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数据结构第10节：平衡树

平衡树是一种特殊的二叉搜索树，它的设计目的是为了保持树的平衡，从而保证所有操作的时间复杂度保持在O(log n)，即使在最坏的情况下也是如此。最常见的平衡树之一是AVL树，它是以发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis的名字命名的。

在AVL树中，任何节点的两个子树的高度最大差别不超过1。这意味着AVL树总是尽可能地保持平衡，从而优化了搜索、插入和删除操作的效率。

AVL树的关键概念：

  1. 平衡因子：一个节点的平衡因子是其右子树的高度减去其左子树的高度。平衡因子可以是-1、0或1。

  2. 旋转：当插入或删除操作破坏了树的平衡时，AVL树会执行一系列的旋转操作来重新平衡树。旋转分为以下几种：

    • 单旋转：右旋（Right Rotation）和左旋（Left Rotation）。
    • 双旋转：右旋后再左旋（Right-Left Rotation）或左旋后再右旋（Left-Right Rotation）。

Java实现案例：

我们可以通过下面的Java代码来实现一个基本的AVL树：

public class AVLTree<T extends Comparable<T>> {
    private Node<T> root;

    private static class Node<T> {
        T data;
        Node<T> left, right;
        int height;

        Node(T data) {
            this.data = data;
            height = 1;
        }
    }

    private int height(Node<T> N) {
        if (N == null)
            return 0;
        return N.height;
    }

    private int getBalance(Node<T> N) {
        if (N == null)
            return 0;
        return height(N.right) - height(N.left);
    }

    private Node<T> rightRotate(Node<T> y) {
        Node<T> x = y.left;
        Node<T> T2 = x.right;
        x.right = y;
        y.left = T2;
        y.height = Math.max(height(y.left), height(y.right)) + 1;
        x.height = Math.max(height(x.left), height(x.right)) + 1;
        return x;
    }

    private Node<T> leftRotate(Node<T> x) {
        Node<T> y = x.right;
        Node<T> T2 = y.left;
        y.left = x;
        x.right = T2;
        x.height = Math.max(height(x.left), height(x.right)) + 1;
        y.height = Math.max(height(y.left), height(y.right)) + 1;
        return y;
    }

    private Node<T> insert(Node<T> node, T key) {
        if (node == null)
            return new Node<>(key);
        if (key.compareTo(node.data) < 0)
            node.left = insert(node.left, key);
        else if (key.compareTo(node.data) > 0)
            node.right = insert(node.right, key);
        else
            return node;

        node.height = 1 + Math.max(height(node.left), height(node.right));

        int balance = getBalance(node);

        // Left Left Case
        if (balance > 1 && key.compareTo(node.left.data) < 0)
            return rightRotate(node);

        // Right Right Case
        if (balance < -1 && key.compareTo(node.right.data) > 0)
            return leftRotate(node);

        // Left Right Case
        if (balance > 1 && key.compareTo(node.left.data) > 0) {
            node.left = leftRotate(node.left);
            return rightRotate(node);
        }

        // Right Left Case
        if (balance < -1 && key.compareTo(node.right.data) < 0) {
            node.right = rightRotate(node.right);
            return leftRotate(node);
        }
        return node;
    }

    public void insert(T key) {
        root = insert(root, key);
    }

    // ... 其他方法如删除、查找、遍历等
}

应用案例：

假设我们要构建一个AVL树来存储一组整数，并保持树的平衡状态。我们可以这样使用：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        AVLTree<Integer> avlTree = new AVLTree<>();
        avlTree.insert(10);
        avlTree.insert(20);
        avlTree.insert(30);
        avlTree.insert(40);
        avlTree.insert(50);
        avlTree.insert(25);
        
        // 在此之后，avlTree应该是一个平衡的AVL树
    }
}

以上代码展示了如何使用AVL树插入一些整数值，并自动调整树的平衡。在实际应用中，AVL树可以用于各种需要高效搜索、插入和删除操作的场景，比如数据库索引、符号表等。

下面，我将补充AVL树的删除、查找以及遍历方法。

删除操作

删除操作在AVL树中比较复杂，因为它涉及到保持树的平衡。在删除节点后，需要检查并修复可能的不平衡。

private Node<T> delete(Node<T> root, T key) {
    if (root == null)
        return root;
    
    if (key.compareTo(root.data) < 0)
        root.left = delete(root.left, key);
    else if (key.compareTo(root.data) > 0)
        root.right = delete(root.right, key);
    else {
        if (root.left == null)
            return root.right;
        else if (root.right == null)
            return root.left;

        root.data = minValue(root.right);
        root.right = delete(root.right, root.data);
    }

    root.height = Math.max(height(root.left), height(root.right)) + 1;

    int balance = getBalance(root);

    if (balance > 1 && getBalance(root.left) >= 0)
        return rightRotate(root);
    if (balance < -1 && getBalance(root.right) <= 0)
        return leftRotate(root);
    if (balance > 1 && getBalance(root.left) < 0) {
        root.left = leftRotate(root.left);
        return rightRotate(root);
    }
    if (balance < -1 && getBalance(root.right) > 0) {
        root.right = rightRotate(root.right);
        return leftRotate(root);
    }

    return root;
}

private T minValue(Node<T> node) {
    T minv = node.data;
    while (node.left != null) {
        minv = node.left.data;
        node = node.left;
    }
    return minv;
}

查找操作

查找操作在AVL树中相对简单，遵循二叉搜索树的查找规则。

public boolean contains(T key) {
    return search(root, key) != null;
}

private Node<T> search(Node<T> node, T key) {
    if (node == null || key.equals(node.data))
        return node;

    if (key.compareTo(node.data) < 0)
        return search(node.left, key);
    else
        return search(node.right, key);
}

遍历操作

遍历操作包括前序遍历、中序遍历和后序遍历，这里展示中序遍历。

public void inorderTraversal() {
    inorder(root);
}

private void inorder(Node<T> node) {
    if (node != null) {
        inorder(node.left);
        System.out.print(node.data + " ");
        inorder(node.right);
    }
}

主方法使用示例

将上述代码整合进AVLTree类中，然后在main方法中使用：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        AVLTree<Integer> avlTree = new AVLTree<>();
        avlTree.insert(10);
        avlTree.insert(20);
        avlTree.insert(30);
        avlTree.insert(40);
        avlTree.insert(50);
        avlTree.insert(25);
        
        System.out.println("Inorder traversal of the constructed AVL tree is");
        avlTree.inorderTraversal();
        System.out.println();

        System.out.println("Deleting key 40");
        avlTree.delete(40);
        System.out.println("Inorder traversal after deletion is");
        avlTree.inorderTraversal();
        System.out.println();

        System.out.println("Searching for key 25: " + avlTree.contains(25));
        System.out.println("Searching for key 60: " + avlTree.contains(60));
    }
}

这段代码演示了如何插入元素、遍历AVL树、删除元素以及查找元素。

以下是前序遍历和后序遍历的代码实现，我们将它们添加到之前的AVLTree类中：

前序遍历

前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。

public void preorderTraversal() {
    preorder(root);
}

private void preorder(Node<T> node) {
    if (node != null) {
        System.out.print(node.data + " ");
        preorder(node.left);
        preorder(node.right);
    }
}

后序遍历

后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。

public void postorderTraversal() {
    postorder(root);
}

private void postorder(Node<T> node) {
    if (node != null) {
        postorder(node.left);
        postorder(node.right);
        System.out.print(node.data + " ");
    }
}

更新主方法示例

我们更新main方法来演示这些遍历方法：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        AVLTree<Integer> avlTree = new AVLTree<>();
        avlTree.insert(10);
        avlTree.insert(20);
        avlTree.insert(30);
        avlTree.insert(40);
        avlTree.insert(50);
        avlTree.insert(25);
        
        System.out.println("Inorder traversal of the constructed AVL tree is");
        avlTree.inorderTraversal();
        System.out.println();

        System.out.println("Preorder traversal of the constructed AVL tree is");
        avlTree.preorderTraversal();
        System.out.println();

        System.out.println("Postorder traversal of the constructed AVL tree is");
        avlTree.postorderTraversal();
        System.out.println();

        System.out.println("Deleting key 40");
        avlTree.delete(40);
        System.out.println("Inorder traversal after deletion is");
        avlTree.inorderTraversal();
        System.out.println();

        System.out.println("Searching for key 25: " + avlTree.contains(25));
        System.out.println("Searching for key 60: " + avlTree.contains(60));
    }
}

这段代码展示了如何使用AVL树的各种遍历方法，包括中序遍历、前序遍历和后序遍历，以及插入、删除和查找操作。

悦读

道可道，非常道；名可名，非常名。 无名，天地之始，有名，万物之母。 故常无欲，以观其妙，常有欲，以观其徼。 此两者，同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。

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