DFT

2023年11月18日
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1. 离散傅里叶变换-DFT

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），是当有 $N$ 个信号采样点，且采样间隔为 $T$ 时候的傅里叶变换。
实际信号不可能无限长，所以采样点只有有限个。
傅里叶变换中，离散与周期相对应。有限个离散采样点做傅里叶变换（即DTFT，离散时间傅里叶变换）得到的是连续且有周期性（周期为 $2\pi$ ）的频谱。
如果我们把已有的采样点不断重复，就得到了时域上离散且有周期性的函数，这样傅里叶变换的频谱也是离散且有周期性的。
这种将已有采样点延拓成周期信号做傅里叶变换的方法即为DFT。

时域中的一个周期与频域中的一个周期相对应。时域中一个周期包含所有采样点。
显然，DFT时域与频域一个周期中离散点的个数是有限的，于是可以用计算机进行运算。
设有连续信号 $f(t)$ ，和 $N$ 个采样点 $f[0],f[1],f[2],\cdots ,f[N-1]$ ，连续信号的傅里叶变换为：
$$F(j\omega )\stackrel{\text{ FT }}{=}{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$$
我们认为每个采样点 $f[n]$ 都是一个冲激函数，相加得到采样后的 $f(t)$ ，将采样后的 $f(t)$ 代入上式就得到了DTFT的公式，积分仅在冲激函数处存在：
$$\begin{array}{rl}F(j\omega )\stackrel{\text{ DTFT }}{=}& {\int }_0^{(N-1)T}f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t,t=nT\\ & \\ =& f[0]e^{-j0}+f[1]e^{-j\omega T}+f[2]e^{-j\omega 2T}+\cdots +f[N-1]e^{-j\omega (N-1)T}\\ & \\ =& \sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j\omega nT}\end{array}$$
DTFT的频谱是连续的，我们将时域的离散信号延拓成周期离散信号，可以得到离散且有周期性的频谱。
由于频谱有周期性，我们只观察离散频谱的第一个周期，其中离散点为：
$$\omega =0,\frac{2\pi }{NT},\frac{2\pi }{NT}\times 2,\cdots ,\frac{2\pi }{NT}\times k,\cdots ,\frac{2\pi }{NT}\times (N-1)$$
于是我们得到DFT的公式：
$$F[k]\stackrel{\text{ DFT }}{=}\sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn},k=0,1,\cdots ,N-1$$
$N-1$ 个离散采样点 $f[n]$ ，通过DFT可以得到 $N-1$ 个离散点构成的频谱 $F[k]$ 。如果令
$$W=e^{-j\frac{2\pi }{N}}$$
则有：
$$F[k]\stackrel{\text{ DFT }}{=}\sum _{n=0}^{N-1}f[n]W^{kn},k=0,1,\cdots ,N-1$$
$$W^{Nn}=e^{-j2n\pi }=\cos (-2n\pi )+j\sin (-2n\pi )=1,n=0,1,\cdots ,N-1$$
DTF可以写成矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{c}F[0]\\ F[1]\\ F[2]\\ ⋮\\ F[k]\\ ⋮\\ F[N-1]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& W& W^2& W^3& \cdots & W^{N-1}\\ 1& W^2& W^4& W^6& \cdots & W^{2(N-1)}\\ 1& W^3& W^6& W^9& \cdots & W^{3(N-1)}\\ ⋮& & & & & \\ 1& W^k& W^{2k}& W^{3k}& \cdots & W^{k(N-1)}\\ ⋮& & & & & \\ 1& W^{N-1}& W^{2(N-1)}& W^{3(N-1)}& \cdots & W^{(N-1)(N-1)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f[0]\\ f[1]\\ f[2]\\ ⋮\\ f[n]\\ ⋮\\ f[N-1]\end{array}\right]$$

[!example]-
对 $f(t)=5+2\cos (2\pi t-90°)+3\cos (4\pi t)$

设有4个离散的采样点，采样间隔 $0.25s$ ，采样周期正好为 $1s$
$$f[0]=8,f[1]=4,f[2]=8,f[3]=0,N=4$$
则DTF矩阵可以写成：
$$\left[\begin{array}{c}F[0]\\ F[1]\\ F[2]\\ F[3]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -j& -1& j\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& j& -1& -j\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f[0]\\ f[1]\\ f[2]\\ f[3]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}20\\ -4j\\ 12\\ 4j\end{array}\right]$$
频谱取幅值，我们可以得到4个离散的频谱
$$|F[0]|=20,|F[1]|=4,|F[2]|=12,|F[3]|=4$$

2. 离散傅里叶反变换-IDFT

对DFT
$$F[k]\stackrel{\text{ DFT }}{=}\sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn},k=0,1,\cdots ,N-1$$
其反变换（Inverse Discrete Fourier Transform）为：
$$f[n]\stackrel{\text{ IDFT }}{=}\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}F[k]e^{j\frac{2\pi }{N}kn},n=0,1,\cdots ,N-1$$
DFT的输出为复数，IDFT的输出为实数。由于

• DTFT的幅度频谱的周期为 $2\pi$，且实数信号的频谱共轭对称（幅度为偶函数）
• DTFT的连续频谱为DFT离散频谱的包络线

所以DFT在第一个周期内的频谱（ $[0,2\pi ]$ 内的离散点）关于 $N/2$ 共轭对称。
对于基频比较大的离散信号点组，按理说其频谱应该是有一个幅度较大的基频，还有一些幅度较小的谐波分量。但由于DFT的结果关于 $N/2$ 共轭对称，会有另一个跟基频幅值一样的角频率在第一个频谱周期中出现。显然将第一个频谱周期当作DFT的结果是不合理的，对于第一个频谱周期，从 $N/2$ 往后的离散点都属于“混叠频率”，只有 $0$ 到 $N/2$ 的离散点才会被考虑为合理的频谱。
从IDFT的公式来看，共轭对称的离散频谱 $F[k]$ 与 $F[N-k]$ 对信号点 $f[n]$ 的贡献为：
f k [ n ] = 1 N { F [ k ] e j 2 π N k n + F [ N − k ] e j 2 π N ( N − k ) n } f_k[n]= \frac{1}{N} \lbrace F[k]e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N} kn}+F[N-k]e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N} (N-k)n} \rbrace fk​[n]=N1​{F[k]ejN2π​kn+F[N−k]ejN2π​(N−k)n}
由于
$$F[N-k]=\sum _{k=0}^{N-1}f[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}(N-k)n}$$
$$e^{-j\frac{2\pi }{N}(N-k)n}=e^{-j2\pi n}{e}^{j\frac{2\pi }{N}kn}=e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$$
所以 $F[N-k]$ 为 $F[k]$ 的共轭转置，记为
$$F[N-k]=F^{\ast }[k]$$
所以
f k [ n ] = 1 N { F [ k ] e j 2 π N k n + F ∗ [ k ] e j 2 π N ( N − k ) n }    ,    e j 2 π n = 1 = 2 N { ℜ [ F [ k ] ] cos ⁡ ( 2 π N k n ) − ℑ [ F [ k ] ] sin ⁡ ( 2 π N k n ) } = 2 N ∣ F [ k ] ∣ cos ⁡ ( ( 2 π N T k ) n T + arg ⁡ ( F [ k ] ) ) \begin{align*} f_k[n]=& \frac{1}{N} \lbrace F[k]e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N} kn}+F ^{*} [k]e^{j\frac{\large 2\pi}{\large N} (N-k)n} \rbrace \,\,,\,\, e^{j2\pi n}=1 \\ \\ =& \frac{2}{N} \lbrace \Re [F[k]] \cos(\frac{2\pi}{N}kn)-\Im [ F [k]]\sin(\frac{2\pi}{N}kn) \rbrace \\ \\ =& \frac{2}{N} |F[k]| \cos \bigg( (\frac{2\pi}{NT}k)nT +\arg(F[k]) \bigg) \end{align*} fk​[n]===​N1​{F[k]ejN2π​kn+F∗[k]ejN2π​(N−k)n},ej2πn=1N2​{ℜ[F[k]]cos(N2π​kn)−ℑ[F[k]]sin(N2π​kn)}N2​∣F[k]∣cos((NT2π​k)nT+arg(F[k]))​
相当于采样之后的一个角频率为 $2\pi k/NT$ ，幅值为 $2|F[k]|/N$ 的正弦波，在连续时间下即为 $k$ 次谐波。
DFT的有效频谱频率范围在 $[0,\pi ]$ ，即DFT输出的各次谐波频率为
$$\omega =0,\frac{2\pi }{NT},\frac{2\pi }{NT}\times 2,\cdots ,\frac{2\pi }{NT}\times k,\cdots ,\frac{2\pi }{NT}\times \frac{N}{2}$$
真实的谐波频率为
$${\omega }_{real}=\omega \cdot \frac{N}{T_p}$$
$T_p$ 为时间序列的真实周期时间。$N$ 越大，DFT能输出的有效频率范围也越大。
仍以前面举出的例子为例

[!example]-

1. $F[0]=20$ 表示直流分量为 $F[0]/N=20/4=5$
2. $F[1]=-4j=F^{\ast }[3]$ 表示采样的基频幅值为 $2|F[1]|/N=2$ ，相位 $-90°$
   $$2\cos (\frac{2\pi }{NT}nT-90°)=2\cos (\frac{\pi }{2}n-90°)$$
3. $F[2]=12$ 表示采样的二次频谐波如下
   $$f_2[n]=\frac{1}{N}F[2]e^{j\frac{2\pi }{N}2n}=3\cos (\pi n)$$

在实际应用中， $N$ 必须大于 $4$ 。 对 $N=1024$ ，会有 $1024$ 个离散频率点， $F[k]$ 有 $1024$ 个，但第 $513$ 到第 $1023$ 个点是 $511$ 到第 $1$ 个采样点的共轭转置， $F[0]/1024$ 是直流分量， $2|F[1]|/1024$ 到 $2|F[511]|/1024$ 是交流分量的幅值， $1|F[512]|/1024$ 是一个cosine-only的分量的幅值，且在最高分辨频率点 （$k=N/2$）上。

3. DFT的误差

DFT在已有的采样点上能够多大程度近似傅里叶变换？显然DFT只是一个近似，因为它只提供了有限个频率点。但这些离散频率点有多正确？
DFT有两种误差，混叠（aliasing）与“泄漏（leakage）”。
混叠之前说过了，如果采样点过少（采样间隔太大），最高分辨频率点就会过小，会出现混叠。解决的方法是增加采样率，或者提前对信号进行滤波，去掉高次谐波。网上还说了一种方法就是补上一段值为 $0$ 的信号，也相当于增加了采样点。
泄漏，或者说拖尾效应，就是在做DFT时候时域信号并不是某个周期信号的整数倍，比如如果输入信号是正弦信号的 $1.25$ 个周期，那在对DFT时候实际上是将 $1.25$ 个周期的正弦信号做为DFT的信号周期，这样延拓出的周期信号就有很大的不连续性，会导致频谱存在谐波。如图

解决方案是使用我们在设计FIR滤波器时遇到的窗口函数之一（例如Hamming或Hanning窗口）。这些窗函数使采样信号在两个端点处逐渐变细为零值，因此与假设的下一个周期不存在不连续性（在Hanning窗的情况下，不存在非常小的不连续性）。泄漏的现象也会减小。

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【数字信号处理】FFT