【数据结构】二叉树

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。

每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

因此，树是递归定义的。

2.相关名词解释

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为2
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：D、E节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：C节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

3.树的应用

二、什么是二叉树

1.概念

二叉树是一种特殊的树，其具有以下特点：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3.二叉树的一些性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点
若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 $n_{0}$ , 度为2的分支结点个数为 $n_{2}$ ,则有 $n_{0}=n_{2}+1$
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度 $h=\log _{2}{(n+1)}$
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

若i>0，i位置节点的双亲序号： $(i+1)/2$ ；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
若 $2i+1<n$ ，左孩子节点序号为 $2i+1$ ；若 $2i+1\geqslant n$ ，则无左孩子
若 $2i+2<n$ ，左孩子节点序号为 $2i+2$ ；若 $2i+2\geqslant n$ ，则无右孩子

4.二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

（1）顺序结构

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

（2）链式结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
    struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

三、二叉树的顺序结构

1.堆的概念

堆（heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：

堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

将根节点最大的堆叫做大堆，根结点最小的堆叫小堆。

2.堆的实现

typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	HPDataType* data;
	int size;
	int capacity;
}HP;

void HeapInit(HP* php);
void HeapDestroy(HP* php);
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
// 规定删除堆顶（根节点）
void HeapPop(HP* php);
HPDataType HeapTop(HP* php);
size_t HeapSize(HP* php);
bool HeapEmpty(HP* php);

源代码参考下面链接：

Heap ·堆https://gitee.com/yuhe-liang/date_structure/tree/master/Heap

3.堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆

升序：建大堆

降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

四、二叉树链式结构

1.二叉树的遍历

所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

（1）前序遍历

前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)，访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。即按照根、左子树、右子树的顺序遍历二叉树。

// 二叉树前序遍历  char
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	printf("%c ", root->data);
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

（2）中序遍历

中序遍历(Inorder Traversal)，访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。即按照左子树、根、右子树的顺序遍历二叉树。

// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	BinaryTreeInOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	BinaryTreeInOrder(root->right);
}

（3）后序遍历

后序遍历(Postorder Traversal)，访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。即按照左子树、右子树、根的顺序遍历二叉树。

// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;
	BinaryTreePostOrder(root->left);
	BinaryTreePostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}

（4）层序遍历

除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

可以利用队列这个数据结构来实现二叉树的层序遍历。

// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root == NULL)
		return;
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		if (QueueFront(&q)->left != NULL)
			QueuePush(&q, QueueFront(&q)->left);
		if (QueueFront(&q)->right != NULL)
			QueuePush(&q, QueueFront(&q)->right);
		printf("%c ", QueueFront(&q)->data);
		QueuePop(&q);
	}
}

2.二叉树的创建和销毁

了解完二叉树的遍历后，我们就可以尝试创建和销毁一个二叉树了。

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi)
{
	if (*pi >= n)
		return NULL;

	if (a[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}

	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (root == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}
	root->data = a[*pi];
	//root->left = NULL;
	//root->right = NULL;
	(*pi)++;
	root->left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);

	root->right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);

	return root;
}

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{
	if (*root == NULL)
		return;
	BinaryTreeDestory(&((*root)->left));
	BinaryTreeDestory(&((*root)->right));
	free(*root);
	*root = NULL;
}

五、二叉树相关代码

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root);

源代码参考下面链接：

BinaryTree · 二叉树https://gitee.com/yuhe-liang/date_structure/tree/master/BinaryTree