《无线通信基础》自学笔记--第2章

· 移动无线信道的主要特征：信道强度关于时间、频率的变化（时间衰落与频率衰落）

· 衰落类型：

大尺度衰落：由路径损耗、阴影衰落造成。当移动台运动的距离与小区尺寸相当时，就会出现大尺度衰落，且通常与频率无关。
小尺度衰落：由多径效应造成。空间尺度与载波波长相当时，出现小尺度衰落，故与频率有关

2.1 无线信道的物理建模

2.1.1.自由空间、固定的发射天线与接收天线: 线性时不变信道

远场 u=(r,θ,φ)处，

$\large Er\left ( f,t,u\right )=\Re \left [H\left ( f \right ) e^{j2\pi ft{}} \right ]$ ，

其中, $\large H\left ( f \right ):=\frac{\alpha \left ( \theta , \varphi ,f \right )e^{-j2\pi fr/c}}{r}$ ，

式中 $\large \alpha \left ( \theta ,\varphi ,f \right )$ 为发射、接收天线方向图之积。

2. 自由空间、接收天线运动: 非 LTI 信道

结论1：频率为 f 的信号被转换为频率为 f(1-v/c) 的正弦信号 —— 多普勒频移 -fv/c

结论2：如忽略上式分母的时变衰减，则可用 f - fv/c 代替 f 代入信道系统函数

3. 反射墙、固定天线：相干叠加

同频电波叠加，相位差

当该相位差为2π的整数倍时，发生相长叠加；当其为π的奇数倍时，发生相消叠加。

定义从波峰到波谷的距离 $\large \Delta x_{c} := \frac{\lambda }{4}$ 为相干距离，当距离远小于相干距离时，特定时刻的接收信号变化并不明显。
定义两条信号路径的传播时延之差 $\large T_{d} := \frac{2d-r}{c}-\frac{r}{c}$ 为时延扩展

4. 反射墙、接收天线运动：多径衰落

当天线经过两个电波产生的相长叠加和相消叠加的区域时，接收信号的强度会增大和减小。——多径衰落
从波峰到波谷所经历的时间，即衰落出现的时间尺度，定义为信道的相干时间。 $\large T_{c} := \frac{c}{4fv}$

多普勒扩展 $\large D_{s} := D_{2}-D_{1}$ ，上式中， $\large D_{1} := -\frac{fv}{c}$ ， $\large D_{2} := +\frac{fv}{c}$

多普勒扩展决定了穿过干扰方向图的速率，与信道的相干时间成反比。

5. 地平面反射

大尺度衰落中，接收功率按如下规律随距离 r 减小：

自由空间： $\large \frac{1}{r^{2}}$
地平面反射： $\large \frac{1}{r^{4}}$

由于阴影衰落和散射效应的影响，衰减速度在远区更快，可达到指数衰减。

2.2 无线信道的输入/输出模型

2.2.1 无线多径信道的线性时变系统

连续时间带通信道： $\large y(t)=\sum_{i}^{\, }a_{i}(t)x(t-\tau _{i}(t))$

式中，衰减 $\large a_{i}(t)$ 和时延 $\large \tau _{i}(t)$ 通常是频率的慢变函数，其波动由路径长度和天线增益引起。

不同的路径存在不同的时延，总的信道响应仍随频率变化。

2.2.2 基带等效模型：线性时变系统

实带限信号s(t)的复基带等效信号，其傅里叶变换为：

$\large S_{b}(f) = \begin{cases} & \sqrt{2} S(f+f_{c}), \, \; { if \: } f+f_{c}> 0 \\ & \0\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; ,\; { if \: } f+f_{c}< 0 \end{cases}$

有： $\large \sqrt{2}S(f)=S_{b}(f-f_{c})+S_{b}^{*}(-f-f_{c})$

取IFT变换并展开上式，可得到实基带信号的同相分量、正交分量分解： $\tiny s(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}[s_{b}(t)e^{j2\pi f_{c}t}+s_{b}^{*}(t)e^{-j2\pi f_{c}t}]=\sqrt{2}(\Re[s_{b}(t)\cos(2\pi f_{c})]-\Im[s_{b}(t)\sin(2\pi f_{c})]) =\sqrt{2}\Re [s_{b}(t)e^{j2\pi f_{c}t}]$

据此，可实现下图所示的正交幅度调制(QAM)，并通过连续时间复基带信道传输：

连续时间复基带信道： $\large y_{b}(t)=\sum_{i}^{\, }a_{i}(t)e^{-j2\pi f_{c}\tau _{i}(t)}x_{b}(t-\tau _{i}(t))$

解释：基带输出为各路径基带输入的时延副本之和。其中幅度衰减变化缓慢，通常间隔几秒钟甚至更久才发生重大变化；当路径时延变化 $\tiny \frac{1}{4f_{c}}$ 时，相位改变 $\tiny \pi /2$ ，对单面反射墙实例而言，这一时间约为5ms。

2.2.3 离散时间基带模型

由惠特克-香农插值公式： $\tiny x_{b}(t)=\sum_{n}^{\, }x[n]sinc(Wt-n)$

式中，输入波形带宽限制为W，基带W/2.

意义：带限在W/2之内的任何波形都可以按照正交基 { ${sinc(Wt-n)}_{n}$ }展开，其系数由n/W处的样本值确定。
AWGN下的离散时间复基带信道： $\large y[m]=\sum_{\iota }^{\, }h_{\iota }[m]x[m-\iota ]+w[m]$

第 $\large \iota$ 个抽头为时延位于区间 $\large [\iota /W-1/(2W),\iota /W+1/(2W)]$ 内的物理路径的总和，可以解释为低通滤波基带信道响应与sinc(Wτ)卷积的第（ι/W）个样本。

在通信系统中，采样运算可解释为调制与解调。下图用复码元x[m]调制sinc脉冲，再进行上变频；在时刻m/W对接收机LPF输出信号进行采样，实际常用升余弦脉冲取代sinc脉冲。

自由度：一秒钟的连续时间信号x(t)对应于W个离散码元x[m]（每秒钟有W个样本），称带限连续时间信号每秒钟有W个自由度。
带宽为W的连续时间信号可以用每秒钟W个复维数表示。
定义信道的自由度为接收信号空间的维数。

2.2.4 加性白噪声

连续时间WGN可以看成无限维的白随机矢量。
离散时间噪声过程{w[m]}关于时间的白的，即相互独立的；并且实部虚部分量都是方差为N0/2的独立同分布的高斯随机变量。
AWGN的假设实质上意味着，主要的噪声源来自接收机。

2.3 时间相干与频率相干：表明信道随时间/频率变化的快慢

2.3.1 多普勒频移与相干时间

由 $\tiny h_{\iota }[m]=\sum_{i}^{\, }a_{i}^{b}(m/W)sinc[\iota -\tau _{i}(m/W)W]=\sum_{i}^{\, }a_{i}(m/W)e^{-j2\pi f_{c}\tau _{i}(m/W)}sinc[\iota -\tau _{i}(m/W)W]$

其中， $a_{i}$ 的重大变化以几秒钟甚至更长为周期；第i条路径相位的重大变化以1/(4 $D_{i}$ )的间隔出现.

——时间选择性衰落

结论：路径从一个抽头转向下一个抽头消耗的时间>>其相位发生重大变化间隔的时间。

式中， $\tau _{i}(t)$ 的时间波动引起sinc项的变化与带宽成比例；相位变化则常常与载频成比例。

定义多普勒频移: $D_{s} := max \, f_{c}\, |{\tau _{i}}'(t)-{\tau _{j}}'(t)|$
$T_{c}\propto \frac{1}{D_{s}}$ ，相干时间是多普勒频移在时域上的表示。
在快衰落信道中，能够通过多次信道衰落发射编码码元；而慢衰落信道中不能。

2.3.2 时延扩展与相干带宽

定义多径时延扩展： $T_{d} := max\left | \tau_{i}(t)-\tau_{j}(t) \right |$
随着小区利用率的提高，小区覆盖范围减小， $T_{d}$ 也减小。
由于sinc函数的慢衰减特性，旧式蜂窝信道用四到五个信道滤波器抽头就可以表示了。而UWB通信（频率3.1GHz-10.6GHz）信道抽头数多达几百个。
信道滤波器抽头：可以用FIR滤波器的抽头概念来理解。接收机通过发射波形和接收波形估计信道滤波器抽头值。
时刻 t 的频率响应为 $H(f;t)=\sum_{i}^{\, }a_{i}(t)e^{-j2\pi f\tau _{i}(t) }$ ，对多径而言存在差分相位

$2\pi f(\tau _{i}(t)-\tau _{k}(t))$ , 该差分相位会导致频率选择性衰落。

$W_{c} \propto \frac{1}{T_{d}}$
当输入带宽<< $W_{c}$ 时，称信道为平坦衰落信道，此时 $T_{d}<<\frac{1}{W}$ ,利用单个信道滤波器抽头即可表示信道。当输入带宽>> $W_{c}$ 时，称信道为频率选择性信道，必须用多个抽头予以表示。

注意：频率选择性衰落不是信道本身的特性，而是带宽W与时延扩展 $T_{d}$ 之间的关系。

2.4 无线信道的统计模型

采用信道抽头值的概率模型获得信道在某些条件下的特征
AWGN模型仅仅在相当小的频带内有效
瑞利信道
莱斯信道
抽头增益自相关函数： $R_{\iota }[n] := E\left \{ h_{\iota }^{*}[m] h_{\iota }^{*}[m+n]\right \}$ 广义平稳随机序列考察信道波动的速率