数学中整除及余数的定义
设a，b是两个整数，且b≠0，则存在唯一的整数q和r使得：
a
=
q
×
b
+
r
（
0
≤
r
<
∣
b
∣
)
a=q×b+r（0≤r<|b|)
a=q×b+r（0≤r<∣b∣)
该式叫做带余除法，记余数
r
=
a
m
o
d
b
r = a\ mod\ b
r=a mod b
数学中的余数一定是非负整数。
数学中（以及python中），整除商为实数商向下取整。
商
q
=
⌊
a
b
⌋
q = \lfloor \frac{a}{b} \rfloor
q=⌊ba⌋
C++/Java/C#/JavaScript中，整除商为实数商向0取整。
商
q
=
⌊
a
b
⌋
（
a
b
≥
0
)
，
q
=
⌈
a
b
⌉
（
a
b
<
0
)
q=\lfloor \frac{a}{b} \rfloor（\frac{a}{b}\ge0)，q=\lceil \frac{a}{b} \rceil（\frac{a}{b}<0)
q=⌊ba⌋（ba≥0)，q=⌈ba⌉（ba<0)，
余数都为
r
=
b
∗
q
−
a
r = b*q-a
r=b∗q−a
因此两种整除定义下的余数不同。
例：
− 7 ÷ 2 = − 3.5 -7÷2 = -3.5 −7÷2=−3.5
商向0取整： − 7 = − 3 ∗ 2 − 1 -7 = -3*2-1 −7=−3∗2−1，即 − 7 ÷ 2 = − 3...... − 1 -7÷2 = -3......-1 −7÷2=−3......−1（C++取模）
商向下取整： − 7 = − 4 ∗ 2 + 1 -7 = -4*2+1 −7=−4∗2+1，即 − 7 ÷ 2 = − 4 … … 1 -7÷2 = -4……1 −7÷2=−4……1（数学取余）
使用C++代码完成数学取余，求a mod b：
商向0取整，则除法等式为
a
÷
b
=
c
.
.
.
.
.
.
d
a÷b=c......d
a÷b=c......d，其中
d
=
a
%
b
d=a\%b
d=a%b，%为C++取模运算。
满足
a
=
c
∗
b
+
d
a = c*b+d
a=c∗b+d
商向下取整，除法等式为
a
÷
b
=
e
.
.
.
.
.
.
f
a÷b=e......f
a÷b=e......f，其中
f
=
a
m
o
d
b
f = a\ mod\ b
f=a mod b，mod为数学取余运算。
满足
a
=
e
∗
b
+
f
a = e*b+f
a=e∗b+f
因此有：
c
∗
b
+
d
=
e
∗
b
+
f
c*b+d = e*b+f
c∗b+d=e∗b+f
如果
d
>
0
d>0
d>0，那么
f
=
d
f=d
f=d，此时
a
m
o
d
b
=
a
%
b
a\ mod\ b=a\%b
a mod b=a%b
如果
d
=
0
d=0
d=0，那么
f
=
0
f=0
f=0，此时
a
m
o
d
b
=
a
%
b
a\ mod\ b=a\%b
a mod b=a%b
如果
d
<
0
d<0
d<0，由于数学中余数不能为负，所以将等式调整为余数大于等于0。
- 如果除数 b > 0 b>0 b>0，则调整为 c ∗ b + d = ( c − 1 ) ∗ b + ( d + b ) c*b+d = (c-1)*b+(d+b) c∗b+d=(c−1)∗b+(d+b)，因此 f = d + b f=d+b f=d+b，此时 a m o d b = a % b + b a\ mod\ b=a\%b+b a mod b=a%b+b
- 如果除数 b < 0 b<0 b<0，则调整为 c ∗ b + d = ( c + 1 ) ∗ b + ( d − b ) c*b+d=(c+1)*b+(d-b) c∗b+d=(c+1)∗b+(d−b)，因此 f = d − b f=d-b f=d−b，此时 a m o d b = a % b − b a\ mod\ b = a\%b-b a mod b=a%b−b
- 综合以上两种情况， a m o d b = a % b + ∣ b ∣ a\ mod\ b = a\%b+|b| a mod b=a%b+∣b∣
综合以上所有情况，在各种情况下都满足
a
m
o
d
b
=
(
a
%
b
+
∣
b
∣
)
%
b
a\ mod\ b=(a\%b+|b|)\%b
a mod b=(a%b+∣b∣)%b
即C++中求a mod b的写法为：(a%b+abs(b))%b
（当b为long long类型时，需要自己写求long long类型绝对值的函数）。