所示，$\hat{i}{}_1/{\hat{u}}_s=i{}_2/u_s$。

②激励为电流源，响应为开路电压，如图2所示，$\hat{u}{}_1/{\hat{i}}_s=u{}_2/i_s$。

③激励为电流源，响应为短路电流，互易后激励为电压源，响应为开路电压，如图3所示，$\hat{u}{}_1/{\hat{u}}_s=i{}_2/i_s$。

3.记忆及应用

⑴前两种形式

互易前后响应变量和激励变量类型不变且比例关系不变，即：激励为电压源，响应为短路电流（第一种形式），表现为$\hat{i}{}_1/{\hat{u}}_s=i{}_2/u_s$；或激励为电流源，响应为开路电压（第二种形式），表现为$\hat{u}{}_1/{\hat{i}}_s=u{}_2/i_s$。为验证所写公式的正确性，可把比例式写成乘积式，得到的应当是相对应的特勒根定理。

⑵第三种形式

激励为电流源，响应为短路电流，则互易后激励为电压源，响应为开路电压，表现为$\hat{u}{}_1/{\hat{u}}_s=i{}_2/i_s$，反之亦然。这种形式的特点是，互易前的激励和响应变量类型一致（都是电流或电压），互易后的激励和响应变量类型也一致（都是电压或电流），也可通过特勒根定理验证，即${\hat{u}}_1{i}_s={\hat{u}}_s{i}_2⟺\hat{u}{}_1/{\hat{u}}_s=i{}_2/i_s$。

只要是互易网络，互易定理会使电路的求解变得简单。

题1图4和图5所示电路中，网络N仅由电阻组成，在图1中，已知$U_2=6\mathrm{V}$，求图2中的$U_1^{{}^{\prime }}$。

解析：图4和图5中的两个电路，独立源置零后结构相同，且网络N仅由电阻组成，故构成互易网络。

两个电路仅激励位置不同，根据激励和响应变量的类型，可用互易定理的第二种形式（互易前后均取为电压电流比），即
$$\frac{U_2}{4}=\frac{U_1^{{}^{\prime }}}{2}$$
故
$$U_1^{{}^{\prime }}=\frac{2}{4}{U}_2=3\mathrm{V}$$

题2图6和图7所示电路中的网络N由电阻组成，图6中，$I_2=0.5\mathrm{A}$，求图7中的电压$U_1$。

解析：电路为互易网络，根据激励响应类型，应用互易定理的第三种形式（本题中互易前为电压比电压，互易后为电流比电流），有
$$\frac{3I_2}{5}=\frac{U{}_1/4}{6}$$
已知$I_2=0.5\mathrm{A}$，代入上式，解得
$$U_1=7.2\mathrm{V}$$

综合题★★★★

题3图8、图9和图10所示电路中的网络N仅由电阻组成，根据图8和图9的已知情况，求图10中的电流$I_1$和$I_2$。

解析：由叠加定理，可将图10看作图11和图12的叠加。

图11与图8相同，所以$I_1^{(1)}=3\mathrm{A},I_2^{(1)}=1\mathrm{A}$；

图12相当于图11中的激励和响应互换，由互易定理，$I_1^{(2)}=-I_2^{\left(1\right)}=-1\mathrm{A}$；

故，图10中的电流$I_1$为
$$I_1=I_1^{(1)}+I_1^{(2)}=2\mathrm{A}$$

由图9可知$I_2$所在支路的短路电流为$i_{sc}=2\mathrm{A}$，又由图8知$I_2$支路接入5Ω电阻时，电流为1A，即电压为5V。根据诺顿等效电路的外特性
$$i=i_{sc}-u/R_{eq}$$
即$$1=2-5/R_{eq}$$
所以$R_{eq}=5\Omega$，故图10中$I_2$支路以外的电路（即网络N右端口看进去的等效电路）可等效为图13所示电路的虚框部分。

接入20V电压源与5Ω电阻后（如图13所示），由叠加定理，电流$I_2$为
$$I_2=\frac{5}{5+5}\times 2-\frac{20}{5+5}=-1(\mathrm{A})$$