背包（矩阵算法）详解

最近两天整背包算法整的懵逼了，为什么懵逼？首先对着这个公式看了好久，如下：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 或 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

是不是觉得很懵逼？没错，看起来好像理解了，但是又不是很明白，直到我看到了如下的东西

体积	1	2	3	4	5	6
物品1	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值
物品2	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值
物品3	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值
物品4	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值	当前重量和物品下的最大价值

然后问题就转化为了在矩阵里面填入满足条件的价值；即当前物品种类和当前重量下的最大价值；比如我们来看坐标（物品1，3）就代表，当存在物品1时，背包容量为3的情况下，价值最大是多少？

（物品2，3）就代表，当存在物品1，物品2是，背包容量为3的情况下，价值最大是多少？以此类推：

（物品4，6）代表存在物品1，2，3，4，背包容量为6的情况下，价值最大是多少；

理解了矩阵的含义，我们再来看公式，说白了就是根据矩阵前面的情况来决定矩阵当前格子内填的数目：

比如F [i][v],举个栗子，i=物品2，v=5时就是F[物品2][5]，我们就在表格上找到这一格，当到了处理这一格时，就已经说明物品1那一行和物品2那一行的前4个格子都已经填上了数字，代表了当前物品种类下和背包容量下的最大价值；

接下来就是要决定F[物品2][5]这一格里面填什么了；

F[i-1][V]：我们填入实例就是F[物品1][5]的价值：背包为5的情况下，还没有放入物品2的最大价值是多少？就是F[物品1][5]；

F[i-1][v-c[i]]+w[i]:首先这个位置有一个值得注意的点，变为F[i][V-c[i]]+w[i];那么则由一个物品变为了一类物品，C[i]，我们这里理解为物品2的重量，W[i]我们理解为物品2的价值；因为这个时候我们要的应该是同时存在物品1情况下容量为（5-物品2体积）的价值，即F[物品1][5-物品2体积]这一格空格的值；

F[i][v-c[i]]+w[i]:即F[物品2][5-物品2体积]+物品2价值；F[物品1][5-物品2体积]代表了存在物品1和物品2情况下，体积为5-物品2体积情况下的最大价值；

那么MAX{ f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}就是比较{F[物品1][5]，F[i-1][v-c[i]]+w[i]:即F[物品2][5-物品2体积]+物品2价值}谁的价值更大，那么 F[物品1][5]就填入哪个值代表重量为5的情况下，存在物品1和物品2情况下的价值最大值；

直到一直这样把这个矩阵填写完，那么矩阵的最后一行最后一列就是有最多种类的物品和最大的背包容量下的最大价值是多少；附上算法源码：

Pakage **p：代表背包的二维数组，即矩阵本体；

ItemPakage* ItemEnum 代表物品种类的矩阵，即纵坐标

int volt：代表背包的体积容量，即横坐标的最大值

int MaxValue(Pakage **p,ItemPakage* ItemEnum,int nTypeNum,int nvolt)
{
    for (int i=0; i<=nTypeNum; i++)
    {
        p[i][0].nItem=0;
        p[i][0].sumvolt=0;
    }
    for (int j=0; j<=nvolt; j++)
    {
        p[0][j].nItem=0;
        p[0][j].sumvalue=0;
    }

    for (int i=1; i<=nTypeNum; i++)
    {

          for (int j=1;j<=nvolt;j++)
          {
            if (j>=ItemEnum[i-1].Volt)
            {
                if (p[i-1][j-ItemEnum[i-1].Volt].sumvalue+ItemEnum[i-1].Value>p[i-1][j].sumvalue)
                {
                    p[i][j]=p[i-1][j-ItemEnum[i-1].Volt];
                    p[i][j].sumvalue+=ItemEnum[i-1].Value;
                    p[i][j].nItem=p[i][j].nItem+1;
                    p[i][j].ArrItem[p[i][j].nItem-1]=ItemEnum[i-1];
                }

                else
                {
                    p[i][j]=p[i-1][j];
                }
            }
            else
                p[i][j]=p[i][j-1];
          }
        }

    return p[nTypeNum][nvolt].sumvalue ;

}

最后就是需要注意边界条件了；因为二维矩阵的纵坐标是物品个数，横坐标为物品体积，都是从1开始的，但是矩阵本身初始记录位置是从0开始的，为了避免编程过程中思维的多次转换以及单独的边界条件处理（0的情况）建议简单化；4个物品体积为8的问题，不是开（4x8）32个格子的矩阵而是要开（5X9）45个格子的矩阵，涉及到0的位置全部填0；

接下来就是愉快的编写算法了！

背包（矩阵算法）详解

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