位运算
一、位运算概念
位运算是直接对整数在二进制中进行操作。另我们的电脑电路设计都是基于二进制的，所以在二进制层面效率很高。通常位运算多用在对程序效率要求很高的场景。以下的二进制都以8位为例。第1位是符号位，后面7位是数字位。符号位用0代表非负数，用1代表负数。
二、 机器数和真值
1、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2、真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二、2进制编码
在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.
1、原码
原码是二进制的一种表现方式。取该整数的绝对值的二进制，再加上符号位。该原码只是为了让我们看二进制更直观，直接看出正负数和比较大小。但原码不是计算机保存的二进制，所以不能直接参与计算。如下：
2、反码
反码主要是针对负数的处理。在原码的基础上，符号位不变，其他数值位取反，即把1变成0，把0变成1。反码是为了在计算机中存储二进制，但非真正的二进制值，所以也不直接参与计算。
3、补码
补码是真正的二进制值了，主要也是针对负数。非负数不变，而负数是在反码的基础上加1。如下：
总结如下：
1、正数的二进制值，原码、补码、反码都是一样的；
2、负数的二进制值是其补码，即反码加1。
三. 为何要使用原码, 反码和补码（将符号位参与运算）
在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
所以不需要过多解释. 但是对于负数:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.
于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)
使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].
因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
三、位运算
| 运算符 | 含义 | 功能 |
|---|---|---|
| & | 按位与 | 如果两个相应的二进制位都为１，则该位的结果值为１；否则为０。 |
| | | 按位或 | 两个相应的二进制位中只要有一个为１，该位的结果值为１。 |
| ∧ | 按位异或 | 若参加运算的两个二进制位同号则结果为０（假）异号则结果为１（真） |
| ～ | 取反 | ～是一个单目（元）运算符，用来对一个二进制数按位取反，即将０变１，将１变０。 |
| << | 左移 | 左移运算符是用来将一个数的各二进制位全部左移N位，右补０。 |
| >> | 右移 | 表示将a的各二进制位右移N位，移到右端的低位被舍弃,对无符号数,高位补0。 |
1、按位与（&）
按位与，即按照对应位置的二进制and比较。可以把1当作true，把0当作false。1 and 1 = 1，1 and 0 = 0，0 and 1 = 0，0 and 0 = 0，如下示意图：
5&1结果为1。那这个有什么用呢？举个例子：判断数字是奇数还是偶数。普通判断方法求数字除以2求余。传统做法如下：
n%2 == 0 #True为偶数，False为奇数
可以用按位与运算判断奇偶，运算效率要高很多：
n&1 == 1 #按位于运算奇数返回1，偶数返回0
2、按位或（|）
按位或，即安装对应位置的二进制or比较。1 or 1 = 1，1 or 0 = 1，0 or 1 = 1，0 or 0 = 0。如：
5|3结果为7。我们可以利用这个方法对数值修正，例如取每个整数向上取奇数。若在这个基础上减1，可以得到向下取偶数。
- >>> map(lambda x:(x|1)-1, range(6))
- [0, 0, 2, 2, 4, 4]
- >>> map(lambda x:x|1, range(6))
- [1, 1, 3, 3, 5, 5]
拓展
# 判断变量是否为0， 是0则为False，非0判断为True，
# and中含0，返回0； 均为非0时，返回后一个值，
2 and 0 # 返回0
2 and 1 # 返回1
1 and 2 # 返回2# or中， 至少有一个非0时，返回第一个非0,
2 or 0 # 返回2
2 or 1 # 返回2
0 or 1 # 返回1
3、按位异或（^）
按位异或，则是按照对应位置的二进制xor比较。1 xor 1 = 0，1 xor 0 = 1，0 xor 1 = 1，0 xor 0 = 0。例如：
5^3结果为6。出一道算法题目：已知一个数字数组。其中只有一个数字只出现1次，其他数字都出现2次。求只出现1次的数字。利用reduce函数，一句话代码搞定且效率很高。
- def get_one(nums):
- return reduce(lambda x,y: x^y, nums)
- nums=[1,1,3,2,4,3,4]
- get_one(nums)
4、按位翻转（~）
按位翻转，即不管符号位还是数值位，全部取反码。即1变成0，0变成1。翻转和按位异或有关系，翻转相当于和-1按位异或：~n = n^-1。
这个也可以用于加解密运算。
5、左移运算（<<）
左移运算是将二进制数值整体向左边移动n个位置，空出来的位置补0。例如5<<2：
左移两位，数字5变成20，多了4倍。而从二进制看多了100倍。十进制的4等于二进制的100。这么看来左移运算可以用于乘法计算。
6、右移运算（>>）
右移运算是将二进制数值整体向右边移动n个位置，空出来的位置补上符号位的数值。即正数补0，负数补1。这个右移运算可以类似上面左移运算用于乘法一样，用于除法。这个你可以自己尝试一下。右移了两位相当于101B除以100B，二进制100B对应十进制是3。可以发现该除法计算是取结果的整数部分，5/3 = 1:
