计数与组合

一、组合计数基本原理

1.加法原理和乘法原理

加法原理：集合元素可以被划分为集合族F = {S1, S2, S3…}则S的元素个数是这些元素个数之和：|S| = |S1| + |S2| + |S3|+…|Sn|

注意：1）分类标准：不重复、不遗漏

2）分类后的计数应比原来的计数更为简单

乘法原理：若集合S的每个元素是n个元素构成的序列，每个元素si的取值可能有mi种，则：|S| = m1*m2…m n

注意：1）分布思维方式

2）各个子任务有独立性和相关性

关于加法原理与乘法原理的综合运用：

1）子任务的完成顺序可能影响乘法原理的运用，应优先考虑约束条件多的子任务

2）若子任务的完成顺序不能保证相继任务的独立性，则不能直接使用乘法原理，应该对完成子任务的方法进行分类，最后再使用加法原理

减法原理：全集为U，则|S| = |U| - |U-S|

除法原理：若集合S与集合T之间存在满函数f：S->T，且T的每个元素都在f下恰好有k个原像，则T的元素个数等于S的元素个数除以k，即|T| = |S| / k

2.容斥原理

引理：设A、B是有穷集合，|A - B| = |A| - |A ∩ B|

两集合的容斥原理：|A U B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

三集合的容斥原理：|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

3.鸽笼原理（迪利克雷的抽屉原理）

鸽笼原理：设k是正整数，k+1只或更多只鸽子关到k个鸽笼里，则至少有一个鸽笼里有两只或更多的鸽子

**广义鸽笼原理：**将N个物体放到k个盒子里，至少有一个盒子至少有N/k（向上估）个物体

二、排列与组合

1.排列与组合的基本定义

排列：从n个可区别的物体不允许重复地选择r个物体进行有序安排，称为n个物体地r-排列，即P(n , r)

P(n, r) = n! / ( n - r ) !

组合：从n个可区别的物体不允许重复，不计顺序的选择r个物体，称为n物体的r-组合，即C(n, r)

C(n, r) = n! / ( n - r ) ! * r！

组合式的对称式：C(n, r) = C(n, n - r)

引理：（r + 1) C(n, r + 1) = (n - 1) C(n, r)

p.s.组合证明：一种从抽象到具体的思维方式，通过给出组合等式两边的具体的解释，即具体对什么集合进行计数而进行证明。

代数证明：数学归纳法的证明以及利用组合数计算公式的证明都属于代数证明，通常需要一定技巧。

2.二项式定理和组合等式

二项式定理：[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-i53fp261-1623514641320)(C:\Users\晴空\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210612195951391.png)]

帕斯卡等式：[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-I2FL7Rkj-1623514579779)(C:\Users\晴空\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210612200107631.png)]

3.允许重复的排列与组合

n类物体允许重复的r-排列数是n的r次方

每类物体分别有m1，…mn个的n类物体允许重复的m1+m2…+mn = r的排列顺序是：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CKJajJbw-1623514579781)(C:\Users\晴空\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210612201938812.png)]

物体个数不限的n类物体允许重复地选择r个物体组合的方案数：C(n - 1 + r, r)

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-cVYH7kc5-1623514579783)(C:\Users\晴空\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210612203527064.png)]

4.再论容斥原理

一般形式的容斥原理：[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-HFCQmAs4-1623514579784)(C:\Users\晴空\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210612203744639.png)]

另一形式的容斥原理：[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NZOfZ2OZ-1623514579785)(C:\Users\晴空\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210612203832846.png)]

三、递推关系式

1.计数问题的递推关系式建模

递推关系式：用前面的项表示后面的项。

封闭公式解：递推关系式的一个解序列能用不含序列种任意项的通项公式表达