A: 握手问题（5分）

问题描述

小蓝组织了一场算法交流会议，总共有$50$ 人参加了本次会议。在会议上，大家进行了握手交流。按照惯例他们每个人都要与除自己以外的其他所有人进行一次握手（且仅有一次）。但有$7$ 个人，这7 人彼此之间没有进行握手（但这$7$ 人与除这$7$ 人以外的所有人进行了握手）。请问这些人之间一共进行了多少次握手？
注意$A$ 和$B$ 握手的同时也意味着$B$ 和$A$ 握手了，所以算作是一次握手。

思路

组合数学口算题，$C_{50}^2-C_7^2=1204$

B: 小球反弹（5分）

问题描述

有一长方形，长为$343720$ 单位长度，宽为$233333$ 单位长度。在其内部左上角顶点有一小球（无视其体积），其初速度如图所示且保持运动速率不变，分解到长宽两个方向上的速率之比为$dx:dy=15:17$。小球碰到长方形的边框时会发生反弹，每次反弹的入射角与反射角相等，因此小球会改变方向且保持速率不变（如果小球刚好射向角落，则按入射方向原路返回）。从小球出发到其第一次回到左上角顶点这段时间里，小球运动的路程为多少单位长度？答案四舍五入保留两位小数。

思路

也是数学题，最终返回左上角时，走过的水平路程和垂直路程一定是$343720$和$233333$的偶数倍，并且水平路程与垂直路程之比一定为$15:17$。写暴力去找结果即可，答案是$1100325199.77$

代码：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll W = 233333;
const ll L = 343720;

int main() {
    for (ll x = 2; x <= 10000; x += 2) {
        for (ll y = 2; y <= 10000; y += 2) {
            if (15 * W * y == 17 * L * x) {
                printf("%llf", sqrt((L * x) * (L * x) + (W * y) * (W * y)));
                return 0;
            }
        }
    }
    return 0;
}

C: 好数（10分）

问题描述

一个整数如果按从低位到高位的顺序，奇数位（个位、百位、万位· · · ）上的数字是奇数，偶数位（十位、千位、十万位· · · ）上的数字是偶数，我们就称之为“好数”。给定一个正整数$N$，请计算从$1$ 到$N$ 一共有多少个好数。

输入格式

一个整数$N$

输出格式

一个整数代表答案

样例输入1

24

样例输出1

7

样例输入2

2024

样例输出2

150

样例说明

对于第一个样例，$24$ 以内的好数有$1$、$3$、$5$、$7$、$9$、$21$、$23$，一共$7$ 个。

评测用例规模与约定

对于$10\%$ 的评测用例，$1\le N\le 10^2$
对于$100\%$ 的评测用例，$1\le N\le 10^7$

思路

正解应该是数位dp，但是感觉数据不大，暴力枚举也能过

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n;

bool inline judge(int x) {
    int k = 1;
    while (x) {
        if ((x & 1) != (k & 1)) {
            return false;
        }
        x /= 10;
        k++;
    }
    return true;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cout.tie(nullptr);
    cin >> n;
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i += 2) if (judge(i)) res++;
    cout << res << endl;
    return 0;
}

D: R 格式（10分）

问题描述

小蓝最近在研究一种浮点数的表示方法：$R$ 格式。对于一个大于$0$ 的浮点数$d$，可以用$R$ 格式的整数来表示。给定一个转换参数$n$，将浮点数转换为$R$格式整数的做法是：

1. 将浮点数乘以$2^n$;
2. 四舍五入到最接近的整数。

输入格式

一行输入一个整数$n$ 和一个浮点数$d$，分别表示转换参数，和待转换的浮点数

输出格式

输出一行表示答案：$d$ 用$R$ 格式表示出来的值

样例输入

2 3.14

样例输出

13

样例说明

$3.14\times 2^2=12.56$，四舍五入后为$13$

评测用例规模与约定

对于$50\%$ 的评测用例，$1\le n\le 10$，$1\le$将 $d$ 视为字符串时的长度$\le 15$。
对于$100\%$ 的评测用例，$1\le n\le 1000$，$1\le$将 $d$ 视为字符串时的长度$\le 1024$；保证$d$ 是小数，即包含小数点。

思路

高精度

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

string add(string a, string b) {
    string res;
    int carry = 0;
    int i = a.size() - 1;
    int j = b.size() - 1;
    while (i >= 0 || j >= 0) {
        int sum = carry;
        if (i >= 0) sum += a[i--] - '0';
        if (j >= 0) sum += b[j--] - '0';
        carry = sum / 10;
        res += to_string(sum % 10);
    }
    if (carry) res += to_string(carry);
    reverse(res.begin(), res.end());
    return res;
}

string mul(string a, string b) {
    string res = "0";
    int n = a.size();
    int m = b.size();
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int carry = 0;
        string temp;
        for (int j = m - 1; j >= 0; j--) {
            int sum = (a[i] - '0') * (b[j] - '0') + carry;
            carry = sum / 10;
            temp += to_string(sum % 10);
        }
        if (carry) temp += to_string(carry);
        reverse(temp.begin(), temp.end());
        for (int k = 0; k < n - 1 - i; k++) temp += "0";
        res = add(res, temp);
    }
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cout.tie(nullptr);
    int n;
    string d;
    cin >> n >> d;
    string res = "1";
    for (int i = 0; i < n; i++) res = mul(res, "2");
    int pos = 0;
    while (d[d.size() - 1 - pos] != '.') pos++;
    res = mul(res, d.substr(0, d.size() - pos - 1) + d.substr(d.size() - pos));
    string remain = "5";
    for (int i = 0; i < pos - 1; i++) remain += "0";
    res = add(res, remain);
    cout << res.substr(0, res.size() - pos) << endl;
    return 0;
}

E: 宝石组合（15分）

问题描述

在一个神秘的森林里，住着一个小精灵名叫小蓝。有一天，他偶然发现了一个隐藏在树洞里的宝藏，里面装满了闪烁着美丽光芒的宝石。这些宝石都有着不同的颜色和形状，但最引人注目的是它们各自独特的“闪亮度” 属性。每颗宝石都有一个与生俱来的特殊能力，可以发出不同强度的闪光。小蓝共找到了$N$ 枚宝石，第$i$ 枚宝石的“闪亮度” 属性值为$H_i$，小蓝将会从这$N$ 枚宝石中选出三枚进行组合，组合之后的精美程度$S$ 可以用以下公式来衡量：
$$S=H_a{H}_b{H}_c\times \frac{LCM(H_a,H_b,H_c)}{LCM(H_a,H_b)\times LCM(H_a,H_c)\times LCM(H_b,H_c)}$$
其中$LCM$ 表示的是最小公倍数函数。
小蓝想要使得三枚宝石组合后的精美程度$S$ 尽可能的高，请你帮他找出精美程度最高的方案。如果存在多个方案$S$ 值相同，优先选择按照$H$ 值升序排列后字典序最小的方案。

输入格式

第一行包含一个整数$N$ 表示宝石个数。
第二行包含$N$ 个整数表示$N$ 个宝石的“闪亮度”。

输出格式

输出一行包含三个整数表示满足条件的三枚宝石的“闪亮度”。

样例输入

5
1 2 3 4 9

样例输出

1 2 3

评测用例规模与约定

对于$30\%$ 的评测用例，$3\le N\le 100,1\le H_i\le 1000$
对于$60\%$ 的评测用例，$3\le N\le 2000$
对于$100\%$ 的评测用例，$3\le N\le 10^5,1\le H_i\le 10^5$

思路

找最大gcd(a[i],a[j],a[k])，里面的最小的三个数

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

int a[100100], b[100100];
vector<int> vec[100100];
int n;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cout.tie(nullptr);
    cin >> n;
    int max_a = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        b[a[i]]++;
        max_a = max(max_a, a[i]);
    }
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    for (int i = 2; i <= max_a; i++) {
        for (int j = i; j <= max_a; j += i) {
            for (int k = 1; k <= b[j]; k++) {
                if (vec[i].size() >= 3) break;
                vec[i].push_back(j);
            }
        }
    }
    for (int i = max_a; i >= 2; i--) {
        if (vec[i].size() >= 3) {
            cout << vec[i][0] << " " << vec[i][1] << " " << vec[i][2] << endl;
            return 0;
        }
    }
    cout << a[1] << " " << a[2] << " " << a[3] << endl;
    return 0;
}

F: 数字接龙（15分）

问题描述

小蓝最近迷上了一款名为《数字接龙》的迷宫游戏，游戏在一个大小为$N\times N$ 的格子棋盘上展开，其中每一个格子处都有着一个$\mathrm{0...}K-1$之间的整数。游戏规则如下：

1. 从左上角$(0,0)$ 处出发，目标是到达右下角$(N-1,N-1)$ 处的格子，每一步可以选择沿着水平/垂直/对角线方向移动到下一个格子。
2. 对于路径经过的棋盘格子，按照经过的格子顺序，上面的数字组成的序列要满足：$0,1,2,...,K-1,0,1,2,...,K-1,0,1,2,...$。
3. 途中需要对棋盘上的每个格子恰好都经过一次（仅一次）。
4. 路径中不可以出现交叉的线路。例如之前有从$(0,0)$ 移动到$(1,1)$，那么再从$(1,0)$ 移动到$(0,1)$ 线路就会交叉。

为了方便表示，我们对可以行进的所有八个方向进行了数字编号，如下图$2$ 所示；因此行进路径可以用一个包含$\mathrm{0...7}$ 之间的数字字符串表示，如下图$1$是一个迷宫示例，它所对应的答案就是：$41255214$。

现在请你帮小蓝规划出一条行进路径并将其输出。如果有多条路径，输出字典序最小的那一个；如果不存在任何一条路径，则输出$-1$。

输入格式

第一行包含两个整数$N$、$K$。
接下来输入$N$ 行，每行$N$ 个整数表示棋盘格子上的数字。

输出格式

输出一行表示答案。如果存在答案输出路径，否则输出$-1$。

样例输入

3 3
0 2 0
1 1 1
2 0 2

样例输出

41255214

样例说明

行进路径如图$1$ 所示。

评测用例规模与约定

对于$80\%$ 的评测用例，$1\le N\le 5$
对于$100\%$ 的评测用例，$1\le N\le 10,1\le K\le 10$

思路

dfs

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;
const int dx[8] = {-1, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1};
const int dy[8] = {0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, -1};
int n, k;
bool st[101][101], ss[11][11][11][11];
int a[101][101];
vector<string> s;

void dfs(int x, int y, string q) {
    if (x == n - 1 && y == n - 1) {
        if (q.size() == n * n - 1) {
            s.push_back(q);
        }
        return;
    }
    for (int i = 0; i < 8; i++) {
        int ax = x + dx[i], ay = y + dy[i];
        if (ax < 0 || ay < 0 || ax >= n || ay >= n) continue;
        if ((a[ax][ay]) != (a[x][y] + 1) % k) continue;
        if (!st[ax][ay] && i % 2 == 0) {
            st[ax][ay] = true;
            char qq = i + '0';
            dfs(ax, ay, q + qq);
            st[ax][ay] = false;
        } else if (!st[ax][ay] && i % 2 == 1 && !ss[x][y][ax][ay]) {
            st[ax][ay] = true;
            char qq = i + '0';
            if (i == 1) {
                ss[x - 1][y][ax + 1][ay] = true;
                ss[ax + 1][ay][x - 1][y] = true;
            }
            if (i == 3 || i == 5) {
                ss[x + 1][y][ax - 1][ay] = true;
                ss[ax - 1][ay][x + 1][y] = true;
            }
            dfs(ax, ay, q + qq);
            st[ax][ay] = false;
            if (i == 1) {
                ss[x - 1][y][ax + 1][ay] = false;
                ss[ax + 1][ay][x - 1][y] = false;
            }
            if (i == 3 || i == 5) {
                ss[x + 1][y][ax - 1][ay] = false;
                ss[ax - 1][ay][x + 1][y] = false;
            }
        }
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cout.tie(nullptr);
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    string q;
    st[0][0] = true;
    dfs(0, 0, q);
    if (s.empty()) {
        cout << "-1";
    } else {
        sort(s.begin(), s.end());
        cout << s[0];
    }
    return 0;
}

G: 爬山（20分）

问题描述

小明这天在参加公司团建，团建项目是爬山。在$x$ 轴上从左到右一共有$n$座山，第$i$ 座山的高度为$h_i$。他们需要从左到右依次爬过所有的山，需要花费的体力值为$S={\sum }_{i=1}^n{h}_i$。
然而小明偷偷学了魔法，可以降低一些山的高度。他掌握两种魔法，第一种魔法可以将高度为H 的山的高度变为$\lfloor \sqrt{h}\rfloor$，可以使用$P$ 次；第二种魔法可以将高度为$H$ 的山的高度变为$\lfloor \frac{H}{2}\rfloor$，可以使用$Q$ 次。并且对于每座山可以按任意顺序多次释放这两种魔法。
小明想合理规划在哪些山使用魔法，使得爬山花费的体力值最少。请问最优情况下需要花费的体力值是多少？

输入格式

输入共两行。
第一行为三个整数$n$，$P$，$Q$。
第二行为$n$ 个整数$h_1，h_2，...，h_n$。

输出格式

输出共一行，一个整数代表答案。

样例输入

4 1 1
4 5 6 49

样例输出

18

样例说明

将第四座山变为$\lfloor \sqrt{49}\rfloor =7$，然后再将第四座山变为$\lfloor \frac{7}{2}\rfloor =3$。
体力值为$4+5+6+3=18$。

评测用例规模与约定

对于$20\%$的评测用例，保证$n\le 8，P=0$。
对于$100$ 的评测用例，保证$n\le 100000，0\le P\le n，0\le Q\le n，0\le h_i\le 100000$。

思路

贪心，维护一个堆，哪个魔法减少的更多就取哪个。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> pq;
int p, q;
int n;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cout.tie(nullptr);
    cin >> n >> p >> q;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int temp;
        cin >> temp;
        pq.push(temp);
    }
    while (p != 0 && q != 0) {
        int cur = pq.top();
        pq.pop();
        if ((int) sqrt(cur) < (int) (cur / 2)) {
            p--;
            cur = (int) sqrt(cur);
        } else {
            q--;
            cur = (int) (cur / 2);
        }
        pq.push(cur);
    }
    while (p != 0) {
        int cur = pq.top();
        pq.pop();
        p--;
        cur = (int) sqrt(cur);
        pq.push(cur);
    }
    while (q != 0) {
        int cur = pq.top();
        pq.pop();
        q--;
        cur = (int) (cur / 2);
        pq.push(cur);
    }
    ll ans = 0;
    while (!pq.empty()) {
        ans += pq.top();
        pq.pop();
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

H: 拔河（20分）

问题描述

小明是学校里的一名老师，他带的班级共有$n$ 名同学，第$i$ 名同学力量值为$a_i$。在闲暇之余，小明决定在班级里组织一场拔河比赛。
为了保证比赛的双方实力尽可能相近，需要在这$n$ 名同学中挑选出两个队伍，队伍内的同学编号连续: { a l 1 , a l 1 + 1 , . . . , a r 1 − 1 , a r 1 } \{a_{l_1} , a_{{l_1}+1},...,a_{{r_1}-1},a_{{r_1}}\} {al1​​,al1​+1​,...,ar1​−1​,ar1​​}和 { a l 2 , a l 2 + 1 , . . . , a r 2 − 1 , a r 2 } \{a_{l_2} , a_{{l_2}+1},...,a_{{r_2}-1},a_{{r_2}}\} {al2​​,al2​+1​,...,ar2​−1​,ar2​​}，其中$l_1\le r_1<l_2\le r_2$。
两个队伍的人数不必相同，但是需要让队伍内的同学们的力量值之和尽可能相近。请计算出力量值之和差距最小的挑选队伍的方式。

输入格式

输入共两行。
第一行为一个正整数$n$。
第二行为$n$ 个正整数$a_i$。

输出格式

输出共一行，一个非负整数，表示两个队伍力量值之和的最小差距。

样例输入

5
10 9 8 12 14

样例输出

1

样例说明

其中一种最优选择方式：
队伍1： { a 1 ; a 2 ; a 3 } \{a_1; a_2; a_3\} {a1​;a2​;a3​}，队伍2： { a 4 ; a 5 } \{a_4; a_5\} {a4​;a5​}，力量值和分别为$10+9+8=27$，$12+14=26$，差距为$|27-26|=1$。

评测用例规模与约定

对于$20\%$ 的评测用例，$n\le 50$
对于$100\%$ 的评测用例，$n\le 10^3,a_i\le 10^9$

思路

前缀和+set

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;

ll n;
ll num[1010] = {0};
ll pre[1010] = {0};
multiset<ll> mset;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cout.tie(nullptr);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> num[i];
        pre[i] = pre[i - 1] + num[i];
    }
    for (int l = 1; l <= n; l++) {
        for (int r = l + 1; r <= n; r++) {
            mset.insert(pre[r] - pre[l]);
        }
    }
    ll res = 999999999;
    for (int r = 1; r < n; r++) {
        for (int l = 0; l < r; l++) {
            ll val = pre[r] - pre[l];
            auto it = mset.lower_bound(val);
            if (it != mset.end()) {
                res = min(res, abs(*it - val));
            }
            if (it != mset.begin()) {
                it--;
                res = min(res, abs(*it - val));
            }
        }
        for (int i = r + 1; i <= n; i++) {
            mset.erase(mset.find(pre[i] - pre[r]));
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}