数学知识

数学真是一个令人摸不着头脑的一个东西，小小的质数都可以把你拿捏得死死的

一、质数

1、试除法判定质数

朴素做法（容易超时，时间复杂度O(n)）

#include <iostream>
using namespace  std;

int check_primes(int x)
{
    if(x==1)
    return 0;
  for (int i = 2; i < x; i++)
  {
    if (x % i == 0)
      return 0;
  }
  return 1;
}

int main()
{
  int n;
  cin >> n;
  while (n--)
  {
    int a;
    cin >> a;
    if (check_primes(a))
      cout << "Yes"<<endl;
    else
      cout << "No"<<endl;
  }
  return 0;
}

2、开方判定质数

因为一个数n可以分为两个数的乘积，一个比n的开平方根小，另一个比开平方大，所以遍历到sqrt（n）即可（O(sqrt(n))）

#include <iostream>
using namespace  std;

int check_primes(int x)
{
    if(x==1)
    return 0;
  for (int i = 2; i <= x/i; i++)
  {
    if (x % i == 0)
      return 0;
  }
  return 1;
}

int main()
{
  int n;
  cin >> n;
  while (n--)
  {
    int a;
    cin >> a;
    if (check_primes(a))
      cout << "Yes"<<endl;
    else
      cout << "No"<<endl;
  }
  return 0;
}

3、分解质因数

给定 n个正整数 ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

void divide(int x)
{
  for (int i = 2; i <= x / i; i++)
  {
    if (x % i == 0)
    {
      int s = 0;
      while (x % i == 0)
      {
        x /= i;
        s++;
      }
      printf("%d %d\n", i, s);
    }
  }
  if (x > 1)
  {
    printf("%d 1\n", x);
  }
  printf("\n");
}

int main()
{
  int n;
  cin >> n;
  while (n--)
  {
    int a;
    cin >>a;
    divide(a);
  }
  return 0;
}

4、筛质数

1~n中有n/lnn个质数

(1)、埃氏筛法

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int st[N], primes[N],cnt;

void get_primes(int x)
{
  for (int i = 2; i <= x; i++)
  {
    if (!st[i])
      primes[cnt++] = i;
    for (int j = i + i; j <= x; j += i)
    {
      st[j] = 1;
    }
  }
  printf("%d", cnt);
}

int main()
{
  int n;
  cin >> n;
  get_primes(n);
  return 0;
}

(2)、线性筛

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int st[N], primes[N], cnt;

void get_primes(int x)
{
  for (int i = 2; i <= x; i++)
  {
    if (!st[i])
      primes[cnt++] = i;
    for (int j = 0; primes[j] <= x/i; j++)
    {
      st[i * primes[j]] = 1;
      if (i % primes[j] == 0)
        break;
    }
  }
  printf("%d", cnt);
}

int main()
{
  int n;
  cin >> n;
  get_primes(n);
  return 0;
}

二、约数

1、试除法求约数

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{
  int T;
  cin >> T;
  while (T--)
  {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> res;
    for (int i = 1; i <= n / i; i++)
    {
      if (n % i == 0)
      {
        res.push_back(i);
        if (n / i != i)
          res.push_back(n / i);
      }
    }
    sort(res.begin(), res.end());
    for (auto x : res) cout << x << " ";
    cout << endl;

  }
}

2、约数个数

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int main()
{
  int t;
  cin >> t;
  unordered_map<int, int> h;//无序map集合存储质因数和质因数对应的出现的最大次数
  while (t--)
  {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 2; i <= n / i; i++)
    {
      while (n % i == 0)
      {
        h[i]++;
        n /= i;
      }

    }
    if (n > 1)h[n]++;

  }
  long long res = 1;
  for (auto iter = h.begin(); iter != h.end(); iter++)
  {
    res = res * (iter->second + 1) %mod;
  }
  cout << res;
  return 0;
}

总结

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