相机内参标定理论篇------张正友标定法

标定是为了得到相机坐标系下的点和图像像素点的映射关系，为摄影几何、计算机视觉等应用做准备。

张正友标定法使手工标定相机成为可能，使相机标定不再需要精密的设备帮助。但内参标定的精度却需要依赖采集数据的质量。精度不如专业设备的结果，不过在日常科研等对精度要求不是非常高的领域足够满足。

我们先思考一个问题，以针孔模型为例相机标定需要那些参数：

内参：fx fy cx cy k1 k2 p1 p2；

外参：R t。

假如我们用n张图像来标定相机的话，我们需要求解8 +（3 + 3）x n = 6n + 8个参数。求解这么多参数需要使用最优化。构建目标函数：

$\sum_{1}^{n}\sum_{1}^{m}\left \| m_{ij} - m\hat{}(A, k_{1}, k_{2}, p_{1}, p_{2},R_{i}, t_{i}, M_{j})\right \|^{2}$

其中 $m_{ij}$ 为图像上角点， $m\hat{}$ 为投影点。

我们知道优化问题最害怕的就是遇到局部最优，导致优化后的结果和真实值相差较大。为了解决局部最优，最好的方法是提供较为准确的初值，这就是张正友标定法最重要的作用。通过正交矩阵性质计算出不考虑畸变的相机内参和外参初值，然后利用最优化的方法，便可以得到精确的内参。

已知相机成像过程：世界坐标系->相机坐标系->相机坐标系->像素坐标系。可以用下面公式描述：

其中M为世界坐标系点，R t为世界坐标系到相机坐标系的旋转矩阵和平移量，A为相机内参矩阵，s为比例系数。

将具体数值代入公式可以获得：

其中r为R矩阵的列向量。已知世界坐标系在实际中选取为标定板坐标系，因此世界坐标系下点的Z值为零，因此可以进一步化简。

由于相机图像和标定板都是平面，两个平面上坐标的对应关系就可以利用单应矩阵。因此可以引入单应矩阵H：

用列向量表示H得：

由旋转矩阵是正交矩阵可以得到两条性质：列向量两两正交，且列向量是单位向量，因此可以得到：

因此可以用B表示 $A^{-T}A^{-1}$ :

将B代入上式并展开得到：

其中：

最后得到：

到现在，需要先求解H矩阵，然后利用H矩阵求解B矩阵。已知H矩阵有八个未知数（约去比例系数，使矩阵最后一项为1），利用下面公式，一对对应点可以提供两个约束，因此需要四个点可以求出单应矩阵H；

$\begin{bmatrix} u\\ v\\ 1 \end{bmatrix} = H\begin{bmatrix} X\\ Y\\ 1 \end{bmatrix}$

有了H矩阵值后可以得到 $V_{ij}$ 值，已知B是对称矩阵因此有六个未知数，每个单应矩阵H可以提供两个约束，所以求解B最少需要三个不同的单应矩阵，也就是三个不同视角的标定图像。

求出B后便可以求解内参矩阵A，再得到A后利用下面公司便可以求出外参矩阵R和t:

至此便得到了相机内参的初值和不同标定图像外参的初值，然后再利用上面提到的目标函数进行最优化得到最后标定的内参。

1.张正友标定法最重要的地方是计算出了相机内参和外参的数值解，然后作为初始值代入的优化函数，解决了局部最优化的问题，使手工标定相机内参成为可能。

2.由于相机标定数据是手工采集，因此相机内参标定的精度取决于数据质量。涉及标定板选取和采集图像的注意事项，后续文章会介绍如何采集图像。

3.由于相机内外参在投影过程具有耦合关系，所以在优化时外参结果不准确也会影响内参结果，导致重投影误差很小但是得到的相机内参误差较大。

4.在需要精确内参标定结果时推荐使用相机厂商标定结果，在专业相机内参标定时，利用机械臂抓住相机在特定位置进行采图。相机外参有非常准确的初值，在优化时可以得到非常高的内参精度。