前言

上文末尾介绍了集合的公理3.5 分类公理，该公理可以从集合中分出满足某个性质的子集。现在，我们借由这个公理，去定义集合间的其他计算。

一、集合的交

将分类公理中的性质 $P(x)$ 定义为 $x\in B$，即可得到集合A与B的交的定义：

有集合A和B，则集合A与B的交定义为： A ∩ B = { x ∈ A : x ∈ B } A\cap B=\{x\in A: x\in B\} A∩B={x∈A:x∈B}。即对任意 $x\in A\cap B,有x\in A且x\in B$。

我们知道对任意的两个集合，不一定存在同时属于两个集合的元素，即他们的交可能为空集，对于这样的两个集合称为不交的。类似的还有相异的概念，即两个集合不相等。$\varnothing$ 与 $\varnothing$ 是不交的，但是不是相异的（不存在同时属于这俩集合的元素，但是他们同为空集，是相等的）。

集合的交具有几个性质：首先，从交的定义上容易看出集合的交是满足可交换性的，因为其等价命题 $x\in A且x\in B$是可交换的。其次，$A\cap B\subseteq A,A\cap B\subseteq B$。我们对第二条性质作简单说明如下：

证明：$x\in A\cap B⟺x\in A且x\in B\to x\in B$
$\therefore A\cap B\subseteq B$

(类似的也有 $A\subseteq A\cup B,B\subseteq A\cup B$，$x\in A\to x\in A或x\in B$)

二、集合的差

与交类似，我们再将分类公理中的性质 $P(x)$ 定义为 $x\notin B$，即可得到集合A与B的差集$A\backslash B$的定义：

有集合A和B，则集合A与B的差集 $A-B$ 或者 A \ B = { x ∈ A : x ∉ B } A\backslash B=\{x\in A: x\notin B\} A\B={x∈A:x∈/B}。即对任意 $x\in A\backslash B,有x\in A且x\notin B$。

同样的，对于差集，我们有 $A\backslash B\subseteq A$。实际上，在3.1 (b)介绍分类公理的时候我们已经有结论，对于分离出来的集合，均有其为原集合的子集的结论。因此，基于分类公理定义的交和差都仍然是原集合的子集。

三、集合的并、交与差的性质

关于集合A、B、C与X的并、交与差，有如下一系列命题：（A、B、C均为X的子集）

1. $A\cup \varnothing =A,A\cap \varnothing =\varnothing$
2. $A\cup X=X,A\cap X=A$
3. $A\cup A=A，A\cap A=A$
4. $A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$
5. $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
6. $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
7. $A\cup X\backslash A=X,A\cap X\backslash A=\varnothing$
8. $X\backslash (A\cup B)=(X\backslash A)\cap (X\backslash B),X\backslash (A\cap B)=(X\backslash A)\cap (X\backslash B)$

上述定律被确立为集合的基本定律，下面我们来依次证明一下，其中有些定律已经之前说明过了。

1. 证明：a) 设 $A\cup \varnothing \ne A$
   $\because A\subseteq A\cup \varnothing$
   $\therefore \exists x\in A\cup \varnothing \to x\notin A$
   $⟺x\in A或x\in \varnothing \to x\notin A$ 矛盾！x既无法属于空集也无法同时属于且不属于集合A
   b) 设 $A\cap \varnothing \ne \varnothing$
   $\therefore x\in A\cap \varnothing$
   $⟺x\in A且x\in \varnothing$ 矛盾！没有元素属于空集。

2. 证明：a) $x\in A\cup X⟺x\in A或x\in X$
   $\because A\subseteq X,\forall x\in A\to x\in X$,
   $\therefore ⟺x\in A或x\in X\to x\in X,A\cup X\subseteq X$
   $\because X\subseteq A\cup X$
   $\therefore A\cup X=X$
   b) 设A不是$A\cap X$的子集。
   则 $\exists y\in A\to y\notin A\cap X$
   $⟺y\notin A或y\notin X$
   即 $y\notin X$，而由 $A\subseteq X$ 有 $y\in X$
   矛盾！$\therefore A\subseteq A\cap X$
   $\because A\cap X\subseteq A$
   $\therefore A\cap X=A$

3. 证明：$x\in A或x\in A⟺x\in A，\therefore A\cup A=A$
   $x\in A且x\in A⟺x\in A，\therefore A\cap A=A$

关于4和5，并的可交换性与结合律前面均已说明；交的交换律与结合律通过“且”连接条件的可交换性容易得到，此处略。

6. 证明：a) $x\in A\cap (B\cup C)⟺x\in A且x\in B\cup C$
   $⟺x\in A且(x\in B或x\in C)$
   $⟺(x\in A且x\in B)或(x\in A且x\in C)$
   $⟺(A\cap B)\cup (A\cap C)$
   b) $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)⟺(x\in A或x\in B）且(x\in A或x\in C)$
   $⟺(x\in A,x\in A)或(x\in A,x\in C)或(x\in B,x\in A)或(x\in B,x\in C)$
   $⟺x\in A或x\in A\cap C或x\in B\cap A或x\in B\cap C$
   $⟺A\cup (A\cap C)\cup (A\cap B)\cup (B\cap C)=A\cup (B\cap C)$

7. 证明：a) $x\in A\cup (X\backslash A)⟺x\in A或(x\in X且x\notin A)$
   $\because A\subseteq X,\therefore x\in A\to x\in X$
   $x\in A或(x\in X且x\notin A)\to x\in X,x\in A\cup (X\backslash A)\subseteq X$
   $\forall y\in X,若y\notin A,则有y\in X\backslash A\subseteq A\cup (X\backslash A)$
   $若y\in A,则有y\in A\subseteq A\cup (X\backslash A)$
   $\therefore X\subseteq A\cup (X\backslash A)$
   $\therefore A\cup (X\backslash A)=X$
   b) 设 $A\cap (X\backslash A)\ne \varnothing$
   $\therefore x\in A\cap (X\backslash A)$
   $x\in A且x\in (X\backslash A)$
   $⟺x\in A且x\in X且x\notin A$ 矛盾！
   $\therefore A\cap (X\backslash A)=\varnothing$

8. 证明：a) $x\in X\backslash (A\cup B)⟺x\in X,x\notin A,x\notin B$
   $⟺x\in X,x\notin A,x\in X,x\notin B⟺x\in (X\backslash A)\cap (X\backslash B)$
   b) $x\in X\backslash (A\cap B)⟺x\in X,x\notin (A\cap B)$
   $⟺x\in X,(x\notin A或x\notin B)$
   $⟺(x\in X,x\notin A)或(x\in X,x\notin B)$
   $⟺x\in (X\backslash A)\cup (X\backslash B)$

这些定律的证明过程都比较简单明了，这里就不再赘述了。

总结

防止篇幅过长，集合论的最后两个公理，替换公理和无限集合将放到下节介绍，并给出后面习题部分的参考。