2010-08-08 13:16|
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数学常数最令人着迷的就是，它们常常出现在一些看似与之毫不相干的场合中。 随便取一个 0 到 1 之间的数，再加上另一个 0 到 1 之间的随机数，然后再加上一个 0 到 1 之间的随机数⋯⋯直到和超过 1 为止。一个有趣的问题：平均需要加多少次，才能让和超过 1 呢？答案是 e 次。
为了证明这一点，让我们先来看一个更简单的问题：任取两个 0 到 1 之间的实数，它们的和小于 1 的概率有多大？容易想到，满足 x+y<1 的点 (x, y) 占据了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面积，因此这两个实数之和小于 1 的概率就是 1/2 。类似地，三个数之和小于 1 的概率则是 1/6 ，它是平面 x+y+z=1 在单位立方体中截得的一个三棱锥。这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系，通过简单的积分求得：
∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6
可以想到，四个 0 到 1 之间的随机数之和小于 1 的概率就等于四维立方体一角的“体积”，它的“底面”是一个体积为 1/6 的三维体，在第四维上对其进行积分便可得到其“体积”
∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24
依此类推， n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是
(1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!
因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为
∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e
来源：http://www.mostlymaths.net/2010/08/and-e-appears-from-nowhere.html